べき集合とは？初心者向けの基本と使い方を徹底解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

べき集合とは？基本を押さえよう

数学を勉強していると「べき集合」という言葉を見かけます。べき集合は英語で「power set」と言い、ある集合の中のすべての部分集合を集めた集合のことです。中学生にも理解できるように、なぜこの考えが必要なのか、どう作るのか、そして実生活でどう役立つのかを順に見ていきます。

べき集合の基本的な定義

べき集合とは、ある集合 A に対して「A の部分集合の全体」を集めた集合です。A に含まれる元素のすべての組み合わせが、部分集合として用意されます。

例えば、集合 A = {1, 2} を考えます。A のべき集合 P(A) は以下の4つの要素を持ちます。∅（空集合）も1つの部分集合として含まれます。

<th>集合 A

べき集合 P(A)
{1, 2}	∅, {1}, {2}, {1, 2}

このように、A の中の元素の組み合わせがすべて列挙されます。要するに「2 の A の要素数乗」個の部分集合ができるため、べき集合の大きさは 2^|A| と表されます。

2^|A| という理由

A の要素が n 個あれば、各要素について「集合に入れる／入れない」という2通りの選択肢があるため、全体の組み合わせは 2^n 通りになります。これがべき集合の基本的な考え方です。例えば、A が3つの要素を持つとき、べき集合には 2^3 = 8 個の部分集合が含まれます。

記法と実用例

べき集合はしばしば P(A) と表記され、読み方は「A のべき集合」です。また、2^A と書くこともあります。数学の証明や集合の性質を考えるとき、べき集合はとても重要です。以下に簡単な実用例を示します。

<span>例1: 集合 A = {a, b} のべき集合を求めると、P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} となります。

例2: 集合 B = Ø（空集合）なら P(B) = {∅} です。

もう少し複雑な例

集合 C = {1, 2, 3} のべき集合は、要素が3つのとき 2^3 = 8 個の部分集合になります。代表的な部分集合を列挙すると、∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3} です。これを表の形で示しておくと、理解が深まります。

集合 C	べき集合 P(C)
{1, 2, 3}	∅, {1}, {2}, {3}, {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1,2,3}

記法と使い方のコツ

べき集合は P(A) または 2^A と書くことが多いです。2^n のように、元集合の要素数を n として大きさを覚えるのが基本です。証明をするときには、まず元集合の要素をすべて書き出し、それぞれの要素を「入れる／入れない」という選択肢で並べていくと、漏れがなくなります。

実生活との結びつき

べき集合の考え方は、選択肢を全て洗い出す作業に似ています。例えば、友だちと遊ぶ日を決めるとき、行く人の組み合わせを全て書き出してから最適な案を選ぶような場面に役立ちます。このような全体像を把握する力が、プログラミングやデータ分析、論理的な思考の基礎につながります。

まとめ

べき集合とは、ある集合のすべての部分集合から成る集合のことです。大きさは 2^n（n は元の集合の要素数）で、P(A) や 2^A と表記されます。これを理解すると、集合の性質を深く考える際の基盤ができ、さまざまな分野の問題解決にも役立ちます。

べき集合の同意語

べき集合: ある集合 A に対して、A のすべての部分集合を集めた集合。空集合も含み、A の部分集合をすべて集めた全体です。
冪集合: べき集合の別名。A のすべての部分集合を集めた集合のこと。
集合の冪集合: 集合 A の全ての部分集合を要素とする集合（すなわち A の冪集合のこと）。
すべての部分集合の集合: A の全ての部分集合を集めた集合。
全ての部分集合の集合: A の全ての部分集合を含む集合。
全部分集合の集合: A の全ての部分集合を含む集合。冪集合と同義です。
幂集合: 漢字表記の別名で、A のすべての部分集合を集めた集合のこと。

