関数の連続性とは？初心者向けにやさしく解説する基本ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

関数の連続性とは？

関数の連続性は数学の中でも基本的で大切な性質のひとつです。ここでは中学生にもわかるように、直感と簡単な例を使って丁寧に解説します。

連続性の直感

連続性とは「すきまがないこと」です。グラフを思い浮かべてください。ある点を挟んで、前後の値が急に飛ばず、滑らかにつながっている状態を指します。たとえば x の値を少しだけ動かしていったとき、関数の出る値も少しずつ近づいていくイメージです。

定義のやさしい言い方

難しい数式を使わずに言い換えると、ある点 a の近くで f(x) がどんどん近づくとき、f(a) がその近くで近い値になるときに連続だと言えます。もう少し具体的には x が a に近づくときの f(x) の値が f(a) に近づく、そういうときに f は a で連続しています。

代表的な例と非例

連続な関数の例としては f(x) = x の二乗、f(x) = x、f(x) = sin x などがあります。これらは点をとっても滑らかで、グラフは途切れずつながっています。一方で連続でない例としては 階段のような関数、例えば f(x) が x が負の時は 0、x が非負の時は 1 になるような関数です。点 a = 0 の周りで左側の極限と右側の極限が合わないため、連続ではありません。

連続性を確かめるコツ

連続性をきちんと確認するには、三つの要素をチェックします。まずその点で関数が定義されていること、次にその点の近くで f(x) の値がどのようにふるまうかを調べる極限が存在すること、そして最後に 極限の値と f(a) が等しい ことです。これが成り立てばその点は連続だといえます。

表で比べてみると分かりやすい

点 a	f(a)	極限 lim xへa のときの f(x)	連続かどうか
a = 0 のとき f(x)=x^2	0	0	連続
a = 0 のとき f(x)=\|x\|	0	0	連続
a = 0 のとき f(x)=階段関数	0 or 1	左0 右1	不連続

日常の感覚と結びつける

日常生活では連続性を「つながっている感じ」として感じることが多いです。例えば音楽の音程は途切れず続くと気持ち良く聴こえます。数学の連続性も同じで、点と点の間が滑らかにつながっているときに美しいグラフになります。

まとめ

関数の連続性は初学者にとって基礎的な概念であり、日常の感覚と結びつけて理解を深めることができます。要点を押さえると理解がぐんと深まります。連続性を意識していくと、微分や積分など次の学習領域もスムーズに進めることができるでしょう。

関数の連続性の同意語

連続性: 関数の値が入力の微小な変化に対して途切れず滑らかにつながる性質。点 x0 での連続性は lim_{x→x0} f(x) = f(x0) で表される。
連続関数: 連続性の性質を満たす関数のこと。定義域の任意の点で連続である関数を指す用語。
点での連続性: ある特定の点 x0 において、x が x0 に近づくと f(x) が f(x0) に近づく性質。
区間上の連続性: ある区間 I 全体で関数が連続である状態。区間内のすべての点で連続性が成り立つ。
左連続性: 各点 x0 に対して、左側からの極限 lim_{x→x0^-} f(x) が f(x0) に等しい性質。
右連続性: 各点 x0 に対して、右側からの極限 lim_{x→x0^+} f(x) が f(x0) に等しい性質。
局所連続性: ある点の周りの小さな領域で関数が連続である性質。局所的な連続性。
一様連続性: 全域で成り立つ強い連続性。任意の ε>0 に対して、関数の値の差を ε 未満に保つための δ が、入力の地点に依らず決まる性質。

関数の連続性の対義語・反対語

不連続性: 関数が連続でない性質のこと。具体的には、ある点で極限が存在しない、または極限の値と関数の値が一致しない場合を指します。
非連続: 連続でない状態を指す口語的表現。全体として連続でないことを意味します。
跳躍不連続: ある点で関数の値が急に別の値へ跳ぶように変化する不連続。いわゆるジャンプのような変化が起きる点を指します。
局所不連続: ある点の周辺だけで連続性を欠く状態。局所的に不連続が生じていることを意味します。
離散性: 関数の値が連続的に滑らかに変化せず、飛び飛びの値をとる性質。連続性の対極として理解されることがあります。
不連続点: 連続でない点そのもの。1点での不連続を指す最も基本的な用語です。
連続性の欠如: 連続であるべき性質が欠けていること。広く不連続性と同義で使われる表現です。
断裂: 連続性が途中で途切れている状態。比喩的に使われることもあり、非連続性と同義に用いられることがあります。
不連続領域: 関数が不連続になる区間・領域のこと。特定の範囲で連続性が成立しないことを示します。

