線形時不変システム・とは？初心者が今すぐ理解できる基本の解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

線形時不変システム・とは？

線形時不変システムとは、入力信号 x(t) に対して出力 y(t) を返す「規則」のことです。ここで重要なのは 線形性と 時不変性 の二つの性質が同時に成り立つことです。

線形性と時不変性の意味

線形性とは、出力が入力の和とスカラー倍に対して同様に対応する性質です。もし x1(t) が y1(t) を生み、 x2(t) が y2(t) を生むなら、a x1(t) + b x2(t) を入力すると出力は a y1(t) + b y2(t) が得られます。

時不変性とは、入力を時間だけずらしても出力も同じだけずれるという性質です。すなわち、x(t - t0) を入力すると y(t - t0) が出力として現れます。これはシステムの挙動が時間に対して一定であることを意味します。

インパルス応答と畳み込み

これらの性質を活かすと、すべての入力信号に対して出力を計算できる「公式」が得られます。それが畳み込みです。

システムの インパルス応答 h(t) は、時間上の極めて短いパルス δ(t) を入力したときの出力です。任意の入力 x(t) に対して、出力は y(t) = ∫ x(τ) h(t - τ) dτ（連続時間の場合）で表されます。

離散時間の場合は、y[n] = Σ_{k=-∞}^{∞} x[k] h[n - k] となります。直感的には、入力が各時刻で微小な「パーツ」に分かれ、それぞれのパーツがシステムの応答である h をずらして足し合わせることで全体の出力が決まる、という考え方です。

身近な例と誤解を避けるヒント

線形時不変システムは、私たちが日常で感じる多くの現象を正確に表現できる場面が多いです。例えば、音を大きくするアンプは大きさに比例して出力も大きくなるため、線形性を満たします。一方で、実世界の装置は完全な線形性を持つわけではなく、限界やノイズ、温度変化などで近似的に LTI の形に近づくことが多いです。そうした近似を理解することも大切です。

もし「入力を少しだけ遅らせたら出力も遅れるはずなのに違う動きをする」などの現象があれば、それは時不変性が崩れている、または線形性が崩れているサインかもしれません。基本を押さえ、近似としての LTI を学ぶと、多くの信号処理の道が見えてきます。

まとめと活用のヒント

線形時不変システムは、信号処理の世界で最も基本的かつ強力な考え方の一つです。線形性と 時不変性 を満たすと、出力は入力の「畳み込み」という単純な操作で計算でき、どんな信号でも扱えるようになります。学問としては、まずこの二つの性質を別々に理解し、それから インパルス応答 と畳み込みの公式を組み合わせて練習問題を解くと理解が深まります。

表で整理

<th>用語

説明
線形性	出力は入力の和とスカラー倍に対して同様に変化する性質
時不変性	時間をずらしても出力の時間もずれるだけになる性質
インパルス応答	δ(t) を入力したときの出力
畳み込み	y(t) = ∫ x(τ) h(t − τ) dτ（連続）
離散畳み込み	y[n] = Σ x[k] h[n − k]

補足

この解説は初心者向けの導入です。難しい式や定理は一度に覚えず、実際の信号を使って手を動かしながら理解を深めましょう。

線形時不変システムの同意語

線形時不変システム: 入力に対して出力が線形で、時間に依存せず性質が変化しないシステムのこと。英語では Linear Time-Invariant System の略で LTI と呼ばれます。
線形時不変系: 同じ意味。’系’と’システム’は日常的に同義で使われます。
線形時間不変システム: 同様の意味。表記の違いだけです。
線形時間不変系: 同様の意味。
線形定常システム: 文献によっては LTI を指す表現。線形かつ時間不変であることを意味しますが、定常は統計的意味合いで使われることもあるため文脈に注意。
線形定常系: 同じ意味。
LTIシステム: Linear Time-Invariant System の略称。技術文献で広く用いられています。
Linear Time-Invariant System: 英語表現。日本語記事で併記すると SEO に有利です。
LTI: Linear Time-Invariant の略。文脈によって「システム」を省略して使われることがあるため、明確化が必要です。

線形時不変システムの対義語・反対語

非線形システム: 入力と出力の関係が線形性（加法性と同次性）を満たさないシステム。出力は入力の二乗や絶対値など、入力に対して非線形な変化を示すことが多い。
時変システム: システムの特性が時間とともに変化するシステム。伝達特性や係数が時刻に依存する。
線形時間変動システム: 線形性は保ちながら、係数が時間とともに変化するためLTIではない系。入力と出力の関係は線形だが、時間の経過とともに振る舞いが変わる。
非線形時間変動システム: 非線形性と時間依存性の両方を持つシステム。解析・設計が特に難しくなるケースが多い。
LTIでないシステム: 厳密には線形時間不変を満たさないすべてのシステムを指す総称。線形でない場合も、時間変動である場合も含まれる。

