半正定値行列とは？初心者でもわかる基礎ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

半正定値行列とは？

数学でよく出てくる「半正定値行列（はんせいじょうたいぎょうれつ）」は、データの性質を表す重要な道具です。初めてでも、日常の言葉で考えればなんとなくつかみやすい概念です。

基本的な定義。実数の行列 A が半正定値であるとは、x^T A x ≥ 0 が任意のベクトル x に対して成り立つことを言います。ここで x は n 次元の実数ベクトルです。これを読むと「A がどんなときでも、x を入れると検査値が 0 以上になる」という性質が連想されます。

対称性と定義の関係

現実的には、半正定値は対称な行列に対して定義されることが多いです。実数のときは A が対称である場合に x^T A x ≥ 0 の条件が成立すれば、それが半正定値行列と呼ばれます。実際には、A が対称でなくても、対称部分（(A + A^T)/2）を用いて同様の性質を調べることがあります。

代表的な例

例1: 2×2 の実対称行列 A = [[2, -1], [-1, 2]]。この行列は固有値が 1 と 3 で、全て非負なので半正定値です。

例2: 非対称な場合の注意点。A = [[0, 1], [0, 0]] のような行列は <span>x^T A x が常に ≥ 0 になるとは限りません。半正定値であるとは言えません。

性質と活用

半正定値の大きな特徴は、様々な変換の下でも性質が保たれることです。

任意のベクトル x に対して x^T A x ≥ 0 が成り立つ。

任意の行列 B に対して B^T A B も半正定値になる。

A が正定値（すべての固有値が正）とき は、A は半正定値であり、なおかつ逆行列が存在すれば「正定値」と呼ばれます。

固有値と判定

半正定値かどうかを判定する方法の一つとして、固有値を調べる方法があります。実数対称行列 A が半正定値であるなら、その固有値はすべて >= 0 です。逆に、全ての固有値が非負であれば、x^T A x ≥ 0 は全ての x に対して成立します。

実用的な使い方

実務や学習の場面では、最適化の分野で「半正定値行列」が重要な役割を果たします。例えば、二次形式を最小化・最大化する問題や、制約付き最適化（半正定値計画法: SDP）などです。データの分散共分散行列は本来半正定値ですし、機械学習のカーネル法でも正定値・半正定値が重要です。

表でおさらい

<th>性質

説明	例
x^T A x ≥ 0	すべてのベクトル x に対して成立	半正定値の基本条件
固有値 ≥ 0	固有値の非負性と同値	指標として使える
対称性	多くの場合実数対称行列として扱う	例: A = [[2, -1], [-1, 2]]

まとめのポイント

半正定値行列は、x^T A x が常に非負になる性質を持つだけでなく、行列の変換下でもこの性質が保たれる点が大切です。数学だけでなく、データサイエンスや最適化の現場でも頻繁に現れる考え方です。

日常的なイメージ

例えば、ベクトル x は私たちの入力データ、A はデータの関係を表す道具と考えると、x^T A x はデータの「エネルギー」のようなものと考えられます。エネルギーが負になることは現実世界ではありえない、という直感が半正定値の感覚をつかむ手助けになります。

半正定値行列の同意語

半正定値行列: 実対称行列で、任意のベクトル x に対し x^T A x ≥ 0 となる行列。固有値はすべて非負で、二次形式が常に非負になる性質を持つ。最適化や安定性の議論で頻出。
半正定行列: 半正定値行列の略称。意味は同じく、実対称で x^T A x ≥ 0、固有値が非負である性質を指す。
非負定値行列: 半正定値行列の別称として使われることがある表現。ただし文脈によっては対称性が前提となる場合が多い点に注意。
非負定値対称行列: 対称で半正定値の性質を持つ行列を指す表現。実数対称行列であれば x^T A x ≥ 0 を満たし、固有値が非負。
対称半正定値行列: 対称かつ半正定値の性質を満たす行列のこと。実対称行列で固有値がすべて非負のときに該当。
実対称半正定値行列: 実数成分を持ち、対称で固有値が非負の半正定値行列を指す専門用語。

半正定値行列の対義語・反対語

正定値行列: 意味: 実対称（またはエルミート）で、任意の非零ベクトル x に対して x^T A x > 0 が成立する行列。固有値はすべて正。半正定値よりも強い正の性質を持つ代表的な例。雛形は単位行列など。
負定値行列: 意味: 実対称で、任意の非零ベクトル x に対して x^T A x < 0 が成立する行列。固有値はすべて負。正定値の反対の性質を持つ。
負半正定値行列: 意味: 実対称で、すべての x に対して x^T A x ≤ 0 が成立する行列。固有値はすべて非正（0を含む）。正の半正定値の反対側の性質。
半正定値でない行列: 意味: A が半正定値の条件を満たさない行列。少なくともある x について x^T A x が負になる場合があり、必ずしも正の値だけをとるわけではない。正の半正定値を満たさないことを示す表現。
非半正定値行列: 意味: 正半正定値でない行列。一般には x^T A x が負になるケースがあるなど、半正定値の条件を満たさないことを指す表現。
正定値でない行列: 意味: 正定値の条件を満たさない行列。すべての x ≠ 0 に対して x^T A x > 0 にはならず、半正定値を満たす場合もあれば、半正定値でない（不定値・負半正定値を含む）場合もある。

