密度行列・とは？初心者にもやさしく解く基礎ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

密度行列とは何か

密度行列は量子力学で状態を記述する道具です。古典的な確率の考え方と波の性質をひとつにまとめるための方法として使われます。直感的にはこの系が今どんな状態にあるのかを表す表形式の情報と考えると分かりやすいです。

密度行列の基本思想は、系の情報を波動関数だけでなく確率の混合として扱える点です。たとえば一つの粒子が二つの可能性のどちらかにある場合、その情報を波動関数だけでは表現しきれません。そこで密度行列を用います。

純粋状態と混合状態

密度行列の読み方

密度行列は系の状態に関する情報を行と列の形で持ちます。まず対角成分 ρ11, ρ22 などはそれぞれの基底状態が観測されたときに得られる確率の情報を含みます。非対角成分 ρ12 や ρ21 はコヒーレンスと呼ばれる量で、量子の干渉の強さを表します。したがってρが対角だけのときは古典的な確率だけを含み、非対角成分が残っているときは量子の性質が生きていることを意味します。

どう使うのか

物理の計算では観測量の期待値を取るとき ⟨A⟩ = Tr(ρ A) という式を使います。ここで Tr は行列の対角成分を足す操作で、ρと観測量 A の積の迹をとると期待値が得られます。これにより純粋状態でも混合状態でも共通の公式で測定結果を予測できます。

例：スピン1/2 の場合

二つの基底状態を |↑> と |↓> とします。密度行列は次のように書けます。

ρ = [[p, c], [c*, 1-p]] ここで p は上向きの確率、1-p は下向きの確率、c はコヒーレンスの程度を表す複素数です。対角成分の和は必ず 1 になることに注意してください。

要素	意味
ρ11	系が上向きでいる確率とコヒーレンスの影響
ρ22	系が下向きでいる確率と影響
ρ12	コヒーレンス成分で干渉の強さを表す
ρ21	ρ12の共役で対称性を保つ

この表を読むと密度行列がどのくらい情報を持っているかが分かります。実際の実験ではノイズや環境の影響でコヒーレンスが小さくなることが多く、ρ12 が小さくなると古典的な性質に近づくと考えられます。

まとめ：密度行列は量子の状態を表す強力な道具です。純粋状態と混合状態を一つの数式で扱える点、観測値の予測に使える点、そしてコヒーレンスの有無を見分けられる点が大きな特徴です。初めは難しく感じても、基礎の考え方さえ押さえれば、波動関数だけでは見えなかった量子の世界が見えてきます。

密度行列の同意語

密度行列: 量子力学において、系の状態を確率的に表す行列。状態の統計的性質（混合状態を含む）を記述する基本的な表現。
状態密度行列: 密度行列の別称。特に「状態」を強調して呼ぶ場合に用いられることがある表現。
密度演算子: 密度行列と同じ数学的対象を指す演算子の表現。ρ̂（密度演算子）として表されることが多い。
量子密度演算子: 量子力学での密度演算子を指す別称。密度行列と等価な概念として使われることがある。
量子密度行列: 量子系の密度行列を指す言い換え。文脈上、量子力学の語彙として自然に使われる。

密度行列の対義語・反対語

状態ベクトル（波動関数）: 密度行列が統計的混合を含む一般的な表現であるのに対し、状態ベクトル（波動関数）は純粋な量子状態を1つのベクトルで表す表現です。密度行列は混合を表現できる一方、状態ベクトルは特定の状態を直接示します。
純粋状態: 混合を含まない量子状態のこと。密度行列の一般形ρとは異なり、ρ = |ψ⟩⟨ψ| の形になる場合が多く、単一の状態を指す概念です。
古典的確率分布: 量子密度行列の非古典的な性質（干渉や重ね合わせ）に対して、古典的な確率だけを扱う確率分布を指します。量子と古典の対比として用いられることが多いです。
低密度（希薄）: 密度の対義語として、物質・エネルギーの密度が低い状態を指す表現です。物理的には「密度が低い」という直感的な反対語になります。
スカラー表現: 密度行列は行列形式で表されますが、スカラーは1つの数値で表される性質です。行列形式の対比として使われる表現です。