線形時不変システムの共起語

線形性: 入力の和は出力の和に、スカラー倍は出力の同じスカラー倍になる、超過の重ね合わせの原理に基づく性質。
時不変性: 時間が経過してもシステムの特性（応答の形や伝達関数）は変わらない性質。
インパルス応答: デルタ関数の入力に対する出力。LTIシステムを特徴づける基本的な応答で、他の入力の応答を組み立てる核となる。
ステップ応答: 単位ステップ入力に対する出力の時間的変化。過渡特性と定常特性を観察できる。
伝達関数: 入力と出力の周波数領域での関係を表す関数。連続時間は H(s)、離散時間は H(z) として表現されることが多い。
ラプラス変換: 連続時間信号の解析に使う変換。微分方程式を代数方程式へ変換して扱いやすくする。
フーリエ変換: 信号を周波数成分に分解する変換。周波数領域での解析に用いられる。
周波数応答: 各周波数成分に対する振幅と位相の変化を表す特性。
ポールとゼロ: 伝達関数の極（ポール）と零点（ゼロ）の位置。周波数応答や安定性に影響。
安定性: 出力が時間とともに有限の範囲に収まる性質。BIBO安定性などの条件で評価される。
状態空間表現: システムを x' = Ax + Bu, y = Cx + Du の形で表す表現形式。
微分方程式: LTIシステムは線形常微分方程式で記述されることが多く、解析の出発点となる。
初期条件: 系の開始時点の状態。解の一意性と応答に影響する。
連続時間: 時間が連続して変化するLTI系のこと。
離散時間: 時間が離散的なサンプル点で扱われるLTI系のこと。
サンプリング: 連続時間信号を離散時間信号へ変換する過程。
過渡応答: 入力の変化に対して一時的に現れる出力の変動。
定常応答: 長時間経過後に安定して落ち着く出力の部分。
ブロック図: ブロックと矢印で系の構造を視覚的に表す図。

線形時不変システムの関連用語

線形時不変システム: 線形性と時不変性を同時に満たすシステム。入力の和やスカラー倍に対して出力が同様に線形に応答し、時間がずれても性質が変わらない。
線形性: 入力信号 x1 と x2 の和に対して出力 y は y1 + y2 になる、また係数 a に対して f(a x) = a f(x) となる性質。
時不変性: システムの特性が時間の移動に対して変化せず、入力をずらして出力をずらしても同じ形になる性質。
インパルス応答: δ(t) や δ[n] を入力したときの出力。LTI ではこの h(t) が全応答を決定する。
単位インパルス関数: 連続時間では δ(t)、離散時間では δ[n]。無限に狭く強い刺激でシステムの特性を測る信号。
畳み込み: 出力 y は入力 x とインパルス応答 h の畳み込み: y(t) = ∫ x(τ) h(t−τ) dτ（連続）または y[n] = ∑ x[k] h[n−k]（離散）
伝達関数: 入力と出力の比を表す関数。連続時間は H(s)、離散時間は H(z)。
周波数応答: H(jω) のように周波数領域での応答を表す。振幅と位相で信号の変化を示す。
ラプラス変換: 連続時間信号を s 平面の表現へ変換。L{x(t)} = X(s)。
Z変換: 離散時間信号を z 平面の表現へ変換。Z{ x[n] } = X(z)。
s平面 / z平面: 伝達関数が定義される領域。連続時間は s 平面、離散時間は z 平面。
極と零点: 伝達関数の極点(poles) と零点(zeros) の位置。系の動作や安定性に影響を与える。
BIBO安定性: 入力の有界性が出力を常に有界に保つ条件。主に極の位置で決まる。
安定性条件: 連続時間では極が左半平面、離散時間では極が単位円の内部にあることが一般的な条件。
微分方程式での表現: 連続時間 LTI は係数定数の線形常微分方程式で表せる。
差分方程式での表現: 離散時間 LTI は係数定数の線形差分方程式で表現される。
FIRとIIR: 有限インパルス応答（FIR）と無限インパルス応答（IIR）に分類。
遅延: 時間的遅れを表す要素。連続時間は e^{-sT}、離散時間は z^{-k} で表す。
フィルタの分類: ローパス、ハイパス、バンドパス、ノッチなど周波数領域での機能分け。
サンプリング定理 / ナイキスト周波数 / エイリアシング: アナログ信号を離散化する際の基礎原理。
離散化手法: 連続時間の LTI を離離散化する方法。双一次変換（ビリナー変換）、インパルス不変法、マッチドZ変換、ゼロ次ホールドなど。
初期状態と応答: zero-state 応答（初期条件ゼロ時の応答）と zero-input 応答（初期条件が与える応答）を区別する。