三角恒等式・とは？初心者にもわかる基礎から学ぶ解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

三角恒等式・とは？

三角恒等式とは、三角関数を使うときに必ず成り立つ等式のことです。sin、cos、tan などの関数間の関係を表すもので、式の形を変えたり計算を楽にしたりするための“道具”として大学や中学校の数学で頻繁に使われます。

1. 基本となる恒等式

sin^2 x + cos^2 x = 1 は三角恒等式の最も基本的なものです。これは単位円の性質から自然に出てきます。点 (cos x, sin x) が半径1の円上を動くとき、三平方の定理により cos^2 x + sin^2 x = 1 となるためです。

この基本から、他の恒等式も導くことができます。代表的なものとして 1 + tan^2 x = sec^2 x、1 + cot^2 x = csc^2 x があります。これらは定義 tan x = sin x / cos x、sec x = 1 / cos x、csc x = 1 / sin x を用いて、sin と cos の関係から派生します。これらの恒等式は cos x ≠ 0（tan/sec が定義される点）や sin x ≠ 0（cot/csc が定義される点）という定義域の制約が伴います。

2. どうして成り立つのか

証明の考え方としては、まず基礎の sin^2 x + cos^2 x = 1 を用います。これを cos^2 x で割ると tan^2 x + 1 = sec^2 x、sin^2 x で割ると cot^2 x + 1 = csc^2 x が得られます。別の見方として、三角関数の定義を使い、tan, sec などの派生関係を組み合わせて同じ結果になることを確かめることもできます。

3. 実際の使い方

三角恒等式は、分子分母を同じ三角関数で揃えるなど、式の形を揃えることで計算を簡易化します。例えば、複雑な分数の中に tan x が現れたとき、tan x = sin x / cos x の形に直して共通の基準で整理します。あるいは、積分の練習や方程式の解法で、未知の三角関数を別の形に置き換えるときにも使います。

4. 注意点

定義域の制限に注意してください。tan x や sec x は cos x = 0 のとき定義されません。従って、これらの恒等式を適用する場合は角度の取り扱いに気をつけ、cos x ≠ 0 の区間で使用します。

また、三角恒等式は基本的にラジアン単位で考えるのが一般的ですが、度数法でも同様の考え方で適用できます。角度の単位が変わると計算の手順が異なるだけで、結論は同じ形になります。

5. 表で覚えると楽になる

以下の表は、頻繁に使う三角恒等式の代表例です。覚えると計算が速くなります。

<th>恒等式

意味・説明
sin^2 x + cos^2 x = 1	基本。単位円の性質から来ます。
1 + tan^2 x = sec^2 x	tan と sec の関係を表します。
1 + cot^2 x = csc^2 x	cot と csc の関係を表します。

6. まとめ

三角恒等式は、三角関数を使うときの道具箱です。正しく使えば式の簡略化や解の導出が楽になります。まずは基本の sin^2 x + cos^2 x = 1 をしっかり理解し、そこから派生する式に慣れていきましょう。

三角恒等式の同意語

三角関数の恒等式: 三角関数に関する、どの値を代入しても成立する式のこと。例として sin^2 x + cos^2 x = 1 などが挙げられ、三角関数の性質を表す恒等的な関係です。
三角関数恒等式: 三角関数の恒等式と同じ意味の別称。三角関数（sin・cos・tan など）の値の関係が、変数の値に依らず一定になる式を指します。
三角恒等式: 三角関数の恒等式の短縮形として使われる表現。基本的には同じく、すべての値に対して成立する恒等的な関係を指します。
三角関数の恒等関係: 三角関数の間に成り立つ恒定的な関係を表す式の総称。三角恒等式と同義で使われることがあります。

三角恒等式の対義語・反対語

不等式: 三角恒等式は“すべての角度で成り立つ恒久的な等式”という性質ですが、対義語としての“不等式”は等号を含まず、左辺と右辺が常に等しくなる保証がない関係を指します。
条件付き式: ある条件（例：特定の角度範囲など）でのみ成立する式。三角恒等式のように全ての角度で成り立つわけではありません。
特定の角度でのみ成立する式: 特定の角度の集合でだけ真となる式。全角度で普遍性を持つ三角恒等式とは対照的です。
近似式: 実際の値と近いが、厳密には等しくない式。研究や計算で“おおよそ成り立つ”ことを示す際に用いられます。
非恒等式: 恒等性を満たさない式。全ての角度で成立しない点が特徴です。
局所恒等式: ある範囲内の角度でのみ恒等性が成立する式。普遍的な三角恒等式とは異なる局所的性質を持ちます。
例外がある式: 一部の角度で成り立たず例外が存在する式。

