カメラ行列とは？初心者が今すぐ理解できる基礎ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

カメラ行列とは何かをざっくり把握する

カメラ行列は写真（関連記事：写真ACを三ヵ月やったリアルな感想【写真を投稿するだけで簡単副収入】）や映像を作るときの土台となる数式です。3次元の世界を2次元の画像に写し出す変換を表します。私たちの世界は立体ですが、写真の平面にはその情報が圧縮されています。カメラ行列はその圧縮と投影の仕組みを数式で表す道具です。

この大きな枠組みは通常 内在行列、外在行列、そして 投影行列 の三つに分けて考えます。これらは写真や映像のピクセルの位置を決める基本です。

内在行列とは

内在行列はカメラの内部の特性を表します。焦点距離やセンサーの大きさ、主点の位置などが詰まっています。代表的な形は次のようです。K は K = [ fx s cx ; 0 fy cy ; 0 0 1 ] の形をとることが多いです。fx は水平方向の焦点距離、fy は垂直方向の焦点距離、cx/cy は主点（画面中心に相当する点）、s はスキューと呼ばれる微小な歪みを表します。これらの数値を変えると、映像に現れる見え方が微妙に変わります。

外在行列とは

外在行列はカメラの姿勢を表します。世界の座標系からカメラ座標系へ変換するために 回転行列 R と 平行移動ベクトル t を使います。これらを組み合わせて 投影行列 P = K [ R | t ] を作ると、3D 点を2Dの画素へ投影できるようになります。

投影の仕組みと式

3D の点 X = [ X, Y, Z, 1 ] を 投影行列に掛け、画像平面の座標へと写像します。式は s [u v 1]^T = K [ R | t ] [ X Y Z 1 ]^T です。ここで s は任意のスケール因子、(u, v) が最終的なピクセル位置です。

例で見る理解

R を単位行列、t を [0, 0, -5]、K を先ほどの値とすると、3D 点 X = [0, 0, 10] はカメラの正面にあり、投影点は (u, v) = (cx, cy) となります。すなわち (320, 240) です。中心を結ぶ要素は 焦点距離が現実的な値 の場合、画面の中心に投影されます。

実務での使い方

現実のカメラでは内在行列と外在行列を組み合わせ、シーンの座標を正確にピクセルに結びつける必要があります。これを「キャリブレーション」と呼びます。写真や映像の正確な幾何を活かすには、画像群から K, R, t を推定します。最も一般的な手法はチェス盤パターンを用いた Zhang の法や、現代の自動キャリブレーションツールです。

表で見るポイント

<th>項目

意味
fx	横方向の焦点距離をピクセル単位で表す
fy	縦方向の焦点距離
s	主に歪みの補正に関する値、現実には0に近いことが多い
cx	画像の主点、横方向の中心
cy	画像の主点、縦方向の中心

実際の現場では キャリブレーションの精度 が画像の幾何正確さを左右します。粗い推定では歪みや位置ずれが目立ち、測定や3D再構成の品質に影響します。

要点のまとめ

カメラ行列は写真や映像の基盤となる変換を数式で表します。内在行列がカメラ内部の性質を、外在行列がカメラの位置と向きを、投影行列がそれらを組み合わせて3D点を2Dピクセルへ結びつけます。覚えるべきは基本形と用語の意味、そしてキャリブレーションの重要性です。

カメラ行列の同意語

カメラ行列: 3D座標を2D画像座標へ射影する変換を表す行列。P=K[R|t] の形で、カメラの内部パラメータと外部パラメータを組み合わせて表現されることもある。初心者には最も基本的な呼び方として使われることが多い。
投影行列: 3D点を画像平面へ投影するための行列。英語の Projection Matrix の和訳で、カメラ行列とほぼ同義に使われることが多い。P=K[R|t] の形で現れることが多い。
射影行列: 投影行列と同義の表現。3D点を2D像へ変換する役割を指す。
カメラ投影行列: カメラの投影機能を表す行列。投影行列と同義に使われ、P=K[R|t] の全体を指すことが多い。
内部パラメータ行列: カメラの内部の幾何特性をまとめた行列。焦点距離や主点などを含む K（3x3 行列）として表され、P の K 成分として機能する。
カメラ内部行列: 内部パラメータ行列の別表現。K として知られ、画像のスケーリングや中心点の補正など内部幾何を扱う。
内部行列: 内部パラメータ行列の短縮表現。技術文献やコードで略して使われることがある。
P行列: 投影行列の略称。3×4 の行列で、世界座標系の点を画像座標系へ射影する変換を表す。
外部パラメータ行列: カメラの姿勢を表す行列（通常は [R|t]）。P の一部として使われることが多く、厳密には“カメラ行列”そのものではなく、外部パラメータをまとめた要素として扱われる。

