線形計画問題・とは？初心者がすぐに理解できる基本ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

線形計画問題・とは？

線形計画問題は、「ある目的を最大化または最小化」するために、複数の変数を使い、条件を示す制約式がすべて線形で成り立つ数学の問題です。ここでいう線形とは、変数が1次の項だけを含み、変数同士の乗算や変数のべき乗が現れない状態を指します。こうした特徴を持つと、問題を整理しやすく、解を見つける方法も体系的に学ぶことができます。

線形計画問題は、ビジネスの資源配分、工場の生産計画、輸送の最適化など、現実の場面で「何をどれだけ作ると利益が最大になるか」などを考えるときに使われます。難しそうに見えますが、考え方自体はとてもシンプルです。目的関数を決めて、それを最大化（または最小化）する解を探すために、現実の条件を制約式として表します。最後に、制約の条件を満たす解の中で、目的関数が最も良い値になるものを「最適解」と呼びます。

基本の用語

目的関数：最終的に最大化・最小化したい量の式。

変数：決定する量。例では x や y のような数量。

制約：条件を表す式。例では x + y ≤ 5 など。

可行解：すべての制約を満たす解のこと。

最適解：可行解の中で、目的関数の値が最大（または最小）となる解です。

身近な例

例として、

目的関数: z = 3x + 4y を最大化

制約: x + y ≤ 5、x ≤ 4、y ≤ 3、x ≥ 0、y ≥ 0

このとき、x,y が非負で上記の条件をすべて満たすときの z の最大値を求めるのが線形計画問題です。

解くときの流れ

1. 問題を「標準形」に整理します。つまり、変数はすべて非負で、制約は等式または小なり等の形にします。

2. 可行領域を考えます。平面の図で考えると、制約を満たす点の集合ができ、その中に解が含まれます。

3. 解法にはグラフでの直感的解法や、実務的には 単体法（Simplex 法） や内点法といったアルゴリズムが用いられます。これらは、変数の値を少しずつ変えながら最適解を探すイメージです。

4. 最後に、得られた解が実務の意味に適しているか（現実的か、制約を満たしているか）を確認します。

学習のコツ

・最初は、少しだけ変数を増やして、制約を数式で整理する練習をします。

・目的関数と制約を別々に書き出すと、問題の全体像が見えやすくなります。

・図を描くと、可行領域の形が分かり、直感的に最適解の候補を絞りやすくなります。

まとめ

線形計画問題は、現実の「何をどれだけ作るか」を数理的に表現する方法です。すべての項が線形であることがポイントで、目的関数の最大化・最小化と、制約条件の整理が基本の流れです。初めは難しく感じるかもしれませんが、基本の用語と手順を押さえ、簡単な例から練習を重ねると、次第に解き方の感覚がつかめるようになります。

線形計画問題の同意語

線形最適化問題: 目的関数と制約条件がすべて線形で表される最適化問題。目的を最大化または最小化し、変数は通常実数の連続値として扱われます。
線形プログラミング問題: 線形な目的関数を最大化・最小化し、線形の等式・不等式の制約の下で解を求める最適化問題です。
線形計画問題: 制約と目的関数がともに線形で表される最適化問題の別名。解法として線形計画法が用いられます。
線形計画法による最適化問題: 線形計画法を適用して、線形な制約の下で目的関数を最適化する問題のことです。
線形計画法の最適化問題: 線形計画法を用いて目的関数を最適化する、制約付きの問題を指します。
線形計画法を用いた最適化問題: 線形計画法を解法として採用する、線形な制約系の最適化問題の表現です。
線形最適化問題（LP）: LP（Linear Programming）の略で、線形性の制約と線形の目的関数を最適化する問題を指します。

線形計画問題の対義語・反対語

非線形計画問題: 目的関数または制約条件が非線形で構成される最適化問題。線形計画問題の対義語として一般的に扱われ、解法は勾配法やSQP、準ニュートン法など多様になる。
整数線形計画問題: すべての変数が整数値でなければならない最適化問題。線形計画問題の連続解空間とは異なり、組合せ最適化的な側面が強い。
混合整数線形計画問題: 連続変数と整数変数が混在する最適化問題。線形計画より制約が複雑で、解法として分枝限定法などが使われることが多い。
二次計画問題: 目的関数が二次式で表され、制約が線形である最適化問題。非線形性の一つの代表例で、LPの対比として挙げられることがある。
非線形最適化: 目的関数または制約が非線形な最適化全般。線形計画問題の範囲を超える広いカテゴリ。
無制約最適化: 制約条件がない最適化問題。線形計画は通常制約付きだが、無制約の場合は別の枠組みで扱われることが多い。
確率的計画問題: 不確実性を含むデータの下で最適化を行う問題。決定論的な線形計画と対比されることが多い。
多目的最適化: 複数の目的関数を同時に最適化し、トレードオフを解く設定。単一目的の線形計画とは異なる拡張。
線形近似問題: 非線形問題を線形化して解く近似的アプローチのこと。線形計画そのものの対比・補完として挙げられる。