高岡智則
年齢：33歳 性別：男性 職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当） 居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション 出身地：神奈川県川崎市 身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる） 血液型：A型 誕生日：1992年11月20日 最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒 通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分） 家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹 恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）
群数・とは？
群とは、ある集合とその集合の中で定まった二項演算の組み合わせが、特定の公理を満たすものを指します。ここでの公理には、閉包、結合法則、単位元、逆元 の存在が含まれます。
この「群」という性質を持つ集合の大きさを、専門用語で群数（ごうすう）と呼びます。群数 は「その群にいくつの元があるか」という意味で、有限か無限かで性質が少し変わってきます。
以下に代表的な例を挙げ、群数の感覚をつかんでいきましょう。
代表的な例
例1: 整数の加法群 Z はすべての整数の加算で演算します。この群は元の数が無限なので、群数も無限です。
例2: Z_n の加法群 {0,1,...,n-1} に mod n の加法を取ると、要素はちょうど n 個です。群数 は n、つまり有限の群です。この群は「巡回群」と呼ばれ、n 回の加算で 0 に戻ります。
例3: 置換群 S3 は {1,2,3} の全ての置換から成る群です。演算は順序付きの置換の組み合わせで、S3 の群数は 3! = 6 です。
群数の基本的な考え方
群数は、群の「大きさ」を表す指標です。群が有限であれば、その群数は整数として数えられ、有限群の性質を研究する手がかりになります。逆に、群数が無限の場合には、群の構造を詳しく分類するには別の道具（生成元、群の階層、群の作用など）を使います。
| 説明 | |
|---|---|
| 群 | 要素の集まりとその上の演算の組 |
| 群数 | その群に含まれる元の数 |
| 例 | Z, Z_n, S3 など |
日常の感覚に近づけると、群数 は「山盛りのカードを数えるような感覚」と似ています。カードの山をいくつかの山札に分け、それぞれの山札にいくつカードがあるかを数える感じです。群の性質は、演算のやり方次第で変わります。つまり、同じ集まりでも演算が違えば群数の意味や振る舞いが変わることがあります。
まとめ
この解説の要点は次のとおりです。群は演算を含む集合、演算の公理を満たすことが前提、群数はその群の元の数、 finite群と無限群がある、例として Z_n の群数は n、Z の群数は無限、S3 は 6 という点です。
群数の同意語
- 群の数
- あるデータ集合に含まれる群の総数を表す語。データを群に分けた際、いくつの群があるかを示します。
- 群の個数
- 群の個数は、群の数と同義の表現です。数を数える文脈で使われます。
- 群の総数
- 群の総数は、全体の群の数を指します。総計を述べる際に使われる表現です。
- グループ数
- データや集合を構成するグループの総数を指す語。日常語やIT・データ分析の文脈でよく使われます。
- グループの数
- グループの総数を意味します。口語的にも自然な言い回しです。
- クラスタ数
- クラスタリングの結果として得られるクラスタの数を指します。機械学習・データ分析で頻繁に使われます。
- クラスタの数
- クラスタの総数を表す表現。クラスタと同義です。
- クラスター数
- データを分類したクラスタの数を指す語。英語のクラスターに対応する表現です。
- クラスターの数
- クラスターの総数を指します。分析結果の要約として使われます。
- 集団数
- ある集団・集合の総数を表す語。社会科学や生物統計などで用いられます。
- 集団の数
- 集団の総数を指す自然な表現です。
群数の対義語・反対語
- 単数
- 一つだけ、単一の状態。群や複数の対義語として用いられる基本概念です。
- 単一
- 1つだけで構成される状態。複数ではなく一つに限定されるニュアンス。
- 単体
- ひとつの要素だけで成り立つ状態。群を成さず個体として扱われることを指します。
- 独立
- 他の要素に依存せず、独立した1つの単位として成り立つ状態。
- 孤立
- 他と結びつかず、群を形成していない状態。
- 複数
- 2つ以上の要素がある状態。群の対義語として使われることがあります。
- 多数
- 多数・多くの要素がある状態。1つではなく集団的な数を示します。
- 少数
- 数が比較的少ない状態。多数の対義語としてよく使われます。
- 個別
- それぞれが独立した個々の要素である状態。群としての結合とは対照的。
- 一人
- 1人だけの人物・個体を指す。
群数の共起語
- 群
- 同じ性質を共有する個体や事象の集まり。データ分析ではデータを分類する基本的な単位として使われます。
- 群集
- 生物や人の集団を指す語。自然現象や社会現象の“群”を表す場面で使われます。
