パーコレーション理論・とは？初心者にもわかる基礎解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

パーコレーション理論とは？

パーコレーション理論は物質の中の孔や通路がどのくらいの割合で開いていると端の端へつながる道が生まれるかを研究する学問です。身近な例としてはコーヒー（関連記事：アマゾンの【コーヒー】のセール情報まとめ！【毎日更新中】）の粉の隙間を水が通る様子や土の中の水の流れが挙げられます。開いている場所をオープンと呼び閉じている場所をクローズドと呼ぶことが多くオープンな道が増えるほど連結の可能性が高まります

基本のイメージ

2次元の格子を想像してみましょう格子の各点や辺が確率でオープンになります。オープンな道が増えると端の端へつながる大きなクラスタが現れる可能性が高まります。臨界確率を越えると連結性が急に変わることがあります。

閾値と現象

臨界点と呼ばれる場所を超えると長い経路を作るクラスタが生まれやすくなり現実の透過性や情報伝搬の可能性にも影響します。

代表的な用語

格子サイトボンドオープンクローズド連結クラスタ臨界確率などの言葉を覚えておくと理解が進みます。

具体的な値の目安

正方形格子のサイトパーコレーションでは臨界確率はおおよそ 0.592746 です。ボンドパーコレーションの場合は約 0.5 です。数値は格子の形やモデルによって変わります。

現実への応用

パーコレーション理論は素材の多孔性や油の浸透地震や火災時の拡散通信ネットワークの信頼性病気の拡散のモデル化などに使われます。単純な確率の考えから複雑な連結性の性質を理解する手がかりになるのです。

簡単な例と図の代替

4x4の格子で p を 0.6 程度に設定するとオープンな点がつながって大きなクラスタが出現することがあります。雰囲気をつかむためにはオープンとクローズドの分布を思い浮かべると良いでしょう。

<th>状態

特徴
p < p_c	小さなクラスタが多く全体の連結はほとんどない
p ≈ p_c	大きなクラスタが発生することがあり境界の特性が変わる
p > p_c	端までつながる長いクラスタが形成されやすい

まとめ

パーコレーション理論はオープンな道の割合がどのように大規模な連結を生み出すかを研究する考え方です。臨界確率を超えると連結の大きな変化が起こり、学問としてだけでなく身の回りの現象のモデルにも活用されます。

パーコレーション理論の同意語

格子パーコレーション理論: 格子状ネットワークを対象として、点や辺が占有される確率に基づくクラスタの連結性と臨界点を数理的に解析する理論分野です。
パーコレーションモデルの理論: パーコレーションモデル自体の挙動を説明・予測する理論的枠組みで、占有状態の設定に応じた連結性の形成と臨界現象を扱います。
連結相転移理論: ネットワークの占有状態が一定の閾値を超えると連結性が大規模に変化する“相転移”を理論的に扱う分野です。
臨界現象理論（パーコレーション視点）: 臨界点での性質をパーコレーションの枠組みで説明・予測する理論で、臨界指数の解明なども含まれます。
浸透理論: パーコレーション現象を『浸透』という語で表現し、媒体内で連結経路が形成・拡がる過程を数理的に解く理論です。
網目パーコレーション理論: 網目状のネットワークで生じるパーコレーション現象を扱う理論で、格子の占有確率と大規模連結性を解析します。
連結性臨界現象理論: 連結性の臨界点を超えたときに大規模クラスタが出現する現象を、パーコレーションの視点から解析する理論です。

