自己回帰モデルとは？初心者にも分かる完全ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

自己回帰モデルとは何か

自己回帰モデルは、過去の値をもとに将来の値を予測する「時系列データの基本的な予測手法」です。過去のデータを並べて、次に来る値がどうなるかを推測します。初心者にも分かりやすいポイントは、使う情報は過去の観測値だけであり、新しく外部の情報を加えないことが多い点です。

基本の考え方

時間の流れに沿ってデータがどう動くかを把握するには、まずデータの並び方を整え、欠損値を処理します。その上で、過去の値 x_{t-1}, x_{t-2}, … を使って、現在の値 x_t を予測します。最も単純な形は「1つ前の値だけ」を使う形で、これをAR(1)と呼びます。より多くの過去データを使う場合は、AR(2), AR(3) などと表します。このアイデアは「過去の延長線上に未来がある」という直感に基づきます。

式のイメージと解釈

最も基本的なARモデルの一般形は次のように表されます。

x_t = c + phi1 x_{t-1} + phi2 x_{t-2} + ... + phip x_{t-p} + error_t

ここで c は定数、phi1 〜 phip は回帰係数、error_t は予測できない乱れを表します。AR(p)のpはデータによって変わるため、データを見ながら適切なpを選ぶことが大事です。

実際の手順

データを使ってモデルを構築する大まかな流れは次の3つです。

データ準備: 時系列データが時点順に並んでいるかを確認し、欠損値を処理します。
パラメータ推定: 過去の値と実際の値をもとに phi の値や c を決めます。最も一般的なのは最小二乗法です。
予測と検証: 未来の値を予測し、実測値と比較して精度を評価します。必要に応じて p を変えて再評価します。

実践的な例

下の表は、ある商品の日別売上の一部データを用いて AR(2) で次の日の売上を予測した例です。数字は分かりやすさのための単純化です。

<th>日付

x_{t-1}	x_{t-2}	予測 x_t	実測 x_t
日1	100	95	102	101
日2	101	100	103	105
日3	105	101	104	106

ARとARIMAの違い

この自己回帰モデルは時系列の一部の拡張形です。ARは過去の値のみを使うシンプルな形で、季節性やトレンドが強い場合には ARIMA や季節調整などの拡張が必要になることが多いです。

よくある誤解と注意点

データが単純だからといって、どんなケースでもうまくいくわけではありません。特に季節性・トレンド・外れ値・外部要因がある場合には、データを別の方法で処理する必要があります。データの前処理とモデル選択が成功のカギです。

まとめ

自己回帰モデルは、過去の値を使って将来を予測する基本的な時系列モデルです。使い方を理解すれば、ビジネスの予測や日常のデータ観察にも役立ちます。まずは AR(p) の考え方を押さえ、データに合わせて p の大きさと係数を調整していきましょう。

自己回帰モデルの同意語

自己回帰過程: 現在の値を過去の値の線形結合と白色ノイズで表す時系列モデルのこと。AR()pモデルの一般形で、過去p時点の値を用いて現在値を予測します。
自己回帰モデル: 過去の観測値を用いて現在の値を予測する時系列モデルの総称。特にARモデルとして、x_t = φ1 x_{t-1} + ... + φ_p x_{t-p} + ε_t の形になることが多いです。
ARモデル: Autoregressive Modelの略。現在値は過去の値の線形結合とノイズで決まるモデルを指します。p次元のモデルとして表されることが多いです。
AR(p)モデル: 次数pの自己回帰モデル。現在値は過去p時点の値の線形結合とノイズから成り、pがモデルの説明力を決定します。
自己回帰方程式: 現在値を決定する数式そのもの。x_t = φ1 x_{t-1} + ... + φ_p x_{t-p} + ε_t のように書かれることが一般的です。
自己回帰式: 現在値を表す式。過去の値とランダム誤差の和で現在値を予測する関数形式の表現です。
自己回帰型時系列モデル: 自己回帰の性質を持つ時系列モデルの総称。現在値は過去の値の線形結合とノイズによって決まるモデル群を指します。

自己回帰モデルの対義語・反対語

非自己回帰モデル: 現在の値を過去の自身の値に回帰させず、外部情報や現在値のみで予測するモデル。
外生回帰モデル: Y_tを過去の自分の値ではなく外生変数X_tで説明する回帰モデル。自己依存を避ける設計のことが多い。
単回帰モデル（外生変数使用）: Y_tを1つの外生変数X_tで説明する回帰モデル。自己の過去値を使わない点が自己回帰の対極。
横断データ回帰モデル: 時間的な自己依存を前提とせず、横断データを用いて回帰するモデル。
非時系列回帰モデル: 時系列の過去値の影響を前提とせず、時間依存性を含まない回帰設計。
自己回帰性が欠如したモデル: 自己回帰性（過去の自分の値に依存する性質）を意図的に排除した設計の総称。

自己回帰モデルの共起語

自己回帰係数: ARモデルの各遅れ値に掛かる係数。y_t = φ1 y_{t-1} + φ2 y_{t-2} + ... + ε_t の φ1, φ2 など。
遅れ / ラグ: 過去の時点を指す概念。現在値を計算するのに用いる直近の過去データの位置。例えば y_{t-1} のように1期の遅れを指す。
ラグ長 / 階数: AR(p) の階数。現在値を p 個前までの値で表すときの p。
AR(p): 現在値を過去 p 回の値の線形結合＋誤差項で表す自己回帰モデル。
AR過程: 自己回帰過程とも呼ばれ、時系列データを過去の値の影響で生成する概念。
時系列データ: 時間に沿って観測されたデータ点。ARモデルの対象となるデータ。
定常性: 統計量が時間に依存せず一定に保たれる性質。ARモデルの前提条件の1つ。
非定常性: 平均・分散が時間とともに変動する状態。差分化などで定常化することが多い。
差分: データの連続する値の差をとる操作。非定常性の解消に用いられる。
差分階数: 差分を何度繰るかを表す整数。例：一階差分、二階差分。
移動平均 / MA: 過去の誤差項の線形結合で現在値を説明する成分。ARMAのMA部分。
ARMA: 自己回帰成分と移動平均成分を組み合わせた時系列モデル。
ARIMA: AR（自己回帰）＋MA（移動平均）＋I（差分）を組み合わせたモデル。非定常性の扱いに使われる。
自己相関: 現在値と過去の値の相関の程度を表す指標。ARモデルの推定にも関与。
部分自己相関: 他の遅れの影響を取り除いた、特定の遅れの自己相関。
残差 / 誤差項: モデルの予測と実測値の差。ホワイトノイズであると仮定されることが多い。
白色雑音: 平均0・分散が一定・独立なノイズ。誤差項の典型的仮定。
最尤推定: 尤度を最大化するパラメータを求める推定法。
尤度: データが観測される確率の指標。パラメータ推定の基盤。
Yule-Walker方程式: 自己回帰係数を推定するための代表的な方程式群。
赤池情報量規準 (AIC): モデルの良さと複雑さを天秤にかけて比較する指標。
BIC / Schwarz情報量規準: サンプルサイズを考慮したモデル選択指標。
訓練データ: パラメータを学習するためのデータ。
検証データ: 学習済みモデルの性能を評価するためのデータ。
予測 / 予測区間: 未来の値の推定と、その推定の不確実性を示す区間。
MAE / RMSE / MAPE: 予測誤差の評価指標。平均絶対誤差、平方根平均二乗誤差、平均絶対百分率誤差。
モデル評価指標: 予測精度を測る各種指標の総称。
過学習リスク: 訓練データに過度に適合して新データで性能が落ちる現象。