主小行列式・とは？初心者向けにわかりやすく解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

主小行列式・とは？

このページでは「主小行列式」について、意味と計算のコツ、具体的な例を交えて解説します。中学生でも分かるよう、専門用語をできるだけ避け、身近なイメージで説明します。

まずは言葉の意味をかみ砕く

行列とは数字の表のことです。主小行列式は、その行列の中から同じ数の行と列を選んで作る小さな正方形の表の「行列式（determinant）」です。つまり、元の行列から、いくつかの行と対応する列を同じ順番で抜き出して作る正方行列の detを指します。

具体的には n×n の行列 A があれば、集合 I = { i1, i2, ..., ik } を選び、A[I,I] という k×k の正方行列を作ります。これの det が 主小行列式 になります。ここで「主」という言葉は、抜き出すのが「同じ番号の行と列」を選ぶことを意味します。

どうやって計算するの？基本の考え方

実際の計算は、小さな正方行列の det を順番に求めることから始まります。2×2 の例と 3×3 の例を使って覚えると理解が深まります。

例として、元の行列を次のように置きます。A = [ [1, 2, 0], [3, 4, 5], [0, 6, 7] ]

1×1 の主小行列式 は、抜き出した要素そのものになります。例えば I = {1} のとき det([1]) = 1、I = {2} のとき det([4]) = 4、I = {3} のとき det([7]) = 7 です。

2×2 の主小行列式 は、対応する 2×2 の小さな行列の det です。A の例では、I = {1,2} のとき submatrix = [ [1, 2], [3, 4] ] で det = 1×4 - 2×3 = -2、I = {1,3} のとき submatrix = [ [1, 0], [0, 7] ] で det = 7、I = {2,3} のとき submatrix = [ [4,5], [6,7] ] で det = 4×7 - 5×6 = -2 となります。

3×3 の主小行列式 は、I = {1,2,3} のときの det で、当然元の行列 A の det になります。上の例では det(A) = -44 です。

このように、主小行列式は「元の行列の中から、同じ番号の行と列を取り出して作った小さな行列の det」という考え方です。ポイントは、どの集合 I を選ぶかで、1×1 から n×n までの主小行列式が得られることです。

実用的な使い道とコツ

主小行列式は、行列の性質を理解するための道具です。例えば、行列の正定性を検査する際や、行列のランク、特定の固有値の性質を調べる際に役立つことがあります。実務的には、すべての主小行列式を一つ一つ計算するよりも、対称性や特定の構造を見つけて効率よく求める方法を使うことが多いです。

まとめ

・主小行列式は、元の行列から同じ番号の行と列を抜き出して作る正方行列の det のことです。

・1×1 から n×n まで、いろいろなサイズの主小行列式が存在します。

・小さな行列の det を理解することが、主小行列式の理解への近道です。

元の行列	A = [ [1,2,0], [3,4,5], [0,6,7] ]
1×1 の主小行列式	det([1])=1, det([4])=4, det([7])=7
2×2 の主小行列式	det([ [1,2], [3,4] ]) = -2; det([ [1,0], [0,7] ]) = 7; det([ [4,5], [6,7] ]) = -2
3×3 の主小行列式	det(A) = -44

なお、主小行列式という用語は、線形代数の特別な用語です。日常生活の場面には直接関係ありませんが、数学の理論を深く学ぶときに役立つ基本的な概念になります。

主小行列式の同意語

主小行列式: 行列の中で、行と列の集合が同じ番号になるように選ばれた部分行列の行列式のこと。すなわち、元の行列 A の集合 S ⊆ {1,...,n} に対応する A[S,S] の行列式 det(A[S,S]) を指す。
先頭主小行列式: leading principal minor; 行列の先頭 k 行と先頭 k 列を取り出して作る主小行列の行列式。k は 1 から n まで取り得る。一般に、正定値性の性質の判定などで用いられることがある。
leading principal minor: leading principal minor; 行列の先頭 k 行と先頭 k 列を使って作る主小行列式の英語表現。意味は『先頭主小行列式』と同じ。
principal minor: principal minor; 行列の任意の同じ集合の行と列を選んで作る主小行列式の英語表現。

