基本行列・とは？初心者にも分かる解説と使い方ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

基本行列・とは？

「基本行列・とは？」という言葉は、線形代数を学ぶときに必ず出てくる大事な考え方です。基本行列とは、行操作を表す小さな正方行列のことで、元の行列に対して行を入れ替えたり、行の一部を他の行の組み合わせで作ったりする操作を、左からこの小さな行列を掛けるだけで実現できます。

日常的な言い換えをすると、「大きな行列に対して行う変換を、ひとまとまりの小さな行列の掛け算で表す道具」、という感じです。これを使うと、複雑な計算を段階的に整理でき、逆に大きな行列を操作して別の形に整える作業がとても分かりやすくなります。

基本行列の3つのタイプ

1) 行の交換：ある行と別の行を入れ替える操作です。対応する基本行列は対角成分がほとんど1で、入れ替えたい行の場所だけ0と1を入れ替えたものになります。例として、2×2の場合は E = [ [0, 1], [1, 0] ] が使われます。左から A に掛けると、R1とR2が入れ替わります。

2) 行の定数倍：ある行をある定数 c(0以外) 倍にする操作です。対応する基本行列は、対角にその定数を置き、他は1のままです。2×2の場合、R1を3倍にするなら E = [ [3, 0], [0, 1] ]、R2を2倍にするなら E = [ [1, 0], [0, 2] ] となります。

3) 行への別の行の足し算：ある行に別の行のk倍を足す操作です。対応する基本行列は、対角は1で、入れ替えたい場所にkを入れます。例えば R1 <- R1 + k*R2 の場合 E = [ [1, k], [0, 1] ] となります。左から A に掛けると、R1 が R1 + k*R2 になります。

具体例で見る基本行列の使い方

次の行列 A を考えます。

[[2, 3], [1, 4]]

例1: R2 <- R2 - R1 を行う場合、対応する基本行列は E = [ [1, 0], [-1, 1] ] です。左から掛けると A' = E*A となり、

A' = [[2, 3], [-1, 1]] となります。

例2: 行を交換する場合、E = [ [0, 1], [1, 0] ] を使うと R1 と R2 が入れ替わります。A に適用すると A" = E*A で [[1, 4], [2, 3]] となります。

このように、基本行列は行操作を「掛け算の形」に変換する道具なので、複数の操作を順に適用するときは E_k ... E_1 のように掛け算を積み重ねていきます。線形代数のもう一つの大切なテーマである「行基本変形を通じた解の探索」や「行列の逆行列の計算」でも、基本行列は重要な役割を果たします。

実用的な使い方のコツ

・行操作を覚えるときは、左から順番に掛けることを意識しましょう。左から掛ける理由は、行の変換を対応する行列で一括して表現するためです。
・複数の操作を同時に考えるときは、順番を崩さずに E_k ... E_1 の順番で追って計算します。
・行列の積は結合法則があるので、複数の操作を連続して行っても最終結果は同じになることが多いです。

要点のまとめ

・基本行列は「行操作を表す小さな正方行列」 である。
・3つの基本タイプは「行の交換」「行の定数倍」「行への別の行の足し算」
・A に対して左から E を掛けると、行操作を実現できる
・複数の基本行列を掛け合わせて、大きな行列に対する一連の操作を表せる

表で見る基本行列の例

<th>操作

基本行列 E	意味
行の交換	[ [0, 1], [1, 0] ]	R1とR2を入れ替える
行の定数倍	[ [3, 0], [0, 1] ]	R1を3倍
行への別の行の足し算	[ [1, 2], [0, 1] ]	R1 <- R1 + 2*R2

基本行列の同意語

初等行列: 初等行列とは、行基本変形を表す行列の総称です。主なタイプは、行の置換、行のスカラー倍、ある行へ別の行を加える操作を表し、これらを組み合わせることで行列の基本操作を実現します。
エレメンタリ行列: エレメンタリ行列は『初等行列』の別表現です。英語の elementary matrix の日本語表記で、同じ概念を指します。
初等変換行列: 初等変換を表す行列のこと。行基本変形を行う際に使われ、基本行列の一種として扱われます。
置換行列: 行の順序を入れ替える操作を表す特殊な初等行列です。例えば 2×2 の場合は [[0,1],[1,0]] のように表現されます。
基底行列: 基底となるベクトルを列として並べた行列のこと。文脈によっては基本行列の同義として使われることもありますが、用語の意味が異なる場面もあるため使い分けが必要です。
基本変換行列: 行基本変換を表す行列の別称です。初等行列と同義として用いられることがあります。