確率微分方程式とは？初心者向けに丁寧に解説する基本ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

確率微分方程式とは？

確率微分方程式は、時間とともに変化する量の動きを、 決定的な成分 と 乱れ（ランダムさ） の両方で表すモデルです。日常の現象の多くには、規則的な部分と偶然の揺らぎが混ざっています。こうした現象を数学的に扱うとき、確率微分方程式を使うと将来の状態の予測だけでなく、どんな値をとるかの可能性の広がり（分布）も考えることができます。以下では、中学生にも分かるように、基本的な形と意味、使われ方について順に解説します。

最も基本的な形と意味

最も基本的な確率微分方程式の形の代表例は、次のように書かれます。dX_t = μ dt + σ dW_t。ここで、μ はドリフト項と呼ばれ、平均的な変化の速さを表します。σ は拡散項と呼ばれ、乱れの強さを表します。W_t はウィーナー過程（Brownian motion）といい、連続的で正規分布の増分を持つランダムな過程です。式の左側は変数 X_t の「変化量」を表し、右側は時間の微小な変化と乱れを分解して表しています。

この形の解釈としては、X_t は時間とともに、μ dt の确定的な動きと、σ dW_t の乱れの影響を受けて変化していく、という意味になります。日常の例としては、株価の動きや物理的な粒子の拡散、人口の変動など、さまざまな現象をモデル化する際に使われます。

Itô 計算と意味づけ

確率微分方程式を正しく扱うには、Itô 計算と呼ばれる特殊な微分の考え方が登場します。Itô の法則を使うと、関数 f(X_t) の変化を、乱れがある場合でも正確に分解して求めることができます。これにより、SDE から新しい変数の動きや確率分布の変化を導くことができます。

解く方法と近似

解析解が出る場合もありますが、多くの SDE では厳密な解が得られません。そのため、数値的な近似が重要になります。代表的な方法として Euler–Maruyama 法 が挙げられます。離散時間 Δt をとると、更新式は次のようになります。

X_{n+1} = X_n + μ Δt + σ ΔW_n

ここで ΔW_n は平均 0、分散 Δt の正規乱数の増分です。実務では ΔW_n ≈ sqrt(Δt) Z_n、Z_n は標準正規乱数として生成します。これを繰り返すことで、時系列の近似解を得ることができます。

実生活への応用と代表的な例

確率微分方程式は、金融の世界で特に有名です。株価の動きは、長期的には成長する力（ドリフト）と日々の小さな変動（拡散）に左右されます。物理学では拡散現象、化学反応の乱雑な挙動、気象モデルの一部にも現れます。生物学では個体群の変動や遺伝的な漂流にも使われることがあります。

簡単な応用例のまとめ表

<th>項目

説明
dX_t = μ dt + σ dW_t	最も基本的な SDE の形。μ はドリフト、σ は拡散、W_t はウィーナー過程です。
例: OU 過程	dX_t = θ(μ - X_t) dt + σ dW_t。平均回帰の性質を持つ例。
数値解法	Euler–Maruyama 法などを用い、Δt を小さくして近似解を得る。

まとめとポイント

確率微分方程式は、時間の経過とともに変化する量を、決定的な部分と乱れの部分の両方で表す道具です。Itô 計算を使えば、乱れを含むダイナミクスを正しく扱え、解析解が難しい場合には数値法で近似解を得ることができます。身の回りの現象をより現実に近い形で表現したいときには、SDE の考え方を取り入れると強力です。

応用のヒント

初めて SDE を触る場合は、まず dX_t = μ dt + σ dW_t のような基本形を手元でシミュレーションしてみると良いでしょう。μ や σ を変えると、平均的な動きと乱れの強さがどう変わるか、実際のデータと比べてどの程度再現できるかを観察すると、理解が深まります。

数式を追いかけるのが難しいときは

抽象的な話だけでなく、具体的な現象を例に挙げて考えると理解が深まります。たとえば「株価の動きは、長期的には上昇しつつ、日々は小さな乱れで揺れ動く」という直感を、μ と σ の意味からつかむと、SDE の意味が見えやすくなります。

