モノイド・とは？初心者にも分かるやさしい解説と身近な例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

モノイド・とは？基本の定義

モノイドは、数学の分野でよく使われる考え方です。ある集合と、その集合の元を結ぶ演算が3つの大切な性質を満たすときにモノイドと呼ばれます。ここでは中学生にもわかるように、できるだけ平易な言い方で解説します。

閉包性とは、任意の元 a と b をその演算で結んだ結果も、同じ集合の元になるという性質です。例えば自然数の加法では、2つの自然数を足した結果は必ずまた自然数になります。

結合律とは、3つ以上の元が関わるとき、演算の順序を変えても結果が変わらないという性質です。すなわち (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c) が成り立つということです。例えば数字の足し算や文字列の連結は、順番を少し変えても最終的な結果は同じになります。

単位元とは、演算と組み合わせても元の値が変わらない特別な元のことです。例えば、自然数の加法では <span>0 が単位元で、すべての自然数 a に対して a + 0 = a、0 + a = a が成り立ちます。文字列の連結では空文字列が単位元です。

身近な例で考えてみよう

例1：自然数の加法。集合は自然数全体、演算は加法、単位元は 0 です。自然数の加法は 閉包性 を満たし、結合律 も成立します。さらに 0 を左や右に付けても元の数は変わらないので 単位元 の条件も満たします。

例2：文字列の連結。集合は任意の文字列、演算は連結、単位元は空文字列です。文字列の連結は閉じており、(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) も成立します。空文字列を両端にはさんでも元の文字列が変わらないことが 単位元 の役割です。

もう少し進んだ例

例3：関数の合成。集合 X 上の元となる関数全体を考えると、演算を「関数の合成」とすると、任意の3つの関数 f, g, h に対して (f ∘ g) ∘ h = f ∘ (g ∘ h) が成り立ちます。恒等写像 id : X → X は単位元となり、f ∘ id = id ∘ f = f が全ての f に対して成り立ちます。ここまでで、関数の集合もモノイドになることが分かります。

モノイドと群の違い

モノイドとよく混同される言葉に「群」があります。群も同じ3つの性質のうち 閉包性、結合律、単位元 を満たしますが、群は「すべての元に対して逆元が存在する」という追加の性質を持ちます。逆元とは、ある元 a に対して b が存在して a ∘ b = b ∘ a = e となるような元のことです。日常の例でいうと、加法の群では整数の全体、演算は加算、単位元は 0、逆元は各数が自分の反数になることなどが挙げられます。

モノイドを学ぶ意味

モノイドの考え方は、物事を「組み合わせて扱う仕組み」を整理する時に役立ちます。プログラミングの設計、データの流れを考えるとき、ある処理を別の処理とどう結びつけるかを考える際の基礎になります。難しそうに見えても、身近な例から考えれば理解しやすく、段階的に概念を積み上げていくことができます。

要点の表

<th>要素

説明
集合	モノイドの元になる集合
演算	2つの元を結ぶ二項演算
閉包性	演算の結果は必ず同じ集合の元になる
結合律	演算の順序を変えても結果が変わらない
単位元	演算と組み合わせても元の値になる元

まとめ

モノイドとは「集合と、それを結ぶ演算がおさえる三つの性質を同時に満たす数学的な構造」です。身近な例として自然数の加法や文字列の連結を思い浮かべるとイメージしやすくなります。これを基に、より難しい概念へと橋渡しをしていくことができます。

モノイドの同意語

恒等元を持つ半群: モノイドの定義を別の言い方にした表現。集合と結合的な二項演算からなる代数系で、結合律が成立し、さらに恒等元（単位元）を備える。
単位元付き半群: 恒等元を含む半群を指す語。モノイドと同じ構造を指すときに使われることが多い。
恒等元を有する半群: 半群のうち恒等元を有するものを指す言い方。モノイドと同義の意味で使われることがある。
恒等元を含む半群: 恒等元を含む半群の別表現。モノイドの意味合いを説明するときに使う語。
モノイド構造: モノイドという概念を“構造”として捉えた表現。結合律と恒等元を備えた演算の組を指す。

モノイドの対義語・反対語

非モノイド: モノイドの定義を満たさない集合と二項演算の組。つまり、結合律や単位元の存在のいずれかが欠けている、あるいは条件を全て満たさない構造を指します。
結合性を欠く代数系: 二項演算が結合律を満たさない構造。モノイドの中核である結合性が欠けている場合を指します。
単位元を持たない代数系: 恒等元（単位元）が存在しない二項演算系。モノイドの必須条件の一つが欠けている状態です。
半群: 結合律は成立するが、必ずしも単位元を持たない代数系の代表例。モノイドより条件が緩い構造として対比されます。
群（モノイドの強化形）: すべての元に逆元が存在するモノイドの強化形。モノイドに逆元の条件を追加した概念で、モノイドと対比して説明されることが多いです。