エルミート共役・とは？初心者にもわかる解説ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

エルミート共役・とは？

エルミート共役とは、複素数を含む行列やベクトルを扱うときに使う重要な操作です。英語では Hermitian conjugate という言葉で、記号は A^†（Aのダガー）と書きます。日本語では「共役転置」などと説明されることもあります。

定義の要点 まず覚えてほしいのは、エルミート共役は「共役」と「転置」を同時に行うことです。共役は複素数の虚数部分の符号を反転すること、転置は行と列を入れ替えることです。A^† は、A の各成分を共役にしてから転置したものです。記号の意味をきちんと分けて覚えると、混乱しにくくなります。

この定義は実数だけの行列でも成り立ちます。この場合は A^† = A^T となり、虚数を反転する操作が必要ないので「転置だけをとる」ことになります。

表現の仕方は A^† = \overline{A}^T と書くのが一般的です。ここで \overline{A} は A のすべての成分の複素共役、T は転置を表します。

具体的な例

簡単な例として、A を次のような 2×2 の複素行列とします。 A = [[1+2i, 3-4i], [5, -i]]。このとき共役をとると \overline{A} = [[1-2i, 3+4i], [5, i]] となり、それを転置すると A^† = [[1-2i, 5], [3+4i, i]] になります。実際の計算では、各成分の虚数部分の符号を反転してから、行と列を入れ替えるという順序で進みます。

性質と使い方

エルミート共役にはいくつかの基本的な性質があります。まず (AB)^† = B^† A^† という法則です。これは転置が列と行を逆にし、共役が虚数部分の符号を変える性質の組み合わせによるものです。次に (A^†)^† = A、二度共役をとれば元の行列に戻ります。さらに、A が実数の成分だけからなる場合には A^† = A^T となり、通常の転置と同じ意味になります。

特別なケースとして「エルミート行列」という概念があります。もし A^† = A が成り立つなら、それはエルミート行列です。エルミート行列は固有値が実数になる性質があり、物理学や工学の問題で自然に現れます。現実世界のデータを扱うときにも、対称性や直交性を保つための設計に役立ちます。

応用のヒント

量子力学の内積や期待値の計算、信号処理でのフィルタ設計、機械学習での複素数データの扱いなど、さまざまな場面でエルミート共役は登場します。特に複素数の行列を扱うプログラミングや数値計算では、A^† を正しく使うことが正確さを左右します。

まとめと覚え方

要点をまとめると、エルミート共役とは A^† = \overline{A}^T のこと、複素共役をとって転置する操作、そして エルミート行列は A^† = A となる特殊な行列である、ということです。(AB)^† = B^† A^†、(A^†)^† = A という性質を覚えておくと、これからの学習がずっと楽になります。

例の表

元の行列 A	[[1+2i, 3-4i], [5, -i]]
エルミート共役 A^†	[[1-2i, 5], [3+4i, i]]

このように、エルミート共役は複素数を扱う線形代数の基本操作として、理論と計算の両方でとても大切です。中学生にも、まずは定義と例を通じて感覚をつかみ、慣れてきたら性質の証明の流れを追っていくと理解が深まります。

エルミート共役の同意語

複素共役転置: 行列の転置と各要素の複素共役を同時にとる操作。記号は A^H や A^*。エルミート共役と同じ意味。
共役転置: 複素共役転置の別称。行列を転置して各成分の複素共役をとる操作で、A^H = A^* の形になる。
エルミート転置: エルミート共役転置の別名。A^H で表され、エルミート共役と同じ意味。
エルミート共役: エルミート共役転置そのものを指す言い方。演算子や行列の随伴（複素共役転置）を意味する。
随伴: 演算子の随伴（adjoint）を指す一般用語。行列の場合はエルミート転置と等価で、A^† = (A^H) = (A^*) のこと。
随伴行列: 随伴をとった行列のこと。A の随伴行列は A^† で表され、実質的には複素共役転置と同じ操作を指す。
エルミート共役転置: エルミート共役と転置を同時に行う操作の別名。A^H = A^* と表される。

エルミート共役の対義語・反対語

転置: エルミート共役の要素のうち、複素共役をとらずに行列を転置する演算。記号は A^T。複素数を含む場合、A^T と A†（エルミート共役）は一般に別の値になる。
非共役転置: 複素共役をとらずに転置する操作を指す表現。実務ではほぼ A^T と同義だが、共役を行わない点を強調した言い方。
反エルミート行列: A† = -A を満たす行列。エルミート行列（A† = A）の「反対の性質」を持つ代表的なクラス。
非エルミート行列: A† ≠ A の行列。エルミート性を満たさない一般の行列を指す、対義的な性質を持つクラス。

エルミート共役の共起語

複素共役: 複素数 z = a + bi に対して虚部の符号を反転させた z̄ = a − bi のこと。「エルミート共役」の一部として使われる概念です。
共役転置: 行列の転置と複素共役を同時に行う操作。記号は A† を用い、エルミート共役の代表的な表現です。
自己共役: 演算子 A が自己のエルミート共役と等しい、すなわち A† = A のこと。代表例はエルミート演算子です。
エルミート演算子: 共役転置と等しい演算子のこと。固有値は実数になる性質を持ち、量子力学や信号処理などで重要です。
固有値は実数: エルミート演算子やエルミート行列の固有値は必ず実数になります。
スペクトル分解: エルミート行列は固有ベクトルで対角化でき、固有値は実数です。スペクトル分解と呼ばれます。
ユニタリ行列: 転置共役をとって掛け合わせても単位行列になるような行列。内積を保存する性質が特徴です。
内積: 複素ベクトルの内積 ⟨x,y⟩ = x†y の定義にエルミート共役が使われます。
直交基底: 固有ベクトルが互いに直交することにより作られる正規直交基底。スペクトル分解で現れます。
ヒルベルト空間: 複素内積空間の一般化された概念。エルミート共役はこの空間の内積と深く結びつきます。
実数対称行列: 実数成分の行列で Hermitian のときは対称行列として扱われ、固有値は実数です。
正規行列: A†A = AA† を満たす行列の総称。エルミート行列は正規行列の一例です。
量子力学: 物理学の分野で、観測量を表す演算子としてエルミート共役が頻繁に現れます。