パーコレーション理論の対義語・反対語

非パーコレーション: パーコレーション（大規模な連結構築）が起こらない状態を指す概念。ネットワークが局所的なクラスターにとどまり、長距離の連結が形成されないことを意味します。
断絶理論: ネットワークの連結性が崩れ、広範囲にわたる連結が破断する現象を説明する理論。パーコレーションが成立して大規模連結を作る状況とは反対のイメージです。
絶縁理論: 輸送・伝播がほとんど起こらない絶縁状態を扱う理論。パーコレーションが成立して伝播が可能になる状態と対照的です。
局所化理論: 波動や情報の拡散が局所に閉じ込められ、長距離伝播が起きにくい状態を説明する理論。大規模連結が生じにくい状況と結びつけて考えられる対比概念です。
非連結性理論: 系が大規模な連結を形成しない性質に焦点を当てる理論。パーコレーションによる連結の発生を前提としない視点です。
断層化現象理論: 連結が断層状に破壊される現象を中心に扱う理論。大規模連結の崩壊・分断を説明する反対の見方です。
逆パーコレーション仮説: パーコレーションの発生を反転させ、対になる現象を仮説づける視点。純粋な反対概念というより、対照的な観点を示します。
抑制型伝播理論: 伝播や拡散が抑制され、連結が生じにくい条件を説明する理論。パーコレーションが起きやすい条件の反対を捉えます。
臨界未達パーコレーション理論: パーコレーションの臨界点にまだ達していない状態に焦点を当てる理論。大規模連結が未成立であることを説明する対比的概念です。
局所連結優先仮説: 局所的な結合・連結を優先して捉え、大規模な連結が生じにくい状況を説明する仮説。

パーコレーション理論の共起語

臨界閾値: パーコレーションが連結クラスタを形成するかどうかを決定づける占有確率 p の境界値。p がこの値を超えると巨大クラスタが出現しやすくなる。
占有確率: 格子の各要素（点や辺）が占有される確率のこと。パーコレーションの基本パラメータとして p で表されることが多い。
占有率: 系全体の中で占有された割合のこと。占有確率と意味は近いが文脈によって使い分けられる。
格子: パーコレーションの基盤となる規則的な点の配置。2D格子、3D格子などがある。
二次元格子: 平面上に並ぶ格子。2Dパーコレーションの代表例で、格子の端境界が結果に影響することがある。
三次元格子: 立体的な格子構造。3Dパーコレーションの対象。
占有格子: 占有された格子点のこと。ボンドパーコレーションでは占有された辺を指すこともある。
連結クラスタ: 占有された格子点が隣接してつながった塊のこと。
巨大クラスタ: 臨界閾値付近で現れ、系全体に渡って連結する大きなクラスタのこと。
無限クラスタ: 理論上、系のサイズを無限とした場合に出現する巨大な連結クラスタの概念。
連結確率: ある点が巨大クラスタに所属する確率。p の関数として変化する。
クラスタサイズ分布: 出現するクラスタのサイズの分布。臨界近傍で特有のスケーリングを示すことがある。
臨界点: パーコレーションが臨界的挙動を示す点。臨界閾値と密接に関連する。
臨界現象: 臨界点近傍で見られる特徴的な挙動や普遍的性質の総称。
臨界指数: 臨界点近傍の量のスケーリングを表す指標。例としてクラスタサイズのべき乗指数などがある。
相転移: 連結状態と非連結状態の間で起こる急激な変化のこと。
スケール不変性: 臨界点付近で観測量の分布が系のサイズに依存せず同じ形を保つ性質。
境界条件: 格子の端をどう扱うか決めるルール。周期境界条件や固定境界条件など。
モンテカルロ法: 乱数を使ってパーコレーションの性質を統計的に推定するシミュレーション手法。
ランダムグラフ: 格子だけでなく、辺をランダムに結んだグラフ構造でのパーコレーションを研究する視点。
スパニングクラスタ: 格子の端を超えて連結する大きなクラスタ。巨大クラスタの一種。
連結性: 点群が互いに連結して結ばれている性質。
連結率: ある点が巨大クラスタに属する確率の別表現。