密度行列の共起語

量子状態: 量子力学での系の状態を表す概念。密度行列は純粋状態と混合状態の両方を1つの表現で扱える道具です。
純粋状態: 1つの状態ベクトル |ψ⟩ に対応する状態。密度行列は ρ = |ψ⟩⟨ψ| の形になります。
混合状態: 複数の状態の確率的な組み合わせとして表される状態。ρ = ∑_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i| の形で表されます。
密度演算子: 密度行列の別名。量子状態を記述する演算子で、 Hermitian かつ半正定値で、Tr(ρ) = 1。
還元密度行列: 大きな系の一部を切り出して得られる部分系の密度行列。Tr_B ρ で定義されます。
部分トレース: 大きな系から一部を tracing out して別の系の密度行列を取り出す操作です。
トレース: 行列の対角和の演算。量子状態の正規化には Tr(ρ) = 1 が使われます。
固有値: ρ を固有分解 ρ = ∑_i λ_i |i⟩⟨i| のときの λ_i。0 ≤ λ_i ≤ 1、合計は 1。
固有ベクトル: ρ の固有状態。|i⟩ は ρ|i⟩ = λ_i |i⟩ を満たします。
スペクトル分解: 密度行列を固有値と固有状態の和で表す表現。
コヒーレンス: ρ のオフ対角成分が量子状態の相干性（位相関係）を表します。
デコヒーレンス: 環境と相互作用してコヒーレンスが失われ、古典的な挙動に近づく現象です。
時間発展: 量子系の状態が時間とともにどう変化するかという変化のこと。
von Neumann方程式: iħ dρ/dt = [H, ρ]。閉じた系の密度行列の時間発展を記述します。
ハミルトニアン: 系のエネルギーを表す演算子。状態の時間発展に不可欠です。
ヒルベルト空間: 状態が定義される数学的な空間。密度行列はこの空間上の演算子として扱われます。
行列対数: 対数演算子。密度行列のエントロピーを計算する際に用いられます。
エントロピー: 情報の不確かさの程度を表す指標。量子の場合は von Neumann エントロピーを用います。
ヴォン・ノイマンエントロピー: S(ρ) = -Tr(ρ log ρ) で、状態の混合の程度を測る指標。
測定: 量子状態を観測するプロセス。測定によって密度行列が部分的に収束・更新される場合があります。
測定後の状態: 測定結果に基づき密度行列が更新される状態。量子測定後の一般的な記述です。
量子情報: 量子計算・量子通信など、情報処理を量子力学の枠で扱う分野。
量子チャネル: ρ を別の密度行列へ写す、環境ノイズなどを含む状態変換を表す写像。
完全陽性写像: 完全陽性写像（CPTP）は物理的な状態変換の条件。拡張系でも正性を保つ写像で、ρ → Φ(ρ) の形で変換します。
カノニカル分布: 熱平衡状態を表す分布。ρ ∝ e^{-βH} の形で表されます。
熱平衡状態: 温度に応じて平衡化した密度行列。エネルギー分布が安定した状態です。
還元密度行列の式: 部分系の状態を表す密度行列の一般表現。ρ_A = Tr_B ρ の形で定義されます。
半正定値: 密度行列は半正定値で、任意のベクトル v に対して v†ρv ≥ 0。これにより固有値が非負になります。
エルミート性: ρ は自己共役（エルミート）であり、対角成分が実部、オフ対角成分が共役対角の関係を持ちます。
スペクトル分解の実用性: ρ を固有値と固有状態の和として表すことで、混合の構造を直感的に理解できます。

