上三角行列・とは？初心者向けに解説する基本と使い方のヒント共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

上三角行列・とは？

上三角行列とは、n×n の正方行列 A に対して、i が j より大きい位置の成分 aij がすべて 0 になる性質を持つ行列です。これは「下の部分が 0 になる行列」とも言えます。このページでは初心者の方にも分かるように、定義と 使い方のヒントを中心に丁寧に解説します。

定義と特徴

上三角行列とは、行列の中で下三角の要素がすべて 0 になっているものを指します。すなわち aij = 0 となるのは i > j のときだけで、対角とそれより上の成分は任意の値を持つことができます。

具体例

次の3×3の行列は上三角行列の代表的な例です。

1	2	3
0	4	5
0	0	6

この例では下の部分がすべて 0 です。対角成分は 1, 4, 6 となっており、対角線にある数値が行列の性質を大きく決めます。

性質と使い方

上三角行列にはいくつかの重要な性質があります。第一に 行列式は対角成分の積で与えられる点です。つまり det(A) = a11 × a22 × … × ann となります。この性質を使えば大きな行列の行列式を簡単に計算できます。第二に 固有値は対角成分と一致することが多く、三角行列の場合は対角成分そのものが固有値になります。第三に 連立一次方程式の解法です。A x = b のとき A が上三角行列なら、後退代入と呼ばれる手順で解を順番に求めることができます。例えば b の最後の成分から順に x3, x2, x1 を計算していくやり方です。

上三角行列の識別方法はとてもシンプルです。下三角の要素が 0 かどうかを調べるだけで判別できます。もし i 行 j 列の要素が 0 で、i の方が大きいときにはその要素は必ず 0 でなければなりません。現場では行列を見ただけで「これは上三角か」を判断できるようになると作業が速くなります。

補足と注意点

すべての行列が上三角になるわけではありません。元のデータや処理の過程で下三角の値が 0 になれば上三角化できることもありますが、一般には別の変換を必要とします。計算の安定性の観点からも、三角化を適切に使い分けることが大切です。

まとめ

上三角行列は、下の部分が 0 になる特性を持つ行列で、行列式や固有値の計算、連立方程式の解法などで役立つ基本的な道具です。実務や学習の現場では、三角行列を作る操作や後退代入の考え方を身につけると、線形代数の理解がぐっと深まります。

最後に、実務での使い方のコツとして、データが大きい場合は先に三角化を試みると良いです。上三角行列へ変換できれば、背後にある計算を単純化でき、プログラムの実装でも効率化が図れます。

上三角行列の同意語

上三角行列: 主対角線より下の要素がすべて0になるような、上半分に非零成分が集まっている行列のこと。実数・複素数の行列に対しても適用可能で、LU分解などの計算で重要な役割を果たします。
上三角マトリクス: 上三角行列と同じ意味を、英語風の表記でカタカナ化した言い方。用途や文脈によって使い分けられます。
上三角の行列: 上三角行列とほぼ同義の表現。主対角線より下が0の行列を指す言い換え表現です。
上三角型の行列: 上三角の形状を持つ行列の別表現。下半分がゼロで、上半分に成分が並ぶ性質は同じです。
上三角行列形式: 上三角行列という性質を表す言い換え表現。文脈により『形式』を強調して使われることがあります。

上三角行列の対義語・反対語

下三角行列: 行列のうち、主対角線より上の成分がすべて0で、下側の成分は自由に非零でも0でも良い矩形の行列。つまり上半分がゼロになるタイプです。
非上三角行列: 上三角行列ではない行列。つまり少なくとも一つの主対角線より上の位置に非ゼロの成分を持つ場合があり、上三角性を満たさない行列の総称です。
対角行列: 主対角線上の成分のみが非零で、その他の位置の成分はすべて0の行列。上三角行列と下三角行列の性質を同時に満たす、いわば特別なケースでもあります。

上三角行列の共起語

行列: 行と列の格子状に数値を並べた長方形のデータ集合。線形変換の表現や連立方程式の係数行列として基本的な道具です。
下三角行列: 上三角部を0にする対になる概念で、対角線より下側の要素だけが非零。上三角行列と組み合わせて分解などに使われます。
対角行列: 対角線上の要素だけが非零で、それ以外の要素はすべて0の行列。固有値が対角成分になる性質があります。
LU分解: 行列AをLとUの積に分解する手法。Lは下三角行列、Uは上三角行列で、連立方程式の解法や行列の計算を効率化します。
QR分解: 行列AをQとRの積に分解する手法。Qは直交行列、Rは上三角行列で、回転・反射を用いた正規直交変換を表します。
ガウスの消去法: 連立方程式を解く際に行列を上三角形へ変形する標準的な手法です。
ガウス＝ジョーダン法: ガウスの消去法を拡張して、行列を階段形から対角・最小形へと変形する解法です。
行列式: 行列の性質を数値で表した指標。0になると行列は可逆でなく、非0なら可逆です。
固有値: 線形変換の固有スカラー。上三角行列では対角成分が固有値に対応することが多く便利です。
逆行列: 正则な行列の乗法的逆元。Aが上三角なら逆行列も上三角になる性質があります。
正則行列: 行列式が0でない、すなわち可逆であることを意味します。
連立一次方程式: Ax=bの形の方程式系。上三角形に変形して解くのが一般的です。
階数: 行列の独立な行・列の数。上三角行列では対角成分の非零個数と等しくなります。
三角分解: 上三角行列を含む分解の総称。LU分解やQR分解は代表的な三角分解です。
直交行列: 転置行列と元の積が単位行列になる性質を持つ行列。QR分解で重要な役割を果たします。

上三角行列の関連用語

上三角行列: n×nの正方行列において、下半分の要素（i > j）が0になる行列。対角成分と上半分の成分は自由に決められる。
下三角行列: n×nの正方行列において、上半分の要素（i < j）が0になる行列。対角成分と下半分の成分は自由に決められる。
対角行列: n×nの正方行列において、対角成分のみが非ゼロで、他の成分はすべて0の行列。
単位上三角行列: 対角成分がすべて1で、上三角の形を保つ行列。LU分解の過程や特定の計算で現れることがある。
厳密上三角行列: 対角成分を0にした上三角行列。つまり i < j の成分のみが非ゼロになる行列（strictly upper triangular）。
LU分解: 正方行列Aを、L（下三角行列）とU（上三角行列）に分解する分解。場合によっては置換行列Pを用い、PA = LUと表すことが多い。
ガウスの消去法: 行基本変形を用いて行列を上三角形や階段形に変形する手法。連立方程式の解法の基礎となる。
三角化: 行列を相似変換によって上三角形・下三角形の形へ変形すること。固有値の計算などで使われる。
正方行列: 行数と列数が同じn×nの行列。上三角・下三角は正方行列の特定の形。
行列式の性質: 上三角行列の行列式は対角成分の積で求まる。すべての対角成分が非ゼロなら逆行列が存在する。
逆行列の性質: 正方行列Aが上三角で、すべての対角成分が非零なら、Aの逆行列も上三角になる（同様に下三角の場合も同様）。
転置: 上三角行列を転置すると下三角行列になり、下三角行列の転置は上三角行列になる。
自由度/次元: n×nの上三角行列は独立した成分が n(n+1)/2 個あり、自由度がこの数に対応する。
2x2の例: 例: [[a, b], [0, c]]（a, b, c は任意の数）
3x3の例: 例: [[a, b, c], [0, d, e], [0, 0, f]]（a, b, c, d, e, f は任意の数）
置換行列: 行の並べ替えを表す正方行列。LU分解の際にピボット操作を表すP行列として使われることが多い。