主小行列式の対義語・反対語

非主小行列式: 主小行列式とは異なり、行と列のインデックスが一致しない部分行列の行列式です。例として、行集合 {1,3}、列集合 {2,4} から得られる 2×2 の部分行列の行列式を指します。
末尾主小行列式: 右下（末尾）の k×k の主成分からなる部分行列の行列式。leading（先頭）主小行列式と対になる概念で、行列の下部に広がる配置を取ります。
先頭主小行列式: 左上の k×k の主成分からなる部分行列の行列式。leading principal minor の代表例で、主小行列式の一種です。
大行列式: 行列全体の行列式。小行列式（主小行列式）と対比して、全体の性質を表す指標として使われます。
余因子: 主小行列式と密接に関連する概念で、特定の成分に対する余因子は、行列式の展開で現れる。主小行列式そのものではありませんが、関連性が高く、対になる形で理解されます。

主小行列式の共起語

行列: 数値が格子状に並んだn×nのデータ。主小行列式はこの行列の一部を取り出して計算します。
行列式: 正方行列に対して一つの数値を与える代数量。可逆性や体積の変化などを表す指標として使われ、主小行列式は部分行列の行列式のひとつです。
小行列式: 行列から一部の行と列を抜き出して作る正方行列の行列式。主小行列式は、この小行列式の中で“主対角の集合”を使うものを指します。
部分行列: 元の行列の一部の行と列を選んで作る行列。主小行列式は、同じ集合を行と列に選んだ部分行列の行列式です。
先頭主小行列式: 上位サイズの主小行列式。例として、上から順に1×1, 2×2, …, k×k の主小行列式を指します。シルベスター条件で用いられます。
シルベスター条件: 正定値性を判定する際の基準。すべての先頭主小行列式が正であることを要求します。
正定値: すべての非零ベクトル x に対して x^T A x > 0 となる対称行列の性質。主小行列式の符号と結びつくことが多いです。
ランク: 行列の独立した行・列の最大数。主小行列式が非零であるサイズは、対応するランクの下限を与えます。
固有値: 行列の固有値は、線形変換のスケール要素を表す数。主小行列式と関連する性質を扱う場面もあります。

主小行列式の関連用語

主小行列式: 行列 A の A[I,I] という、同じインデックス集合 I を行と列の両方で選んだ部分行列の行列式。I は {1,...,n} の任意の部分集合。
主小行列: 主小行列式と対応する概念。行と列の両方で同じインデックス I を選んで作る A[I,I] の部分行列。これを『主（principal）部分行列』と呼ぶ。
小行列式: 行列の任意の正方部分行列の determinant。主小行列式はこの小行列式の特別なケース（同じインデックスを用いる）とみなせる。
先頭主小行列式: 先頭のインデックス集合 {1,2,...,k} に対応する主小行列 A[1..k,1..k] の行列式。k = 1,...,n を取るのが一般的で、Leading Principal Minor（リーディング主小行列式）とも呼ばれる。
非主小行列式: 主小行列式ではない、行と列の集合が一致しない組み合わせで作られる小行列の行列式。一般には「非主小行列式」と呼ばれることがある。
余因子: Laplace 展開で用いる量。C_{ij} = (-1)^{i+j} det(M_{ij}) で、M_{ij} は行 i と列 j を削除した小行列式（i 行 j 列を取り除いた部分行列）。
Laplace展開: 行列式 det(A) を、ある行 i または列 j の各要素 a_{ij} × 余因子 C_{ij} の和として展開する方法。M_{ij} は対応する小行列式。
シルベスターの基準: 実対称行列が正定値であるための判定法。すべての先頭主小行列式が正であることが、正定値の必要十分条件になる（他にも同値な表現あり）。
正定性: 正定値: 任意の非零ベクトル x に対して x^T A x > 0。
半正定性: 半正定値: 任意のベクトル x に対して x^T A x ≥ 0。
行列式: 正方行列のdet(A)（行列式）。行列の可逆性や体積拡大縮小、特性値情報など多くの性質に関与。
固有値: A の固有値 λ は det(A − λI) = 0 を満たすスカラー。固有値は行列の主要な性質を表す指標。
特性多項式: P_A(λ) = det(λI − A)。係数は固有値の対称多項式で表現でき、特定の係数は主小行列式の和と関係づけられる。
主小行列式と特性多項式の関係: 特性多項式の係数は、対応する階の主小行列式の和に符号を付けたものとして表される。つまり、秩 k の主小行列式の和が第 k 次の係数と結びつく。
実対称行列: 実数成分のみを持ち、対称である行列。正定値・半正定値の性質と主小行列式の扱いが特に重要になる。
ランクと主小行列式: 主小行列式は特定の部分の独立性を示す目安として使われる。すべての主小行列式がゼロである場合、その対応する部分は線形従属の可能性が高いが、一般にはすべての小行列式を調べる必要がある。