幾何変換・とは？初心者向けにわかりやすく解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

幾何変換・とは？

幾何変換とは、平面上の図形を別の場所へ移したり大きさを変えたり向きを変えたりする操作のことです。元の図形の形を保ちながら新しい位置へ写像することが特徴で、日常の図形の操作やコンピュータグラフィックスなどさまざまな場面で使われます。

主な種類

平行移動は図形全体を同じ距離だけ平行に動かす操作です。例として点 (x, y) を dx だけ x 軸方向へ、dy だけ y 軸方向へ動かします。新しい座標は (x+dx, y+dy) となります。

回転は図形を中心を軸として回す操作です。原点を回す場合の変換は行列で表すことができます。回転角を θ とすると新しい座標は [x'; y'] = [cos θ -sin θ; sin θ cos θ] [x; y] となります。例として原点周りに 90 度回転すると点 (1, 0) は (0, 1) に変わります。

反射は鏡に映したように図形を反転させます。例えば x 軸に対して反転すると (x, y) は (-x, y) になります。y 軸に対して反転すると (x, y) は (x, -y) になります。

拡大縮小は図形の大きさを変える操作です。x 方向と y 方向の倍率をそれぞれ sx と sy とすると新しい座標は (sx x, sy y) となります。均等に縮小・拡大する場合は sx = sy のときです。

表で見る幾何変換の仕組み

変換の種類	公式	例
平行移動	x' = x + dx, y' = y + dy	点 (2,3) を dx=3, dy=-1 だけ移動 -> (5,2)
回転	x' = cosθ x - sinθ y, y' = sinθ x + cosθ y	θ=90度 -> (1,0) が (0,1) に
反射	x' = -x, y' = y	x 軸に対して反転 -> (2,3) -> (-2,3)
拡大縮小	x' = sx x, y' = sy y	sx=2, sy=0.5 -> (2,4) が (4,2) に

注: 平行移動は線形変換ではなくアフィン変換と呼ばれます。線形変換は原点を中心に図形を変形しますが、平行移動は原点依存ではなく位置を動かす操作だからです。

実際にはプログラムで幾何変換を扱うときには 同次座標系 や 行列の掛け算 を使います。例えば 2D の場合は 3x3 の行列を使って平行移動を含む全ての変換を一括して表すことができます。具体的には次のような形になります。 x', y', 1 の列ベクトルは変換行列と掛け算され、新しい x', y' が得られます。これによって画像の回転や拡大、シフトを一つの数式で扱えるのです。

ここまでの話を日常的なイメージで覚えるとよいでしょう。紙の上の正方形を例にして考えると、正方形を右へ 2 平移すると各頂点の座標も同じだけ増えます。回転では角度を決めて回すと向きが変わり、反射では図形が鏡のように左右対称になります。拡大縮小では大きさが変わるため、長さの比率も変わります。幾何変換は形を壊さずに位置や大きさを変える「図形操作の基本」として、コンピュータの画面処理やロボットの位置計算、ゲームの描画など多くの場面で使われています。

まとめ

幾何変換は図形を別の場所に動かしたり向きを変えたりする基本的な操作です。平行移動・回転・反射・拡大縮小の四つの代表的なタイプを知るだけでも、2次元の図形の動きをしっかりと理解できます。さらに高度な話として同次座標やアフィン変換、行列の掛け算を使うと、紙の上だけでなくプログラムの中でも複雑な図形操作が可能になります。これを機に自分の好きな図形を変換してみると、幾何変換の仕組みがもっと自然に感じられるようになるでしょう。

幾何変換の同意語

幾何変換: 座標系の点を別の位置・形に変換する、幾何的関係を保つ変換の総称。回転・平行移動・拡大縮小・鏡映などを含む。
幾何学的変換: 幾何変換と同義の表現。図形の位置・向き・大きさを変える操作の総称。
座標変換: 座標系の基準を変えて点の表現を変える変換。幾何変換の広い意味で使われることが多い。
アフィン変換: 平行性を保つ変換。点の位置を線形変換と平行移動の組み合わせで表す。回転・拡大縮小・せん断・鏡映を含むことがある。
射影変換: 射影空間での変換。透視変換や遠近法のように、平行線が一点に収束するような変換。一般的には非線形成分を含むこともある。
線形変換: ベクトルを線形結合で変換する基本形。原点を中心に拡大縮小・回転・せん断などを表す。幾何変換の一部として扱われる。
直交変換: 長さと角度を保つ変換の総称。回転と鏡映などを含む特定のクラス。
剛体変換: 物体の大きさを変えずに位置や向きを変える変換（主に回転と平行移動の組み合わせ）。
鏡像変換: 鏡の写像のように左右対称の像を作る変換。座標の符号を反転させることが多い。
平行移動変換: 図形を空間内で平行に移動させる変換。位置だけをずらす操作。
回転変換: 原点や任意の点の周りで図形を回転させる変換。角度と軸がキーとなる。
スケーリング変換: 拡大・縮小を行う変換。各軸方向の倍率を掛けて大きさを変える。
拡大縮小変換: 形を崩さずに大きさだけを変える変換。一般にスケーリングと同義。

