既約多項式・とは？初心者向けにやさしく解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

はじめに

数学には、私たちが普段使う言葉とは少し違う専門用語がたくさんあります。その中のひとつが「既約多項式」です。最初は難しく感じても、じっくり読めば日常のモノの分け方にも近い感覚がつかめます。本記事では 既約多項式・とは？ を、中学生でもわかる言い方で丁寧に解説します。まずは「多項式とは何か」を思い出し、次に「分解できるかどうか」という観点で見ていきます。

既約多項式とは何か

既約多項式とは「もう小さな因子に分けられない多項式」という意味です。ここでの“分ける”とは、別々の多項式の積として書き直せるかどうか、ということを指します。分解できる場合は、2つ以上の因子の積として表せます。分解できない場合、その多項式は「既約」と呼ばれます。重要なポイントは「どの数を係数として使うか」という“場”の考え方です。よく使われるのは有理数の係数です。これを前提にすると、例えば x^2+1 は有理数係数の範囲では分解できず、既約多項式となります。

一方、x^2-1 のような多項式は、分解できる典型的な例です。x^2-1 = (x-1)(x+1) となり、既約ではありません。また、x^3-2 のような式も「有理数係数の範囲で」に限れば既約とされます。これを確かめるために、割り切れるかどうかを判断するルールを使いますが、中学生向けには“整数の根があるかどうか”を探すだけでも近い理解が得られます。

実例で理解を深めよう

実際の例をいくつか見てみましょう。

線形 polynomials（1次 polynomials）は、一般に 必ず irreducible です。なぜなら、1次の多項式はそれ以上小さな次数に分けられないからです。

x^2+1 は有理数係数の範囲では分解できず、既約です。

x^2-2 は有理数係数の範囲でも分解できず、既約です。

x^2-3x は x(x-3) に分解できるので、非既約です。

表で見るポイント

項目	意味
既約	もう分解できない状態のこと。積として書けない。
因子分解	多項式を積の形に分けること。分解できると非既約。

まとめと実践のヒント

まとめると、既約多項式とは「もうこれ以上、小さな多項式の積に分解できない多項式」のことです。中学生の段階では、まず 1次式は irreducible、2次式は場合によって irreducible かどうかを判定する、という感覚で十分です。実際には係数の取りうる数を決めることが大切で、有理数係数の範囲で考えるのが一般的なスタート地点です。学びを進めると、複素数の範囲、整数係数の範囲など、いろいろな場での“既約”を知ることができます。

既約多項式の同意語

不可約多項式: ある体Fの上で、非自明な因子に分解できない多項式のこと。つまり、f(x) ∈ F[x] が f = g h と表せるのは、g または h が定数元になる場合のみで、次数が0でない因子を持たない性質を指します。
無分解多項式: 同じ意味で用いられる表現。与えられた係数体の下で分解できない多項式のことを指し、不可約多項式とほぼ同義として使われることが多いです。
素多項式: 文献によって irreducible polynomial の別称として使われることがある表現。厳密には context によって意味が変わることもあるため、どの体の上で考えるかを読み手に示すと分かりやすいです。
分解不能な多項式: 与えられた係数体の下で、非自明な因子に分解できない多項式を指す表現。日常の説明では irreducible の同義語として使われます。

既約多項式の対義語・反対語

可約多項式: 既約ではなく、非自明な因子に分解できる多項式。例として x^2 - 1 は (x-1)(x+1) に分解される。
分解可能な多項式: 可約多項式と同義で、非自明な因子に分解できる多項式。
因数分解可能な多項式: 可約性を持ち、因数分解によって非自明な積に分解できる多項式。
非既約多項式: 既約ではない性質を表す言い方。すなわち可約である多項式を指す。

既約多項式の共起語

多項式: 変数を含む式で、係数と次数からなる代数的構造。既約多項式の話題の基礎となる基本概念。
有理根定理: 整数係数の多項式が有理根を持つとき、その根は分子が定数項の因子、分母が最高次係数の因子になる形 p/q である、という定理。
ユークリッドの互除法: 2つの多項式の最大公約数を効率的に求めるアルゴリズム。既約判定にも関与する。
因数分解: 多項式を低次の因子の積に分解する操作。既約多項式はこの操作で分解できない。
最小多項式: ある元の体上で、その元の代数的性質を最小次数の多項式で表すもの。
根: 方程式 P(x)=0 の解。実数・複素数・拡張体上の値をとることがある。
係数体/定義域: 多項式の係数が属する体や環のこと。例：有理数係数の多項式は Q[x]。
多項式環 F[x]: 体 F の上の全ての多項式の集合と、その四則演算を備えた代数構造。
不可約/既約: 因数分解できないこと。F[x] の不可約多項式は、非自明な因子に分解できない特別な多項式。
拡張体: 元の体に新しい元を加えて作るより大きな体。既約多項式の根を加えると拡張体が得られる。
有限体と既約多項 polynomial: 有限体を作る際に、有限の元の集合をもつ体を得るために既約多項式を用いる。
有理・整数係数の判定範囲: 係数が有理数/整数/実数など、どの体を考えるかで irreducibility の判断が変わる。
Eisenstein 判定: ある素数 p が充足する条件を用いて、多項式が有理数係数のとき irreducible であることを示す十分条件。
ガロア理論: 多項式の分解と根の置換・対称性を結びつける理論。既約性と分解の深い関係を扱う。
分解可能/不可約: 多項式が他の多項式の積として表せるかどうかの性質。不可約多項式は分解不能。
F[x] の既約元: F[x] の中で既約とみなされる多項式。
拡張次数/代数的拡張: 拡張体の次数と、根の最小多項式の次数の関係性を表す。
実用例/応用: 誤り訂正コードの生成、多項式の生成、拡張体の構築など、実用的な場面で用いられる。
例題/具体例: 具体的な例で irreducible の判定を理解する。例：x^2+1∈R[x] は irreducible だが x^2+1∈C[x] では reducible。