パーコレーション理論の関連用語

パーコレーション理論: 無作為に占有する格子やグラフにおいて、占有状態が作る連結クラスタの性質と閾値を研究する統計物理の理論です。
格子: パーコレーションの研究対象となる、点と辺が格子状に並ぶ構造。2D格子・3D格子などが対象になります。
サイトパーコレーション: 格子の各サイトを占有させる確率 p で独立に選び、占有サイト同士が作る連結クラスタを研究するモデルです。
ボンドパーコレーション: 格子の辺（ボンド）を占有させる確率 p で独立に選び、占有された辺がつながるクラスタを研究するモデルです。
臨界確率 p_c: 格子が十分大きいとき、無限クラスタが現れ始める占有確率の閾値です。p < p_c ではクラスタは有限、p > p_c で無限クラスタが出現します。
巨大クラスタ: p が臨界値以上のとき、格子全体に及ぶ無限クラスタが現れる現象を指します。
クラスタ: 占有された点や辺が連結してできる集合。形式的には連結成分の集まりです。
連結性: クラスタ内の任意の2点が連結路で結ばれている性質のことです。
クラスタサイズ分布: クラスタのサイズ S の発生確率 P(S) の分布。臨界点付近では特定のべき分布形をとることが多いです。
相関長: 点と点の相関が有効な距離で減衰する長さの尺度。臨界点で発散・発展する傾向があります。
臨界現象: 占有確率を臨界点付近にすると、物理量が急に大きく変化する現象全般を指します。
スケーリング: 臨界領域での物理量が系のサイズや p-p_c の比によって一様に表現される、指数関係を用いた縮尺の変換です。
有理サイズスケーリング: 有限サイズの系でも臨界挙動を捉えるための、系のサイズ依存性を組み込んだ枠組みです。
臨界指数: 臨界現象の挙動を決定づける指数の総称で、β・γ・ν などがあります。
beta指数: 無限クラスタの占有密度 P_infty が p-p_c に対してどのように現れるかを表す指数。P_infty ~ (p-p_c)^β です。
gamma指数: 平均クラスタサイズや感応量の臨界挙動を表す指数。χ ~ |p-p_c|^{-γ} などと現れます。
nu指数: 相関長の臨界挙動を表す指数。ξ ~ |p-p_c|^{-ν} の形になります。
tau指数: クラスタサイズ分布のべき分布の指数。P(S) ~ S^{-τ} の形で現れます。
sigma指数: クラスタサイズ分布のスケール変換を表す指数で、scaling function の引きずり方に関与します（P(S) ~ S^{-τ} f((p-p_c) S^{σ}) の形で現れます）。
ユニバーサリティ: 臨界現象の詳細な格子構造に依存せず、異なる系が同じ臨界挙動を示す性質を指します。
二次元デュアル性: 平面格子におけるデュアル格子を用いた対になった性質。臨界点や境界の構造を対称的に理解する手法です。
双対性: 平面グラフの双対格子を導入して、閾値・境界性質を別の視点から捉える概念です（2D では特に有用です）。
レース展開: 高次の近似・厳密解を目指す理論的手法の一つ。パーコレーションの厳密解析や近似計算に用いられます。
ランダムグラフ: 格子だけでなく、ランダムに辺が接続されるグラフ上でもパーコレーションの原理を適用する拡張モデルです。
Erdős–Rényi: 最も基本的なランダムグラフモデルの一つ。辺の確率的接続に基づくパーコレーションの直感を与えます。
有向パーコレーション: 時間軸や有向グラフ上でのパーコレーション。拡張の際には異なる臨界挙動が現れることがあります。
位相転移: 占有割合の変化に伴い、系の連結性が急に変わる現象を指す、臨界現象と密接に関係する概念です。
モンテカルロ法: 確率的なシミュレーション手法の代表。パーコレーションの臨界パラメータやクラスタ構造の数値実験に広く用いられます。
臨界点: 臨界確率 p_c やその他の閾値を指す総称。系が臨界現象を示す転換点です。
べき分布: クラスタサイズ分布がべき則 form をとることが多く、P(S) ~ S^{-τ} のような形で現れます。