ホモグラフィ変換とは？初心者でもわかる基本と実例解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

ホモグラフィ変換とは？初心者でもわかる基本と実例解説

ホモグラフィ変換は、2D の写真（関連記事：写真ACを三ヵ月やったリアルな感想【写真を投稿するだけで簡単副収入】）や画像同士の対応を使って、異なる視点から見た同じ平面の写像を表すすごく重要な考え方です。カメラが動くと、同じ場所の点も写真上で位置が変わります。このとき全ての対応点を1つの3×3の行列で表すのがホモグラフィ変換です。変換後の座標は、元の座標を同次座標系に変換してから、H という行列で掛け算して得られます。最後に非線形な正規化を行い、実際の画面座標に戻します。

直感的には、ホモグラフィ変換は「遠くのものは小さく見え、近くのものは大きく歪む」現象を数式で表現する方法です。たとえば、風景の写真を別の角度から写したとき、建物の直線が別の写真ではわずかに曲がって見える場合があります。これを正しく結び付けると、二つの写真を正しく並べて重ねることができ、パノラマ画像の作成や現実世界の物体の位置合わせに役立ちます。

式の概要としては、3 次元の同次座標系にて点 x=(x, y, 1) を x'=(x', y', w) に写像し、最終的に (x'/w, y'/w) を得ます。これを実現するのが 3×3 の行列 H で、H の9つの成分は対応点を使って決定します。実用的には、少なくとも4組の対応点が必要で、よく使われるのは最小二乗法や正規化を施した解法です。正規化はデータの尺度差を小さくして計算を安定させる重要なステップです。

以下に、ホモグラフィ変換の主要な構成要素をまとめた表を置きます。

用語	説明
ホモグラフィ変換	2D 点を別の平面へ写す 3×3 行列のこと
対応点	元の画像と変換後の画像で同じ現実の点を指す点の対
正規化	数値安定性を高める前処理のこと。座標を平均0・分散1へ整える場合が多い
用途	画像の結合・パノラマ作成・AR の現実感向上など

実際の手順としては、まず 対応点を選ぶ、次に 最小二乗法で H を求める、最後に 正規化を適用して座標を戻すという流れです。現場では自動的に検出された特徴点（SIFT, ORB など）を使って対応点を得ることが多く、これを数百組集めて H を推定するケースもあります。

この変換を学ぶと、写真同士を滑らかにつなぐ技術や、現実世界の物体の位置合わせ、AR の仮想物体の固定など、応用の幅がぐんと広がります。中学生でも理解できるポイントは、「点と点の対応を 1 つの変換で結ぶ」ことと、「変換の結果を正しく正規化して実際の座標に戻すこと」です。理解を深めるには、身近な写真を使って自分で点を対応づけ、H を推定してみるのが一番の近道です。

注意点として、平面でない場面ではホモグラフィ変換は厳密には成立しません。曲面や球状の物体は、同じ平面として扱うと誤差が出ます。その場合は平面性を前提とした近似として扱います。

ポイントの選び方のコツとして、特徴点はテクスチャが豊富で角度が変わっても検出しやすい場所を選ぶと良いです。カーソル視点を変えたり、光の条件を変えたりしても一致点が見つかりやすくなります。

最後に、実装面のヒントとして、OpenCV などのライブラリには findHomography という関数があり、4点以上の対応点から高精度に H を計算してくれます。