確率微分方程式の同意語

確率微分方程式: 確率過程の挙動を記述する微分方程式。ノイズを駆動項として組み込んだモデルを表します。
ストキャスティック微分方程式: 英語 Stochastic Differential Equation の日本語表記。SDE と呼ばれるモデルのことです。
確率的微分方程式: 確率という要素を含む微分方程式の総称。SDE の別表現として使われます。
伊藤方程式: Itô積分を用いて表される確率微分方程式の代表形。伊藤解釈のモデルを表します。
伊藤型確率微分方程式: 伊藤積分を前提とした確率微分方程式の型。ノイズの扱いが伊藤積分で決まります。
Itô方程式: Itô 方程式の別表記。日本語と英語の表記の違いだけです。
Itô型確率微分方程式: Itô 型の確率微分方程式。伊藤積分を使う形のSDEです。
拡散型確率微分方程式: 拡散過程を駆動するタイプの確率微分方程式。ノイズ項が拡散として現れます。
拡散方程式: 拡散過程を記述する微分方程式の別表現。文脈によりSDEを指すこともあります。
Stochastic Differential Equation: 英語名そのまま。国際的な表現としてよく使われます。
SDE: Stochastic Differential Equation の略称。論文やコードで頻繁に使われます。
Wiener過程を駆動項とする微分方程式: Wiener過程をノイズ源として用いる微分方程式の言い換えです。
確率過程の微分方程式: 確率過程そのものを微分方程式で表現するという意味の広い表現です。

確率微分方程式の対義語・反対語

決定論的微分方程式: 意味: 初期条件が与えられれば解は唯一で予測可能。確率的なノイズや乱れを含まず、未来の挙動が決定論的に決まる微分方程式のこと。
常微分方程式（ODE）: 意味: 時間に対する変化を記述する、確率項を含まない決定論的な微分方程式。ノイズがない前提のモデルの代表格。
決定論的過程: 意味: 系の未来状態が初期条件と決定則だけで決まる過程。乱数を使わず、確率的要素を含まないモデルのこと。
非確率的モデル: 意味: 確率や乱数を用いず、現象を決定論的に表現するモデル。SDEの対になる形で、確率成分を排除した表現。
決定性微分方程式: 意味: 解が常に決定的で、同じ初期条件であれば同じ経路をたどる微分方程式。乱雑さや確率的影響がない点が特徴。
ノイズなし微分方程式: 意味: 方程式の中にノイズ（確率的成分）が含まれていない、いわゆるノイズレスな微分方程式。SDEと対比して用いられる表現。

確率微分方程式の共起語

Itôの補題: Itôの補題は、Itô積分を含む確率微分方程式の関数変換を扱う基本公式です。関数 f(X_t) の変化を正しく求められ、解の導出や変換に使われます。
Itô積分: Itô積分は、ウィーナー過程と決定論的関数の積分を定義する特殊な積分です。通常のリーマン積分とは扱いが異なり、確率計算に適用されます。
ウィーナー過程（ブラウン運動）: 正規分布の増分を持ち、連続で独立な確率過程。SDEのノイズ成分として最も基本的なモデルです。
確率積分: 確率過程を別の過程に対して積分する演算の総称です。Itô積分とStratonovich積分が主要な2つの定義です。
Stratonovich積分: 直感的に扱いやすい積分定義で、物理系のモデル化で使われることが多いです。
拡散過程: SDEで表される、時間とともに分布が拡散していく過程です。
Fokker-Planck方程式: SDEによって決まる確率分布の時間発展を記述する偏微分方程式です。
確率過程: 時間とともに値が変化する乱れを扱う数学的枠組みの総称です。SDEはその一種です。
マルコフ過程: 現在の状態だけが未来を決定する性質を持つ確率過程。SDEで生成されることが多いです。
Euler–Maruyama法: SDEを数値的に解く最も基本的な近似法で、時間を離散化して解を計算します。
Milstein法: Euler–Maruyama法を改良した、拡散項の二次項を考慮して精度を高める数値解法です。
拡散係数: ノイズの強さを表すパラメータ。拡散項に現れます。
拡散項: SDEのランダム成分を表す項で、ノイズの影響を決定します。
ノイズ項: 乱れの成分。拡散項と同義で使われることも多いです。
ドリフト項: SDEの決定論的な部分。状態の平均的な動きを表します。
初期値問題: SDEを解く際の初期状態を与える設定です。
境界条件: 解が満たすべき条件や取り得る範囲を指定します。SDEの解に影響します。
パラメータ推定: 観測データから未知のSDEパラメータを推定する作業です。
最尤推定: データが観測される確率を最大化するパラメータを求める代表的な推定法です。
ブラック-ショールズ方程式: 株価のSDEから導かれる偏微分方程式で、金融商品の価格付けに使われます。
金融工学: 金融商品の評価やリスク管理にSDEモデルを活用する分野です。
SDE: 確率微分方程式の英語略称。確率論的に時間変化を扱う基本的な方程式の総称です。