三角恒等式の共起語

三角恒等式: 三角関数の等式の総称で、角度 x に対して常に成立する式。例: sin^2 x + cos^2 x = 1
正弦関数: sin x; 単位円のy座標を表す基本的な三角関数。-1から1の範囲で周期的に振る舞います
余弦関数: cos x; 単位円のx座標を表す基本的三角関数。sinと同様に周期性を持ちます
正接・タンジェント: tan x = sin x / cos x の比で表される関数。cos x が0のとき定義されません
余接・コタンジェント: cot x = cos x / sin x の比で表される関数。sin x が0のとき定義されません
セク・sec: sec x = 1 / cos x の逆数関数。cos x が0のとき定義されません
余セク・csc: csc x = 1 / sin x の逆数関数。sin x が0のとき定義されません
和・差の公式（加法公式）: sin(x+y), cos(x+y), tan(x+y) など、角度を足したときの三角関数の関係を表します
二重角の公式: sin(2x) = 2 sin x cos x, cos(2x) = cos^2 x − sin^2 x, tan(2x) = 2 tan x / (1 − tan^2 x)
半角の公式: sin(x/2), cos(x/2), tan(x/2) の公式。角度を半分にしたときの関係を提供します
和積公式: sin a cos b = 1/2 [sin(a+b) + sin(a−b)], cos a sin b = 1/2 [sin(a+b) − sin(a−b)] など
和差公式: sin(A±B), cos(A±B), tan(A±B) の公式。角度の和・差を扱う基本形
単位円: 半径1の円。三角関数の幾何的解釈を提供する基盤図
ラジアン: 角度の計測単位。三角恒等式はラジアンで最も自然に表現されます
ピタゴラスの定理: 直角三角形の辺の関係。sin^2 x + cos^2 x = 1 の幾何的根拠にもつながります
正弦定理: 三角形の辺と対角の関係を結ぶ公式。三角形の周知の比から恒等的関係を導く出発点
余弦定理: 二辺と間の角からもう一方の辺を求める公式。三角関数の拡張として恒等性を扱います
三角関数の基本性質: 周期性、偶関数・奇関数など、恒等式を理解するうえでの基礎知識
奇関数・偶関数: sin x は奇関数、cos x は偶関数。関数の対称性が恒等式の簡略化に役立ちます
逆関数（アーク関数）: arcsin, arccos, arctan; 三角関数の逆操作。定義域・値域を決めて一意性を確保
オイラーの公式: e^{ix} = cos x + i sin x; 複素数の視点から三角恒等式を導く強力なツール
三角恒等式の証明テクニック: 代入・展開・整理・同値変形など、公式を厳密に導く際の基本的手法
三角関数の基本関係式: tan x = sin x / cos x など、日常計算で頻出する基礎関係
複素数と三角恒等式の関連: 複素平面と指数表現を用いると、三角恒等式が自然に現れます

三角恒等式の関連用語

sin^2 x + cos^2 x = 1: 三角恒等式の基本。任意の実数 x に対して sin^2(x) + cos^2(x) = 1 が成立します。単位円の定義から導かれます。
1 + tan^2 x = sec^2 x: タンジェントとセックの関係を示す恒等式。tan^2(x) に 1 を足すと sec^2(x)になります。
1 + cot^2 x = csc^2 x: コタンジェントとコセカーンの関係。cot^2(x) に 1 を足すと csc^2(x)になります。
sin(A ± B) = sin A cos B ± cos A sin B: 和角の公式。角 A と B の和・差を sin で表す基本公式です。
cos(A ± B) = cos A cos B ∓ sin A sin B: 和角の公式。角 A と B の和・差を cos で表します。
tan(A ± B) = (tan A ± tan B) / (1 ∓ tan A tan B): 正接の和・差公式。A と B の和・差を tan で表します。
sin(2x) = 2 sin x cos x: 二倍角公式（sin）。角 x を 2 倍したときの表現です。
cos(2x) = cos^2 x − sin^2 x: 二倍角公式（cos）。他の形にも展開できます。
cos(2x) = 1 − 2 sin^2 x: cos(2x) の別表現（sin を使う形）。
cos(2x) = 2 cos^2 x − 1: cos(2x) の別表現（cos を使う形）。
sin(x/2) = ± sqrt((1 - cos x)/2): 半角の公式（sin の半分角）。
cos(x/2) = ± sqrt((1 + cos x)/2): 半角の公式（cos の半分角）。
tan(x/2) = sin x /(1 + cos x) = (1 - cos x)/sin x: 半角の公式（tan の半分角）。
sin x cos y = (sin(x+y) + sin(x-y))/2: 和積公式の一種。積を和の形に変換します。
cos x cos y = (cos(x+y) + cos(x-y))/2: 和積公式の別形。
sin x sin y = (cos(x-y) - cos(x+y))/2: 和積公式の別形。
tan x = sin x / cos x: 正接の基本関係。tan x と sin, cos の関係を示します。
csc x = 1/sin x: 正弦の逆数としての恒等式（余接の逆数を意味する）。
sec x = 1/cos x: 余弦の逆数としての恒等式（セック）。
cot x = 1/tan x: 正接の逆数としての恒等式（コタン）。
正弦定理: 三角形の辺と対角の正弦の比が等しくなる関係。a/sin A = b/sin B = c/sin C
余弦定理: 三角形の辺と対角の関係。a^2 = b^2 + c^2 - 2bc cos A
オイラーの公式: e^{i x} = cos x + i sin x。複素数を用いて三角関数を結ぶ恒等式。
単位円の定義: 三角関数の値は単位円上の座標で決まる。角 θ に対して cos θ が x 座標、sin θ が y 座標。