- 群論
- 数学の分野の一つで、群とその性質を研究します。対称性や写像の性質を扱います。
- 位数
- 群が持つ要素の総数を表す数学用語。群のサイズを示す指標です。
- 群の位数
- 群の要素数。群のサイズを表す別表現です。
- クラスタ
- データを類似性で分けた小さな集まり。クラスタごとに特徴を見つけます。
- クラスタリング
- データを類似性に基づいて複数のクラスタに分ける分析手法。機械学習にも使われます。
- 分布
- データが取り得る値とその出現頻度を表す概念。ヒストグラムなどで視覚化します。
- データ
- 観測・測定して得られた情報の集合。分析の出発点となる基本要素です。
- サンプル数
- 観測対象の個数。統計的推定の精度に影響します。
- 実験
- 現象を検証するために計画的に行う操作・測定の過程。データを得る手段です。
- 実験群
- 実験で処理を受ける群。効果を評価する対象となります。
- 対照群
- 実験の比較対象となる群。処理を受けない群で基準を作ります。
- 集合
- 要素の集まりを指す数学用語。群は集合の一種として扱われます。
- 集団
- 特定の特徴を共有する個体の集まり。社会科学や生物学でよく使われます。
- 階層
- データやサンプルを階層構造で整理する考え方。多変量分析で使われます。
- 統計
- データを収集・整理・解釈する学問。群数を扱う分析の基礎です。
- 確率
- ある事象が起こる可能性を数値で表す概念。統計と深く関係します。
- 相関
- 二つ以上の変数の関係の強さや方向性を示す指標。群間の比較にも用いられます。
- 分析
- データを詳しく調べて意味を取り出す作業。統計・データサイエンスの核心です。
- 推定
- 未知のパラメータを観測データから推測すること。統計的方法のひとつです。
- 検定
- 仮説の正否をデータで検証する方法。群間の差を判断する際にも使われます。
群数の関連用語
- 群数
- 群の元の数を指す用語。文脈により意味が変わることもあるが、一般には群の位数を意味します。
- 群
- 結合法則と単位元および逆元を満たす演算を備えた集合の代数的構造。群の研究対象の基本です。
- 群の位数
- 群の元の総数のこと。有限群なら有限の整数、無限群なら無限大です。
- 有限群
- 元の数が有限である群。例として対称群や巡回群が挙げられます。
- 無限群
- 元の数が無限に続く群。整数の加法群などが例です。
- 群論
- 群を研究する数学の分野。群の性質や構造を解き明かす理論です。
- 群同型
- 2つの群が同じ構造を持つとき、対応を介して一方をもう一方へ写して同型にできる関係。
- 同型写像
- 群間の構造を保存する写像で、逆写像も存在します。
- 部分群
- 群の一部を抜き出しても、同じ演算を満たす集合のこと。
- 正規部分群
- 全体の群と共役してもその部分群が保たれる特性を持つ部分群。
- 商群
- 正規部分群をもとに作る新しい群。割り算のような意味合いを持ちます。
- 群作用
- 群が集合の要素を変形させる規則のこと。
- 軌道
- 群作用により同じ変形先の集合を成す要素の集合。
- 安定化子
- ある元を固定する群の部分集合。英語では stabilizer と呼ばれます。
- 軌道-安定化子の定理
- 軌道の大きさと安定化子の大きさの積が全群の大きさになるという関係。
- 生成元
- 群を生成するひとつまたは複数の元。
- 生成元集合
- 群を生成する元の集まり。
- 群の生成
- 生成元の組み合わせで全体の元を作れること。
- 巡回群
- 1つの元のべき乗で群全体が生成される群。
- サイクル群
- 巡回群の別名。1つの元のべき乗で全ての元を作れる群。
- 対称群
- 集合の全ての置換を要素とする群。置換群の代表格。
- 置換群
- 置換の集合に演算を定義した群。
- アーベル群
- 全ての元が可換する群。
- 非アーベル群
- 元の積が可換でない群。
- 中心
- 全元と可換する元の集合。すなわち群の中心は Z(G) と呼ばれます。
- 正規化子
- 部分群を共役で保つ元の集合。
- 自己同型群
- 群と同じ構造を保つ全自己写像の集合。
- 同型定理
- 群の同型関係と商群に関する基本的な定理の総称。
- 第一同型定理
- 写像と核と像の関係を示す基本定理。
- 第二同型定理
- 準同型と商群の関係を扱う定理。
- 第三同型定理
- 連なった商群の同型性を扱う定理。
- Sylow定理
- 有限群における p 乗数群の存在と性質を規定する定理。
- Cauchyの定理
- 有限群に素数 p が現れると p 元の元が存在することを保証する定理。
- p群
- 位数が素数 p のべきである有限群。
- 群拡張
- 既知の群を補助的な構造で拡張して新しい群を作る方法。
- 離散群
- 位相構造を考慮せず群の代数的性質だけを扱う群のこと。
- 共役類
- 群の共役によって分けられた元のクラス。
- 共役
- ある元を別の元で挟む変換で得られる類似の元の関係。
- 自明群
- 単位元だけを含む最小の群。
群数のおすすめ参考サイト
- 群数列とは? 複雑な問題を解くポイントと解法！例題と解答&解説つき
- 群とは何か - 東京理科大学
- 群の位数・元の位数とは～定義・例・性質～ | 数学の景色
- 【大学数学】群・環・体とは②｜すうぺん - note
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