確率微分方程式の関連用語

確率微分方程式: 確率過程を用いて、時間の微小区間での状態の変化が決まる方程式。通常、dX_t = μ(X_t,t) dt + σ(X_t,t) dW_t の形式で書かれ、ドリフト項 μ と拡散項 σ がノイズを伴う動きを表す。
確率過程: 時間とともにランダムに変化する量のモデル。ブラウン運動やマルコフ過程、拡散過程などが含まれる。
ウェイナー過程（ブラウン運動）: 連続で独立した正規分布の増分を持つ連続時間の確率過程。SDE の拡散項の基礎となるノイズの代表例。
Itô積分: Wiener過程 W_t と適切な関数を掛け合わせて定義する確率積分。伊藤の積分法則に従い、微小時間での積分を定義する。
Itôの公式（Itôの lemma）: SDE に関数を適用するときの微分の公式。二次の項が現れ、関数の変化を μ dt + σ dW_t から表す重要な道具。
Stratonovich積分: 別の定義の確率積分で、物理学での連成や中間値扱いに適している。 Itô積分と変換が可能。
強解（strong solution）: SDEを満たす確実な実現過程 X_t を、与えられた確率空間と Wiener過程に対して決定的に存在させる解のこと。
弱解（weak solution）: 解の分布がSDEを満たすような解。確率空間やWiener過程が変えられてもよい場合もある場合の解。
マルコフ過程: 現在の状態のみで未来が決まり、過去の経路に依存しない確率過程。SDE から生成されることが多い。
拡散過程: 連続的に変動する確率過程で、SDE によってモデル化される最も典型的な過程の一つ。
フォック-プランク方程式（Fokker-Planck equation）: SDE の確率密度の時間発展を表す偏微分方程式。前方方程式とも呼ばれる。
Kolmogorovの後方方程式（Backward Kolmogorov equation）: SDE に対応する別の確率密度の方程式で、関数の期待値を満たす PDE。
Lipschitz条件: 解の存在と一意性を保証するための、関数の連続性と成長を制限する条件。特に μ, σ が Lipschitz だと良い。
成長条件: μ, σ の成長を制限する条件。解の時間発展の安定性に関係する。
初期値問題: 初期時刻 t=0 での状態 X_0 を与えてSDEを解く問題。
Euler-Maruyama法: SDEを離散時間で近似する最も基本的な数値解法。Δt に対して強収束・弱収束を評価する。
Milstein法: Euler-Maruyamaより精度の高い数値解法で、拡散項の二次微分を考慮する。
ジャンプ拡散過程（Jump-diffusion process）: 拡散項とジャンプ項を組み合わせたモデル。突然の跳び（ジャンプ）を表す。
Girsanovの定理: 測度を変換して、ドリフト項を変更する理論。リスク中立測度などの用途を持つ。
オルンシュタイン＝ウーナック過程（Ornstein-Uhlenbeck process）: 平均回帰性を持つ線形拡散過程の代表例。長時間は定常分布へ収束する。
ブラック-ショールズモデル: 金融工学で株価をSDEでモデル化する代表的モデル。dS = μS dt + σS dW_t に基づき、オプションの評価にPDEを導く。
定常分布: 長時間観察したときに確率分布が一定になる状態。拡散過程の重要な性質の一つ。
解の存在と一意性の定理: 適切な条件下で、SDEに対して解が存在し、かつ一意に決まることを保証する定理。
ドリフト項と拡散項: SDE の μ（ドリフト）と σ（拡散）で、平均的な動きとノイズの強さを表す。