べき集合の対義語・反対語

原集合: べき集合の対象となる元の集合。P(A)はこの集合Aの全ての部分集合の集合である。
元集合: 原集合と同義。べき集合の対になる起点となる集合。
母集合: 集合論における全体の集合。Aを含む基点として使われることがある。
宇宙集合: 宇宙集合とも呼ばれ、研究対象の全要素をまとめた集合。原集合・母集合と同義に使われることがある。
全体集合: 宇宙集合・母集合と同義に使われることがある、対象となる全ての要素の集合。
基底集合: 問題の出発点となる集合。原集合の別名として使われることがある。
補集合: ある宇宙集合Uに対して、その補集合はU
iAのように、Aに含まれない要素の集合。べき集合そのものの反対というより、集合の“反対の性質”を示す概念。
空集合: 要素を1つも含まない集合。P(A)には必ず∅が含まれる。

べき集合の共起語

冪集合: べき集合の別名。ある集合のすべての部分集合を集めた集合のこと。記号P(S)で表されることが多い。
部分集合: ある集合の元の一部でできる集合のこと。べき集合の各要素は元集合Sの部分集合である。
空集合: 要素を1つも持たない集合。べき集合の中にも必ず含まれる、特別な部分集合。
元: 集合を構成する要素のこと。べき集合の要素はSの部分集合であり、Sの元そのものとは別の概念。
集合: 複数の元をまとめた数学的対象。べき集合P(S)はSの部分集合だけを集めた“集合の集合”。
集合族: 複数の集合を集めた集まりのこと。べき集合はSの部分集合という集合族の一つ。
2のn乗: Sの要素数をnとすると、べき集合の要素数は2^n、つまり2のn乗になる。
要素数: 集合の大きさを示す数のこと。Sの要素数をnとすると、P(S)の要素数は2^n。
ベン図: 集合の関係を図で表す図。べき集合を直感的に理解する際に、Sの部分集合を視覚化するのに役立つ。
有限集合: 要素数が有限の集合。Sが有限なら、べき集合も有限で、要素数は2^nで求められる。
無限集合: 要素数が無限の集合。Sが無限なら、べき集合も無限で、それぞれの部分集合を全て列挙することはできないが構造は同じ。
補集合: 全体集合に対して、ある集合に含まれない元の集合のこと。べき集合を理解する際、包含関係と対比して使われることがある。
包含関係: 集合間の含まれる関係のこと。A ⊆ B のときAはBの部分集合である。べき集合ではこの関係を操作する場面が多い。
P(S): べき集合を表す記号。Sのべき集合はP(S)と書くのが一般的。

べき集合の関連用語

べき集合: ある集合 A のすべての部分集合からなる集合。記法は P(A) または 2^A。要素は部分集合そのもの。例: A={1,2} のべき集合は {∅, {1}, {2}, {1,2}}。A 自身も含む。|P(A)| = 2^{|A|}（有限集合の場合）
集合: 要素の集まり。中身の要素を“元”と呼ぶ。集合は中身の取り扱いにより、集合演算（和・積・補集合など）の対象になる。
元: 集合の要素のこと。a が集合 A の元であるとき、記号は a ∈ A と書く。
空集合: 要素を全く持たない集合。記号 ∅。すべての集合の部分集合。例: ∅ ⊆ A の関係は常に成り立つ。
部分集合: A ⊆ B のとき、A のすべての元が B にも含まれること。A = B の場合も含む。
真部分集合: A ⊊ B のとき、A ⊆ B かつ A ≠ B。A が B の真の部分集合である。
全体集合: その文脈で考えるすべての対象を含む集合。宇宙集合とも呼ばれ、記号は U で表すことが多い。
補集合: A の補集合とは、宇宙集合 U に対して A に含まれない元全ての集合。表記は A^c または U \ A。
和集合: A ∪ B は A または B の元をすべて含む集合。
積集合: A ∩ B は A と B の両方の元である集合。
デカルト積: A × B は A の元と B の元のすべての組み合わせからなる集合。座標対の集合として考える。
基数（カーディナリティ）: 集合の“大きさ”を表す概念。有限集合なら |A|、無限集合なら |A| が無限大を表すこともある。
有限集合: 元の数が有限の集合。例: {1, 2, 3}。
無限集合: 元の数が無限に多い集合。例: 自然数集合 N、実数集合 R など。
ド・モルガンの法則: 補集合と和集合/積集合の関係を表す基本法則。例: (A ∪ B)^c = A^c ∩ B^c、(A ∩ B)^c = A^c ∪ B^c。
ベン図: 集合の関係を図で表す図。複数の集合の交わりや補集合を直感的に理解できる。