恒等写像とは？中学生にも分かるやさしい解説と実例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

恒等写像とは？中学生にも分かるやさしい解説と実例

このページでは 恒等写像 について、難しく聞こえる言葉を避けて、日常の身近な例と一緒に丁寧に解説します。まずは基本の意味から押さえましょう。

恒等写像とはある集合の中身をそのまま写す関数のことです。つまり定義は すべての元 x に対して f(x) = x が成り立つものを指します。ここでの集合は数の集まりでも、文字列の集合でも、色の集合でもかまいません。重要なのは写す先と写す元が同じということです。

身近なイメージ

日常の例えで考えると、あなたの住所をそのまま返してくれる郵便物の宛名と似ています。ある人を別の場所へ移動させず、その人自身の場所へそのまま置くような関数です。恒等写像を使うと、何も変えず元の状態を維持することになります。

具体例で見る恒等写像

例1: 集合 {1, 2, 3} の恒等写像を考えると f(1) = 1, f(2) = 2, f(3) = 3 となります。例2: 集合 {A, B} の恒等写像は id({A, B}) の形で表せ、 id(A) = A, id(B) = B となります。

これらの例では写す前と写した後の元が同じです。数字をそのまま返すだけなので、見た目には何も変わっていません。

性質が分かると便利

恒等写像は 単射（注射）でも全射（surjective）でもあります。つまり写像の一部だけを取り出しても、定義域のすべての元が必ず扱われ、かつ重複も起きません。実はこれらの性質は他の関数でも似たように考えられますが、恒等写像は最も単純なので理解の練習にぴったりです。

さらに、恒等写像は 写像の中で唯一の自己写像の代表格と言えます。自己写像とは写像の定義域と値の集合が同じ場合のことで、恒等写像 id_X はその最も基本的な例です。例えば整数全体の集合 Z に対する恒等写像 id_Z は任意の整数 n に対して id_Z(n) = n と書き、どんな数を入れてもその数が返ってきます。

表を使って見る恒等写像

下の表は集合と対応している恒等写像の様子を直感的に示したものです。実際にはこのように f(x) が x と一致します。

集合	要素	恒等写像の値
{1,2,3}	1	1
{1,2,3}	2	2
{1,2,3}	3	3

練習と要点

練習問題のヒントとして、次のような考え方をしてみましょう。集合が {a, b, c} なら恒等写像は id({a, b, c}) であり id(a) = a, id(b) = b, id(c) = c となります。答えが一度も変わらない点に注意してください。そのうえで他の関数と比較してみると、恒等写像が一番シンプルな写像であることが見えてきます。

総括

恒等写像とは 写す前と写した後で元の要素が同じになる関数です。どんな集合に対しても定義され、数学の基礎を理解するうえで重要な役割を果たします。 id_X のように名前がつくことが多く、他の写像を理解する上での基準にもなります。

恒等写像の同意語

恒等関数: 集合 X 上の関数 f: X → X で、すべての x ∈ X に対して f(x) = x となる。要は“対象をそのまま写す”関数。
恒等変換: 線形代数などで使われる呼び方。ベクトル空間 V 上の恒等写像 T: V → V で、すべての v ∈ V に対して T(v) = v となる線形変換。
同一写像: ある写像が自分自身をそのまま写すことを指す表現。文献によって恒等写像の別称として使われることがある（文脈依存）。
恒等映像: 写像を“映像”と呼ぶ文脈で使われることがある別称。意味は恒等写像と同じ。

恒等写像の対義語・反対語

零写像: すべての入力を1つの固定値へ写す写像。例: f(x)=0。恒等写像とは違い、入力ごとに異なる値にはならない点が対照的です。
定数写像: 出力が常に同じ固定値になる写像。例: f(x)=c（任意の x に対して c を返す）。零写像は特定の値0へ写す定数写像の特別なケースと捉えられます。
非恒等写像: 自己写像のうち、少なくとも1点で f(x) ≠ x となるもの。恒等写像（f(x)=x）ではない、一般的な写像の総称です。
反恒等写像: 全ての点について f(x) ≠ x となる写像。つまりどの x も元の値と同じ場所には映さない性質。ただし集合によってはこの条件を満たす写像が存在しない場合もあります。
非同型写像: 同型（逆写像が存在して構造を完全に保存する写像）ではない写像。恒等写像は同型ですが、他の写像は多くの場合同型ではありません。
非可逆写像: 逆写像が存在しない写像。恒等写像は可逆ですが、一般には逆を持たない写像が存在します。
非単射写像: 異なる入力が同じ出力になる写像。恒等写像は単射ですが、非単射はその性質を満たしません。
非全射写像: すべての出力が像として現れるとは限らない写像。恒等写像は全射ですが、非全射は全射でない場合があります。