列ベクトル・とは？初心者が押さえる基本と使い方ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

列ベクトル・とは？

このページでは「列ベクトル」とは何かを、初心者にも分かりやすい言葉で解説します。列ベクトルは、数学の基本である線形代数の中でよく使われる考え方です。まずは結論として覚えておくべきポイントを挙げます。列ベクトルは縦方向に並んだ成分の集まりで、一般には n 個の成分を1列に並べたものです。 行ベクトルとは形が反対で、横に並んだ成分を持っています。これらは同じものを違う向きで表現しているだけで、使い方が少し異なります。

列ベクトルの基本的な書き方

多くの場合、n 個の成分 x1, x2, ..., xn を (x1, x2, ..., xn)^T の形で表します。これの ^T は転置を意味します。 転置を使うと、横ベクトルを縦ベクトルに変えることができます。例えば 2 次元の場合、列ベクトル x は x = (x1, x2)^T または x = [x1; x2] のように書かれます。ここでセミコロンは縦方向の区切りを示しています。

列ベクトルと行列の関係

線形代数では、列ベクトルはしばしば「入力ベクトル」として現れます。行列と列ベクトルの掛け算は、線形変換という考え方と結びつきます。たとえば、A を n×m の行列、x を m×1 の列ベクトルとすると、積 Ax は n×1 の列ベクトルになります。これは「A が x を変換して新しい n 次元のベクトルを作る」という意味です。

具体的な例を見てみましょう。A を次のように置きます。

A = [ [1, 0], [0, 1] ]、x = [a; b] のとき、Ax = [a; b] です。これは 2 次元の空間で x がそのままの方向と大きさで写像されることを示しています。別の例として、A を [ [2, 1], [0, 3] ] に設定すると、Ax = [2a + b; 3b] となります。このように、列ベクトルは行列との掛け算によって新しいベクトルへと変換されます。

列ベクトルの成分と意味

列ベクトルの各成分 xi は、問題の各次元の値を表します。例えば 3 次元の列ベクトル x = [x1; x2; x3]^T は、3 次元空間の座標 (x1, x2, x3) を意味します。数学だけでなく、データ分析でも各データ点を列ベクトルとして扱うことがよくあります。データの特徴量を縦に並べた表現が、機械学習の計算の基盤になります。

よくある誤解と注意点

「列ベクトル」と「横に並んだ行ベクトル」は同じ成分を持つのに向きが違うだけだと考えれば理解が早いです。間違いやすい点は、形の違いによる次元の扱いです。例えば、A が n×m で x が m×1 なら積は n×1 の列ベクトルになります。形が合わなくなると計算ができなくなるので、次元がどうなっているかを最初に確認しましょう。

実生活のイメージ

列ベクトルを「縦に山のように積まれた値」と想像すると分かりやすいです。グラフではなく、データや方程式の中身を縦に並べる参加者のように考えてください。

表で比較してみよう

項目	説明
形	縦方向に成分が並ぶ
表現	x = (x1, x2, ..., xn)^T または [x1; x2; ...; xn]
用途	線形代数の基礎、連立方程式の解法、データの表現、機械学習の特徴量の扱い

まとめと実践のヒント

このページで学んだことをまとめると、列ベクトルは「縦に並ぶ成分の集合」であり、転置を使って横ベクトルにも表現できる、そして行列との掛け算を通じて線形変換を表現する、という点です。日常の問題を数式で表すときに列ベクトルは欠かせない道具になるでしょう。

練習問題風の例

練習として、次の x を与えられたとき、列ベクトルとして表現してみましょう。 x = (4, -2, 7)^T。これを行向けの計算にはどう使うでしょうか。例えば、A = [ [1, 2, 0], [0, 1, 3] ] という 2×3 行列のとき、Ax = [1*4 + 2*(-2) + 0*7; 0*4 + 1*(-2) + 3*7] = [4 - 4; -2 + 21] = [0; 19] となります。ここから、列ベクトルの理解が深まります。このような計算は、データの処理や方程式の解法、機械学習での特徴量の扱いなど、さまざまな場面で頻繁に使われます。

補足

列ベクトルは数学の基礎用語の一つです。 しっかり覚えると、後で matrix の話題や線形代数の応用問題がずっと楽になります。

列ベクトルの同意語

縦ベクトル: 列ベクトルと同義。縦方向に並ぶ要素が1列に並んだベクトルを指す。通常は n 行 1 列の形で表現され、行ベクトル（横方向）と対になる概念です。
カラムベクトル: 英語の column vector の日本語表現。縦方向に1列に並ぶ成分を持つベクトルを意味し、数学・機械学習の文献で広く使われます。
1列ベクトル: 列ベクトルを指す直訳的表現。1列に並ぶ n 個の成分からなるベクトルで、サイズは n×1 です。
n×1ベクトル: 列ベクトルを表す別の表現。成分が n 個あり、1列に並んでいるベクトルを意味します。
n行1列ベクトル: 列ベクトルの具体形。n 行 1 列のベクトルで、縦方向にデータを並べた形を指します。