二次微分・とは？初心者にも分かる解説ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

二次微分・とは？

二次微分は数学の世界で「関数の変化の変化」を測るための道具です。基本の微分が「変化の速さ」を表すのに対して、二次微分はその速さがどのように変わっていくのかを教えてくれます。この考え方を理解するにはまず関数の導関数という考えを思い出しましょう。元の関数を微分して得られる一階微分は、もともとのグラフの接線の傾きに相当します。さらにその一階微分をもう一度 x で微分すると、二階微分が得られます。これは「接線の傾きがどのくらい速く変化しているか」を数値で表したものです。

二次微分の定義と計算

関数 f の二階微分は f''(x) で表します。定義としては <span>f''(x) = d/dx f'(x) となり、まず f'(x) を求めてから、それをもう一度微分します。実際には身近な関数の導関数を覚えておくと便利です。

グラフの直感

二階微分が正の領域では関数のグラフが上に凸になり、曲線が外側に開いて見えます。二階微分が負の領域では下に凸になり、凹んで見えます。二階微分が 0 になる点 には凹凸の変化が起きる可能性がありますが、必ずしも変化するとは限りません。この性質を使うと最適な点や極値の手掛かりをつかみやすくなります。

身近な例で理解を深める

例として三つの関数を見てみましょう。

例1 f(x) = x^2 の場合、f'(x) = 2x、f''(x) = 2。二階微分が正なのでこの関数は常に凸です。

例2 f(x) = x^3 の場合、f'(x) = 3x^2、f''(x) = 6x。x>0 では正、x<0 では負になり、位置によって凸凹が変わります。

例3 f(x) = sin x の場合、f'(x) = cos x、f''(x) = -sin x。周期的に符号が変わり凹凸も変化します。

実生活や物理での使い道

位置を時間 t で表す関数 s(t) があるとき、二階微分 s''(t) は 加速度 に対応します。これは運動の変化の速さの変化を追うのに役立ちます。日常の現象でも速度の変化の傾向を見るときに使われます。

練習問題のヒント

次の関数の二階微分を求めてください。

・ f(x) = x^4 → f'(x) = 4x^3、f''(x) = 12x^2

・ f(x) = e^x → f'(x) = e^x、f''(x) = e^x

表で理解を深める

<th>関数

一階微分	二階微分	意味
x^2	2x	2	正の定数の二階微分は凸の程度を表す
x^3	3x^2	6x	x の符号で凸凹が変化
sin x	cos x	-sin x	周期的な凹凸の変化

まとめ 二次微分は関数の変化の変化を数で読み解く道具です。凹凸の判断や極値の安定性、さらには物理の加速度の理解にも使われ、理解が進むと関数の挙動を直感的にも詳しく予測できるようになります。

二次微分の同意語

二階微分: 関数を自変数xについて2回微分した結果を指します。一般には d^2y/dx^2 で表され、曲線の凹凸や拡大縮小の変化を判断する際に使われます。
二次微分: 二階微分と同じ意味を持つ表現。日常的にはこちらの表記が使われることもあります。
2階微分: 二階微分を数字の2で表した表記。意味は二階微分と同じです。
2次微分: 二階微分を数字の2で表した別表記。二階微分と同義です。
二階導関数: 関数の導関数をさらに微分した量。つまり二階微分が生む新しい関数のことを指します。
二次導関数: 二階導関数と同義。関数を2回微分して得られる導関数を指します。
2階導関数: 二階導関数を数字の2で表した表記。意味は二階導関数と同じです。
2次導関数: 二階導関数を数字の2で表した表記。二回微分して得られる導関数を指します。