幾何変換の対義語・反対語

非幾何変換: 幾何空間の位置や形状を直接変えるのではなく、データの値や属性を変える処理の総称。例として色空間変換や輝度・コントラストの調整、データのスケーリングなどが挙げられます。
色空間変換: 色の表現を別の色空間（例: RGB から HSV、YCbCr など）へ変換する処理。空間の形や位置を変える幾何変換とは別の性質を持ちます。
輝度・コントラスト変換: 画像の明るさ（輝度）やコントラストを調整する処理で、画素の位置や形状には手を加えず見え方を変える変換です。
データ値スケーリング: データの値域を再度スケールする変換。空間情報を扱う幾何変換とは異なり、数値の範囲や分布を調整します。
非空間的変換: 空間座標を使わず、属性値や時系列など非空間情報を変換する処理。データの意味づけを変える際に用いられます。
スカラー変換: 値そのもの(スカラー値)を変換する処理で、空間的位置や形状には直接影響を与えません。
代数的変換: 幾何的な図形の位置関係を直接扱わず、代数的な操作でデータを変換する手法の総称。

幾何変換の共起語

平行移動: 点を一定のベクトル分だけずらす、位置を移動させる基本的な幾何変換。
回転: 原点または任意の中心を軸に点を回す変換。回転角と回転中心を指定する。
拡大縮小: 各座標を一定の倍率で拡大・縮小する変換（方向ごとの倍率を設定することもある）。
反射: 鏡面に対して対称となる像を作る変換。鏡映的な対称性を生む。
せん断変換: 一方向または両方向に平行移動量を加え、図形を歪める変換（平行四辺形の形になる）。
アフィン変換: 直線を直線のまま変換し、平行性と比の関係を保つ一般的な変換。回転・平行移動・拡大縮小・せん断を組み合わせる。
線形変換: 原点を基点に座標を線形に変換する。行列で表現される基本形。
直交変換: 距離と角度を保つ正規直交性を持つ変換。回転や鏡映を含む。
同次座標変換: 同次座標系を用いて、平行移動を含む変換を一つの行列で表現する方法。
ホモグラフィ変換: 2次元平面上の一般的な射影変換。対応点の関係を3×3行列で表す。
射影変換: 点を別の平面へ射影する変換。3点以上の対応関係を扱うことが多い。
正投影: 平行投影ではなく、視点からの射影を用いる投影方式の一つ。
透視投影: カメラの視点から遠近法的に描画する射影。
投影変換: 実質的には射影変換と同義として使われる表現。
相似変換: 形状を保ったまま、拡大縮小・回転・平行移動を組み合わせた変換。
等距変換: 距離を保つ変換。点間の距離が全て保持される性質を持つ。
等角変換: 角度を保つ性質を持つ変換（局所的な等角性を指す場合が多い）。
座標変換: 座標系を別の座標系へ対応づける変換。

幾何変換の関連用語

幾何変換: 図形の位置・向き・大きさを変える操作の総称です。2次元・3次元の図形に適用され、実際の例として平行移動・回転・拡大縮小などがあります。
平行移動: 図形を平行に移動させる変換。座標は加算で新しい位置に移ります（例: (x, y) → (x+dx, y+dy)）。
回転: 図形を中心点の周りに回す変換。回転中心と回転角度を指定します（例: 原点を中心に角度θ回転）。
拡大縮小: 図形の大きさを一定の倍率で拡大・縮小する変換。倍率が同じなら等比例、異なると非等尺縮尺になることもあります。
鏡映変換: 図形を鏡の面を境に左右対称になるよう反転させる変換。鏡面を境に形が左右対称になります。
せん断変換: 図形を傾けて歪ませる変換。平行線を保ちながら形を崩します。
線形変換: 原点を中心として図形を変換する基本形。2Dなら2×2行列、3Dなら3×3行列で表現します（原点は動かない前提）。
アフィン変換: 平行線を平行のまま保つ変換の総称。回転・平行移動・拡大縮小・せん断を組み合わせて表現します。2Dは3×3、3Dは4×4の行列で表します。
同次座標: 平行移動を含む変換を1つの行列で扱えるよう、座標に追加の成分を持たせた表現。主に2D/3Dのホモグラフィで使われます。
変換行列: 図形の変換を表す行列。2Dは通常3×3、3Dは通常4×4の行列で実現します。
射影変換: 平面間の投影・写像を表す変換。遠近感や奥行きを表現する際に使われます。
ホモグラフィ: 平面同士の射影変換のこと。対応点8点程度から8パラメータで表し、perspective の歪みを扱えます。
合成: 複数の幾何変換を順番に適用して1つの変換にまとめる操作。適用順序が結果に影響します。
逆変換: ある変換を元に戻す変換。通常、変換行列が非特異であれば逆行列が存在します。
行列式: 変換によって図形の面積・体積がどれだけ拡大・縮小するかを表す数値。非零なら逆変換が可能です。
不変量: 変換しても変化しない性質のこと。例として等距変換では距離・角度が保持されます。
等距変換: 距離と角度を保持する変換の総称。平行移動・回転・鏡映が代表例です。
回転中心: 回転を行うときの支点となる点。中心がずれると見た目が大きく変わります。
回転角: 回転の角度。正の値で反時計回り、負の値で時計回りに回します。
3次元幾何変換: 3D空間での平行移動・回転・拡大縮小・せん断などを扱う変換です。