半正定値行列の共起語

正定値行列: すべての非零ベクトル x に対して x^T A x > 0 を満たす対称（実）またはエルミート（複素）行列。半正定値行列の特別な場合で、固有値がすべて正です。
対称行列: 実数成分で A^T = A を満たす行列。半正定値性を議論する際の基本的な前提になることが多いです。
実対称行列: 実数要素を持ち、転置が自身と等しい行列。半正定値性や固有値分解と密接に結びつきます。
エルミート行列: 複素数成分の行列で、A^ぶんの共役転置が元の行列に等しい。固有値は実数で、半正定値性は固有値の非負性で判定します.
固有値: Av = λv を満たすスカラー λ。半正定値行列ではすべての固有値が非負（λ ≥ 0）です。
固有値分解: 対称/エルミートな行列なら A = Q Λ Q^T（または Q^*）の形に分解でき、Λ の対角要素が固有値。半正定値性は Λ の全要素が非負であることと同値です。
スペクトル分解: 対称/エルミートな行列に対する分解で、A = U Λ U^*。Λ の対角成分は固有値で、非負であれば PSD です。
二次形式: x^T A x の形で表される二次式。半正定値行列ならこの値がすべて非負になります。
Cholesky分解: 正定値行列に対して A = L L^T の形で分解できる。数値計算や最適化で広く使われます（PSD でも適用には条件があります）。
共分散行列: データの分散と共分散を表す対称行列で、x^T Σ x ≥ 0 となる性質を持ち、PSD です。
カーネル行列: データ間の内積を表す Gram 行列で、φ(x) の内積により作られ、PSD の性質を持ちます。
半正定値性: 任意のベクトル x に対して x^T A x ≥ 0 を満たす性質。PSD の定義そのものです。
非負固有値: PSD の特徴の一つで、行列のすべての固有値が非負であることを指します。
半正定値計画: 変数 X が PSD 行列であるという制約の下で行う最適化問題の総称。多様な工学・データ科学の応用に使われます。
主成分分析: データの分散を最大化する直交基底を見つける手法。共分散行列が PSD であることが前提になります。
PSD行列: 正式には Positive Semi-Definite 行列の略称。x^T A x ≥ 0 となる行列のことを指します。

半正定値行列の関連用語

半正定値行列: 任意のベクトル x に対して x^T A x ≥ 0 となる実数対称行列（または複素数の場合はエルミート行列）。固有値は非負で、A ≽ 0 と表記される。
正定値行列: すべての非零ベクトル x に対して x^T A x > 0 が成立する実数対称行列（複素数の場合はエルミート行列）。固有値はすべて正。
非負定値行列: 半正定値行列と同義で使われることが多い用語。A ≽ 0 の意味と同じ。
対称行列: A = A^T の実数行列。半正定値の前提として対称性が必要になることが多い。
実対称行列: 成分がすべて実数で、A = A^T の行列。半正定値は実対称であることが多い条件。
複素エルミート行列: 共役転置 A^H = A の行列。半正定値はこの性質と固有値が非負であることの組み合わせで語られる。
固有値: 行列の固有値 λ は A v = λ v を満たすスカラー。半正定値行列ではすべての λ が λ ≥ 0。
固有値分解: 対称/エルミート行列では A = Q Λ Q^T（または Q Λ Q^H）となり、Λ は固有値を対角成分に持つ対角行列。
グラム行列: ベクトル集合 X に対して A = X^T X と表せる PSD 行列。x^T A x = ||X x||^2 ≥ 0。
コレスキー分解: 正定値行列には A = L L^T の形で分解可能。半正定値行列では条件次第で成り立つが一般には不可となることもある。
Sylvesterの判定: 正定値行列の判定法で、すべての先頭主小行列の行列式が正であることを満たすとき正定値。半正定値には適用が限定的。
Loewner順序: 行列の比較を表す順序。A ≽ B は A − B が PSD であることを意味し、A ≽ 0 は A が半正定値であることを示す。
半正定値計画法: SDP（半正定値計画法）は、変数を半正定値行列として扱い、線形制約と目的関数を最適化する最適化手法。機械学習や制御などで広く使われる。
定義の要点: 半正定値行列は x^T A x ≥ 0 を満たし、固有値が非負、実数なら対称、複素数ならエルミートであることが多い。