関数の連続性の共起語

点での連続性: ある点 a において、x が a に近づくと f(x) が f(a) に近づく性質。極限と関数値が一致することを意味します。
区間上の連続性: 区間 I の任意の点 a ∈ I で点での連続性が成立する場合、その関数は区間上で連続と呼ばれます。
連続関数: 定義域全体で点での連続性が成立する関数のこと。
ε-δ論法による定義: 任意の ε > 0 に対して、ある δ > 0 を選び、x が a から δ だけ離れているとき f(x) が f(a) に ε 以内に近づくことを要求する連続性の定義。
極限: x が a に近づくとき f(x) がある値 L に近づく性質。連続性の基礎となる概念。
左極限と右極限: x → a のとき、左側の極限と右側の極限が存在して一致するかが連続性の判定材料になることがあります。
不連続点: 関数が連続でない点のこと。跳躍点や無限不連続点を含むことがあります。
跳躍点: ある点で極限は存在するが、関数値がそれと異なる点。連続性が崩れる代表例。
一様連続性: 定義域全体に対して共通の δ を ε で満たす性質。局所的な連続性より強い条件です。
中間値の定理: 区間上で連続な関数は、区間内の任意の値をとる点を必ず持つ、という重要な定理。
最大値最小値定理: 閉区間上で連続な関数は必ず最大値と最小値を取るという性質。
合成の連続性: 関数 f が y で連続、関数 g が x で連続なら、f の g に対する合成 f∘g は x で連続になる性質。
加法・乗法・除法の連続性: 連続関数の和・積・商（分母が点 x で 0 でない場合）も連続になる性質。
微分可能性と連続性: 微分可能であれば連続。逆は必ずしも成り立たない点に注意。
極限と連続性の関係: 連続性は各点での極限と関数値が一致することにより成立するという関係性。
開集合と閉集合の連続性の特徴: 連続性の特徴として、開集合の像が開集合になる、あるいは閉集合の像が閉集合になるような性質で表現されることがある。
不連続の分類と原因: 不連続点には跳躍点、無限不連続、間断点などの分類があります。
グラフと連続性の関係: 連続な関数はグラフに切れ目がなく滑らかに描けることが多い。

関数の連続性の関連用語

関数の連続性: 点 a における連続性とは、x が a に近づくと f(x) が f(a) に近づくこと。厳密には lim_{x→a} f(x) = f(a) が成り立つ場合を指します。定義域内の点で値と極限が一致して初めて連続と呼ばれます。
極限: 極限は、関数の値がある点に近づくときどんな値に近づくかを表す基本的な概念です。連続性の理解や ε-δ の議論の基礎になります。
ε-δ定義: 点 a での連続性を厳密に表す定義です。任意の ε>0 に対して適切な δ>0 が存在し、|x−a|<δ ならば |f(x)−f(a)|<ε が成り立ちます。
左連続: 点 a において x が a に左から近づくときの極限が f(a) と等しい場合、左連続と呼びます。
右連続: 点 a において x が a に右から近づくときの極限が f(a) と等しい場合、右連続と呼びます。
可除不連続: 点 a で極限 lim_{x→a} f(x) は存在するのに f(a) の値がそれと一致しない場合の不連続点です。0 で発生する例は、適切に値を定め直すと連続になります。例えば f(x)=sin x / x (x≠0)、x=0 で 1 を定義すると連続になります。
跳躍的不連続: 点 a で左極限と右極限が異なり、連続に結合することができない不連続点です。
無限的不連続: 点 a で f(x) が無限大に発散するような不連続点です。極限が存在せず、値が無限に大きく振れる状態を指します。
合成関数の連続性: f が a で連続で、g が f(a) で連続なら、合成関数 g∘f は a で連続になります。これにより複雑な関数の連続性を導くことができます。
演算の連続性: 連続な関数同士の和・積・商（分母が 0 でない場合）は、定義点で連続になるという基本的な性質を指します。
一様連続性: 任意の ε>0 に対して全域で同じ δ>0 を取ることができる性質です。一般に、有限区間上の連続関数は一様連続になることが多いです。
局所連続性: 各点の周辺で連続である性質を指します。局所的に連続であれば、全体の挙動が崩れにくいことを意味します。
微分可能性と連続性: ある点で微分可能なら、その点で連続です。微分可能性は連続性より強い性質であり、微分可能であれば必ず連続ですが、逆は成りません。
中間値の定理: 連続な関数は区間内の値を任意の中間値へとつなぐことができる、という性質を示す定理です。区間の連続性があるとグラフに穴があかず、値の変化が滑らかであることを保証します。