部分和問題とは？初心者にもわかる解説と解き方のコツ共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

部分和問題とは何か

部分和問題は 数列や集合から「一部の数を選ぶ」ことでその和がちょうど目標値になるかを調べる、数学的な問題です。英語では subset sum problem と呼ばれ、日常のパズルから暗号理論、最適化の分野まで幅広く現れます。ここでは正の整数が並ぶ数列を例に、初心者にもわかるように解説します。

定義をもう少し詳しく書くと、数列 A = {a1, a2, ..., an} と目標値 T が与えられたとき、a1 が含まれるかもしれない任意の組み合わせの和がちょうど T になるかを判定します。つまり a1 + a3 + a5 などのような組み合わせの和を探す問題です。数が大きくなると候補の数が急に増えるため、解き方の工夫がとても大切になります。

代表的な例と考え方

例として数列 {3, 34, 4, 12, 5, 2} と目標値 9 を考えます。ここで 4 + 5 や 3 + 4 + 2 のように、いくつかの数を選ぶと合計が 9 になります。このような組み合わせを見つけられれば 解がある、見つからなければ 解がない、という判定になります。

なぜ難しいのか

全ての部分集合を調べると、要素の数 n に対して 候補は全体で 2^n 通りになります。n が少しでも大きくなると計算量が急増するため、現実的にはこの全探索は使えません。これが「部分和問題」が研究の対象になる理由のひとつです。実世界のデータでは n と目標値 T が大きいと解くのが難しくなります。

解くコツと代表的な手法

最も有名な解法は 動的計画法と呼ばれる方法です。要点をざっくりまとめると、「ができるかどうか」を段階的に記録していく」ことです。具体的には以下の考え方です。まず dp[0] を true、それ以外を false に初期化します。次に数 a を見たとき、目標値以下の和 j について、dp[j] = dp[j] あるいは dp[j - a] の更新を行います。これをすべての数について繰り返すと、最終的に dp[T] が 可能かどうかを教えてくれます。

動的計画法のイメージ表

<th>項目

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
初期	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗	✗
数 3	✓	✗	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✗
数 34	✓	✗	✗	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✗
数 4	✓	✗	✓	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✗
数 12	✓	✗	✓	✓	✗	✗	✗	✗	✗	✗
数 5	✓	✗	✓	✓	✓	✗	✗	✗	✗	✗
数 2	✓	✓	✓	✓	✓	✗	✗	✗	✗	✓

この例では最終的に dp[9] が true になる瞬間があり、9 を作ることが可能であると判断できます。動的計画法の良い点は 時間計算量が O(n × T)、空間計算量が O(T) に抑えられる点です。ここで n は数の個数、T は目標和です。

現実的な使い方のコツ

・目標値が大きい場合は T を小さく保つ工夫（問題設定を工夫する、近似解を使うなど）を考える。
・正の整数のみを扱うのが前提です。負の数が混ざると話が複雑になる場合があります。
・実務では「制約付き部分和問題」や「連続部分和問題」など、派生の問題も学ぶと役に立ちます。

練習問題

次の数列と目標値で、解があるかどうかを自分で考えてみてください。数列は {6, 3, 8, 2, 7}、目標値は 11 です。解となる組み合わせが見つかれば解があります。

このように部分和問題を理解すると、後でアルゴリズム設計やデータ構造の学習がずっとスムーズになります。初心者の段階では、まずは小さな例題を動的計画法で解くことから始めると理解が深まります。

部分和問題の同意語

部分和問題: 与えられた整数集合から、いくつかの要素を選ぶとき、その和が特定の値になるかを判定する問題。要素を選ぶ/選ばないの組み合わせを調べる。
部分集合和問題: 集合の中から部分集合を作り、その和が指定された値になるかを問う問題。要素の選択パターンを網羅して判定する。
集合の部分和問題: 整数集合の中から部分集合を作って、その和が目標値になるかを問う問題。
整数の部分和問題: 整数のみからなる集合で、部分集合の和が目標値になるかを判定する問題。
0-1 部分和問題: 各要素を0または1回だけ使う前提の部分和問題。要素の使い道を二択で決めて和を作る。
0-1 サブセット和問題: 0-1 の制約付きで、集合の部分集合の和が目標値になるかを調べる問題。
部分集合和判定問題: 与えられた和になる部分集合が存在するかを判定する問題。
指定和を作る部分集合問題: 目標とする和を作るような部分集合を見つけ出す、または存在を判定する問題。
指定和の部分集合問題: 目標和を作る部分集合の探索または存在判定を行う問題。
ターゲット和問題: 英語の Target Sum を日本語訳した表現。指定した和を作るかどうかを問う問題。
部分和探索問題: 部分和ができるかを探索する問題。解の存在だけでなく、実際の組み合わせを見つけることもある。

