正規方程式とは？初心者にも分かるやさしい解説と活用事例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

正規方程式とは？初心者にも分かるやさしい解説と活用事例

「正規方程式」という言葉を聞くと、難しく感じる人も多いかもしれません。しかし、実はとても身近な考え方です。ここでは中学生にも分かるように、正規方程式がどんな場面で出てくるのか、どうやって導くのか、そして簡単な例を使ってイメージをつかむ方法を紹介します。

正規方程式の基本イメージ

正規方程式は、データの中から“最もよく当てはまる直線や平面”を見つける道具です。たとえば「身長 x 学費の金額 y の関係」を考えるとき、いくつかのデータ点があれば、そのデータを最もよく説明する傾きを求めます。このとき出てくる式が正規方程式です。実はこの式を解くと、データの間にある誤差をできるだけ小さくすることができます。

なぜ正規方程式が必要か

データがたくさんあると、人それぞれの点が少しずつずれて見えます。これを“ノイズ”と呼びましょう。正規方程式は、こうしたノイズを平均的に小さくし、全体として最もよく説明するパラメータを見つける道具です。つまり、データに対して“最適な直線”を決めるための基本的な計算式です。

一次元の簡単な例

まずはシンプルに、データが1つの特徴量 x のみのときの例を見てみましょう。データ点 (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) があるとします。直線は y = w x で近づけるとします（切片を取らない簡略化）。正規方程式は次のようになります。

式の形	wを求める方程式
1変数のとき	w × Σ x_i^2 = Σ x_i y_i
解	w = (Σ x_i y_i) / (Σ x_i^2)

この結果、データの傾きを一つの数値で表せます。複数の特徴量がある場合は、もう少し複雑になりますが、同じ原理で「X^T X」や「X^T y」という形になり、それを解くと重み w が得られます。

行列を使った表現

データがたくさんあって、特徴量が複数あるときは、行列の形で表すと解きやすいです。説明変数を行列Xに、重みをベクトルw、目的変数をベクトルyとして、モデルを y ≈ X w と書きます。正規方程式はこのとき

式	X^T X w = X^T y
意味	未知の重みwを、データから最適に決める条件

この式を解くと、すべてのデータ点との差の二乗和を最小にする重みが出てきます。なお、データ量が多かったり、特徴量が多すぎたりする場合は、正規方程式を直接解くのが難しくなることがあります。そのときは、ベイズ的な発想や擬似逆行列（ピペソ逆行列）を使う方法、あるいは勾配降下法といった数値計算の手法が使われます。

正規方程式の注意点

覚えておいてほしいポイントをいくつか挙げます。

注意点1：特徴量が多いと過剰適合のリスクが高くなることがあります。

注意点2：特徴量同士が強く似ていると、X^T Xが正則でなくなることがあり、解を求めるのが難しくなることがあります。

まとめ

正規方程式は、最小二乗法の基本的な解の手段です。身近なデータ分析にも使われ、機械学習の基礎にもつながる重要な考え方です。

補足の例

実務では、正規方程式だけでなく、データの前処理や規模に応じた数値計算の工夫が必要です。たとえば特徴量を適切に標準化したり、データセットを適切に分割して検証したりします。

正規方程式の同意語

正規方程式: 線形回帰や最小二乗法で、未知の係数を求める際に現れる、X^T X β = X^T y のような方程式の集まりのこと。正規方程式を解くと、データの残差平方和を最小にする推定値を得られます。
最小二乗法の正規方程式: 最小二乗法において、推定量 β が満たすべき連立方程式。行列 X と観測値 y に対して X^T X β = X^T y の形をとり、解 β が最小二乗解となる。
正規方程式系: 正規方程式の集合体。複数の未知数を同時に求めるときに現れる連立方程式の系であり、解を得るときは通常線形代数の手法を使います。
Normal equations（英語名称）: 英語圏では“normal equations”と呼ばれるのと同じ概念。最小二乗法の推定を得るための方程式群のことを指します。

正規方程式の対義語・反対語

非正規方程式: 正規方程式とは異なる、一般的に“正規形”と呼ばれる標準的な形を満たさない方程式。解法や性質が異なることが多い。
正規でない方程式: 正規方程式ではないことを素直に表す表現。標準形を満たしていない方程式。
正規化されていない方程式: 方程式の係数やデータが正規化（スケーリング）されていない状態の方程式。
非正規化方程式: 正規化の反対の意味を示す方程式。データが正規化されていない場合を指す場面で使われる表現。
不正規方程式: 形式的には“正規方程式”ではない、標準形から外れた方程式。
正規形ではない方程式: 方程式が“正規形”に整っていない状態の方程式。
特異方程式: 係数行列が特異で解が一意に定まらないことに関連する、正規方程式とは違う性質の方程式。
非特異方程式: 係数行列が特異でない、つまり正規方程式のような安定性と結びつく場合の対義的概念。
誤った方程式: 正しい解を導かない、誤りを含む方程式。
不正な方程式: 意味的・計算的に不適切・不正確な方程式。
最小二乗以外の方程式: 正規方程式は最小二乗問題に対応するが、それ以外の解法に基づく方程式。
最小二乗法に基づかない方程式: 正規方程式の文脈で用いられる“最小二乗”以外の方程式という意味合いの対義概念。

正規方程式の共起語

最小二乗法: データと予測値の差（残差）を二乗して和を最小にするよう、回帰係数を決定する基本的な推定法です。正規方程式はこの法の係数を求めるときに現れます。
設計行列（デザイン行列）: 説明変数のデータを並べた行列。正規方程式では A という設計行列を用います。
回帰係数: 回帰式の未知の係数（傾きや切片など）、正規方程式を解いて求める値です。
線形回帰: 説明変数と目的変数の関係を直線で近似する分析手法。正規方程式は線形回帰の係数を求める式です。
観測値 / 目的変数: データセットの実測値、回帰モデルで予測の対象となる値です。
行列: 正規方程式は行列を用いて表現される線形代数の形式です。
逆行列: 行列を掛けて単位行列になる特殊な行列。正規方程式を解く際に A^T A が可逆ならこの逆行列を使います。
正定値行列 / 半正定値行列: A^T A は通常、半正定値または正定値となり、解が安定します。
疑似逆行列（ムーア-ペンローズ逆行列）: 設計行列が階数不足でも解を定義する手段。正規方程式の解が一意でない場合に用います。
右辺ベクトル（A^T b）: 正規方程式の右辺部分。観測値ベクトル b と設計行列 A の積の転置を用います。
ガウスの消去法 / LU分解 / 反復法: 正規方程式を数値的に解く代表的な手法。
残差: 実測値とモデルの予測値との差。最小化の対象となる量。
最適化問題: 誤差を最小にするパラメータを求める数理的問題。正規方程式はこの最適化の一形です。
設計行列の特異性: データに重複や欠損、説明変数間の強い相関があると正規方程式の解が不安定になります。
近似解 / 収束: 厳密解が得られない場合、数値的な近似解を用いて収束を待ちます。