密度行列の関連用語

密度行列: 量子状態の統計的性質を表す行列で、純粋状態と混合状態の両方を表現できます。 Hermitian かつ半正定値、Tr(ρ)=1 の性質を満たします。観測量の期待値は ⟨A⟩ = Tr(ρ A) で計算します。
状態ベクトル: 量子状態を表すベクトル表現。純粋状態は |ψ⟩ で表され、密度行列では ρ = |ψ⟩⟨ψ| として表されます。
純粋状態: 系が完全に知ることができる状態を表します。ρ = |ψ⟩⟨ψ| の場合、Tr(ρ^2) = 1 となります。
混合状態: 複数の状態の統計的な混合として表現される状態。ρ = Σ_i p_i |ψ_i⟩⟨ψ_i|、p_i ≥ 0、Σ_i p_i = 1。多くの場合 Tr(ρ^2) < 1 の値になります。
縮約密度行列: 複合系の一部だけを取り出した状態。ρ_A = Tr_B(ρ_AB) の形で得られ、局所性やエンタングルメントの評価に使われます。
部分トレース: 環境など別の系を追い出す操作（trace over others）。対象系の密度行列を取り出す際に使われます。
エンタングルメント: 複数の量子系が互いに独立に表現できない強い相関のこと。分離可能かどうかで区別されます。
エンタングルメントエントロピー: 分割した部分系の量子状態の乱雑さを測る指標。S(ρ_A) = -Tr(ρ_A log ρ_A) で計算します。
Von Neumann エントロピー: 密度行列の情報量を表す指標。S(ρ) = - Tr(ρ log ρ)。純粋状態では 0、混合状態では正の値になります。
固有値と固有ベクトル: ρ は固有値分解 ρ = Σ_k λ_k |k⟩⟨k|。λ_k ≥ 0、Σ_k λ_k = 1。固有値は状態の混合度を表します。
Hermitian（エルミート）: 密度行列は自己共役 ρ† = ρ。実固有値を持ちます。
半正定値・正定値: ρ の全ての固有値が非負である性質。正定値は λ_k > 0 がすべてである状態を指します。
トレース（Tr）: 行列の対角成分和。密度行列の場合 Tr(ρ) = 1、期待値計算にも使われます。
期待値の公式: 任意の観測量 A に対する期待値は ⟨A⟩ = Tr(ρ A) で求めます。
Bloch球/Blochベクトル: 単一量子ビットの表現。ρ = (I + r·σ)/2 で表され、r は Bloch ベクトル、|r| ≤ 1。純粋状態は |r| = 1。
パウリ演算子: σ_x, σ_y, σ_z は単一量子ビットの基底を表す基本演算子で、ρ の展開や視覚化に使われます。
基底・表現系: 密度行列は基底を選ぶと ρ = Σ_ij ρ_ij |i⟩⟨j| の形で表現されます。基底変換により別の表現が得られます。
熱状態（熱平衡状態）: 温度 T の下での平衡状態は ρ ∝ e^{-βH}（β = 1/(k_B T)）。温度が高いほど混合度が増します。
von Neumann 方程式: 閉じた系の密度行列の時間発展を表す基本法。 dρ/dt = -(i/ħ)[H, ρ]。
Lindblad 方程式・マスター方程式: 開放系の Markovian な時間発展を表す一般的な方程式。dρ/dt = -i/ħ [H, ρ] + Σ_k (L_k ρ L_k† - 1/2 {L_k† L_k, ρ})。
デコヒーレンス: 環境との相互作用により量子コヒーレンスが失われ、オフ対角要素が減衰します。
測定・投影測定と事後状態: 測定結果の確率 p(m) = Tr(P_m ρ)。投影測定では測定後の状態は ρ' = (P_m ρ P_m)/p(m) です。
直交基底・基底展開: ρ は直交基底で展開でき、固有基底で diagonalize することが多いです。
量子状態トモグラフィー: 測定データから密度行列 ρ を再構成する実践的手法。初心者にも理解しやすい入口です。
距離指標（Tr(ρ−σ) など）: 2つの密度行列の差を測る指標の一つ。代表例としてトレース距離 Tr|ρ−σ| が挙げられます。