部分和問題の対義語・反対語

全体和問題: 集合全体の和が目標値になるかを問う問題。部分和問題が「部分集合の和が目標値になるか」を問うのに対し、全体和問題はすべての要素を使った和が目標値かどうかを問います。
区間和問題: 配列の任意の区間（連続した要素の和）が目標値になるかを問う問題。部分和問題が離れた要素を組み合わせるのに対し、区間和問題は連続した部分だけを対象とします。
連続和問題: 連続する要素の和が目標値になるかを問う問題。区間和問題とほぼ同義で、口語的な表現として使われることが多いです。

部分和問題の共起語

サブセット和: 部分集合の要素を選んで和が特定の値になるかを問う、部分和問題の代表的な呼び方。
部分集合和: サブセット和と同義で使われる表現。整数の集合から選んだ数の和が目標値になるかを判定する問題。
動的計画法: 問題を小さな部分問題に分けて解を再利用する計算手法。部分和問題では、目標和までの全パターンを配列で管理して判定するのが基本。
0/1ナップサック（関連記事：アマゾンの【ナップサック】のセール情報まとめ！【毎日更新中】）問題: 各要素を0または1回だけ選ぶ制約付き最適化問題。部分和問題はこの問題の特殊ケースとして現れることが多い。
ナップサック問題: 多数の要素の重さと価値を組み合わせて最大化する問題の総称。0/1ナップサックはその一種で、部分和的な発想と深く結びつく。
Partition問題: 全要素の総和を半分に分割できるかを問う問題。部分和問題の重要な特殊ケースであり、NP困難性の代表例。
等しい和の分割: Partition問題の別称。集合の和を等しく分割できるかを判定する意味合いの表現。
NP完全: この問題がNP完全であることが知られており、一般には多項式時間解法が存在しないと考えられている難しさ。
NP困難: NP困難であることを示す概念。NP完全はNP困難のうち特殊なクラスである。
分枝限定法: 探索木を分岐させつつ、不必要な枝を剪定して解を効率化する手法。部分和問題の解法として使われることがある。
バックトラッキング: 候補解を再帰的に試行して条件を満たす解を探索する基本的な手法。部分和問題にも応用される。
疑似多項式時間: 入力値の大きさに依存する時間で、多項式時間ではないが実用的には高速な場合がある。DPによる解法はこのカテゴリに入ることが多い。
組合せ最適化: 離散的な解空間から最適解を求める問題の総称。部分和問題は組合せ最適化の一部として扱われることが多い。
整数計画法: 整数変数を用いた最適化問題を表現する一般手法。部分和問題をILP（整数計画法）としてモデル化して解くことも可能。

部分和問題の関連用語

部分和問題: 与えられた整数の集合から、いくつかの要素を選んで和がちょうど目標値になるかを判定する問題。0/1 の選択で各要素を使うか使わないかを決める。
目標和: 部分和問題で達成したい和の値。問題設定で与えられる正の整数で、これと同じ和を作れるかを問う。
非負整数: 部分和問題で扱われる入力は通常非負整数。負の数を含むと性質が大きく変わることがある。
0/1 背包問題: 各アイテムを0または1だけ使える前提の最適化問題。重さと価値を持ち、総重量を容量以下にして価値を最大化する。
分割問題: 与えられた整数の集合を2つの部分集合に分け、それぞれの和が等しくなるかを判定する問題。部分和問題の特別なケースとして扱われる。
決定問題: ある和を作れるかどうかをYES/NOで判定する形式の問題設定。部分和問題の基本的な枠組み。
最適化問題: 制約のもとで目的値を最大化・最小化する問題。部分和問題は最適解を求める意味でも扱われる。
動的計画法: DP（動的計画法）を用いて、達成可能な部分和を順次求める標準的な解法。テーブルや配列を使うのが特徴。
擬似多項式時間: 入力のサイズに対して実行時間が多項式だが、目標和などの値には依存する“擬似多項式時間”で動作するケースが多い。
NP完全: 一般形の部分和問題はNP完全に分類され、全てのデータに対して多項式時間で解くアルゴリズムは自然には存在しないとされる。
部分和の個数: 目標和を作る部分集合の総数を数える問題。解の個数を求めるカウント問題として扱われることがある。
分岐限定法: 解を木状に探索し、合理的な枝刈りで計算量を減らす探索アルゴリズムの一種。
ホロウィッツ-サーニ法: ミートインザミドルの代表的なアルゴリズムで、集合を半分に分けて部分和の候補を列挙・照合する手法。
ミートインザミドル: 半分ずつに分けた部分和の候補を作成し、目標和を達成する組み合わせを二分探索で見つけ出す手法。
ビットセット DP: ビット列を用いた動的計画法の最適化。達成可能な和を1つの整数ビットで表現して高速更新する。
カーマルカー＝カープ法: 大きな数を順次組み合わせて近似解を得るヒューリスティック法。特に分割問題で実用的に用いられる。
多重集合の部分和: 入力集合に重複が含まれる場合の部分和問題。重複を許す／許さない設定で解法が異なることがある。
解の探索と存在判定の違い: 解の存在を問う決定問題と、実際の解を構築する探索・最適化問題の性質の違い。
生成関数アプローチ: 部分和集合を多項式の係数として捉え、生成関数を用いて和集合の性質を解析・計算する古典的手法。