カメラ行列の対義語・反対語

外部パラメータマトリクス: カメラと世界座標系の関係（姿勢Rと位置t）を表す情報を含む行列。カメラ行列K（内部パラメータ）とは別物として扱われ、対になる概念として理解されます。
世界座標系変換行列: 世界座標系からカメラ座標系へ変換するための行列（Rとtを含む）。物体の位置を世界基準で扱う際に使われ、内部のカメラパラメータに対して外部パラメータが関わる点で対比されます。
カメラ外部パラメータ: カメラの位置と向き（姿勢）を表す情報。外部パラメータは、カメラの内部パラメータと対照的に、撮影環境の配置を示します。
投影行列（P行列）: 3D点を画像平面へ投影するための行列。Kと[R|t] を組み合わせて作られることが多く、カメラ行列（K）だけを指す語とは別の、より広い文脈で使われる概念。
内部パラメータマトリクス（Intrinsicマトリクス）: カメラの内部特性を表す行列。焦点距離・主点などを含み、いわばカメラの内部の仕様を決定します。カメラ行列の一部として扱われることが多い。
世界座標系（ワールド座標系）: 物体が定義される基準座標系。カメラ座標系と対比して使われることが多く、座標系の概念として対義的に理解されます。

カメラ行列の共起語

カメラ内部パラメータ: カメラの内部特性を表すパラメータの集合。焦点距離 fx, fy、主点 cx, cy、歪み補正などを3×3行列 K で表現することが多い。
カメラ外部パラメータ: カメラの姿勢と位置を決定するパラメータ。回転行列 R と並進ベクトル t で表され、世界座標系とカメラ座標系の関係を示す。
投影行列: 3D 世界座標を 2D 画像座標へ射影するための 3×4 行列。P = K [R|t] の形で表され、点の投影を決定する。
ピンホールモデル: 最も基本的なカメラモデル。一点透視で、3D 点を 2D 点へ投影する幾何を表す。
焦点距離: レンズの光学的な拡大率を示す指標。通常 fx, fy の形で表現し、画素単位の値として表される。
主点: 画像平面上の射影の中心。通常 cx, cy の座標で表される。
歪み係数: レンズによる射影の非線形歪みを表すパラメータ。ラジアル歪みとタンジェンシャル歪みを含む。
レンズ歪み: レンズの歪みそのものの総称。主にラジアル歪みとタンジェンシャル歪みを指す。
歪み補正: 撮影後に歪みを補正する処理。キャリブレーションで推定したパラメータを用いる。
チェッカーボード: キャリブレーションで用いるチェッカーボード（棋盤）パターン。角点を検出して内部パラメータを推定する。
回転行列: カメラの姿勢を表す 3×3 行列。世界座標系からカメラ座標系への回転を示す。
並進ベクトル: カメラの位置を表す3要素のベクトル。世界座標系からカメラ座標系への並進を表す。
座標変換: 座標系を別の座標系へ変換する計算。回転と並進を組み合わせて点の座標を変換する。
ワールド座標系: 実世界の基準となる座標系。3D点の位置を表す。
カメラ座標系: カメラ中心を原点とする座標系。カメラ視点での表現を行う。
ホモグラフィ: 平面間の射影変換。カメラ行列と組み合わせて写像を扱うことがある。
射影方程式: 3D 点を 2D 画像点へ写す基本式。一般には p ~ P X のように同次座標を使って表す。
キャリブレーション: カメラ内部パラメータと歪みを推定する作業。
OpenCV: 画像処理・コンピュータビジョンの代表的なライブラリ。カメラ行列の推定や投影計算を支援する。
P行列: 射影行列の別名。3×4 行列 P のことを指すことがある。
K行列: カメラ内部パラメータを表す 3×3 行列 K の別称。 fx, fy, cx, cy などを含む。

カメラ行列の関連用語

カメラ行列: 3×4の投影行列で、3D点を2D像点へ結ぶ。P = K [R|t] の形で表され、内部パラメータと外部パラメータを統合します。
投影行列: 3×4の行矩で、3D座標を画像座標へ投影する役割を持つ。カメラ行列とほぼ同義として使われることが多いです。
P行列: Projection Matrix。3×4の行列で、世界座標を像点へ変換する。P = [K|0] などの分解にも使われます。
内部行列: K。3×3の行列で、 fx, fy, cx, cy, s(スキュー) を含み、カメラの内部幾何を定義します。
焦点距離: fx, fy。画素単位で表され、視野の広さを決定します。
主点: cx, cy。画像平面の中心点を表します。
歪み係数: k1, k2, k3, p1, p2 など。レンズの非線形歪みを表すパラメータ。
歪み補正: 歪んだ画像を補正して真の像を復元する処理。undistort などで行います。
外部行列: 3×4の行列 [R|t]。カメラの姿勢と位置を表す。
回転行列: R。3×3の正則直交行列。カメラの向きを表します。
平行移動ベクトル: t。3×1のベクトル。カメラの位置を表します。
世界座標系: 3D世界の座標系。外部パラメータはこの座標系とカメラ座標系の関係を表します。
カメラ座標系: カメラ中心を原点とする座標系。Z軸が前方に向くのが特徴です。
3D→2D投影方程式: X = (X, Y, Z, 1)^T を P X に射影し、u = (P1·X)/(P3·X), v = (P2·X)/(P3·X) の形で像点を得る式です。
キャリブレーション: 内部パラメータ・外部パラメータ・歪み係数を推定する過程。