高岡智則
年齢：33歳 性別：男性 職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当） 居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション 出身地：神奈川県川崎市 身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる） 血液型：A型 誕生日：1992年11月20日 最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒 通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分） 家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹 恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）
内挿法とは？
内挿法は、すでにわかっているデータの間を結ぶように、値を推測する方法です。データ点が決まっているとき、それらの間の値を推測して連続的な曲線や関数を作るのが目的です。厳密には「既知の点を通る曲線を作ること」を意味します。例えば、天気の気温の記録やグラフの離散データなど、点と点の間の値が必要になる場面で使われます。
内挿法のしくみ
基本的な考え方は「既知のデータ点の間を滑らかにつなぐ」ことです。データ点を結ぶ直線を使う線形補間、曲線を使う三次補間など、方法によって滑らかさや計算量が変わります。内挿法を正しく使うには、データの増減の仕方やノイズの影響を理解することが大切です。なお、内挿は「補間」であり、外挿（データ点の外側の推定）と区別されます。
よく使われる内挿法の種類
以下の表で代表的な方法を見ておきましょう。
| 方法 | 特徴 | 注意点 |
|---|---|---|
| 線形補間 | 2点を直線で結ぶ簡単な補間。計算が早い。 | データ点の間が直線の形をとるときに適しています。尖った曲がりは再現しにくい。 |
| 3次スプライン補間 | 滑らかな曲線を作る。中間点で自然な連続性を保つ。 | 過剰適合の可能性がある。端の部分で不安定になることがある。 |
| 多項式補間 | 高次多項式で曲線を描く。データ点数が増えると振動しやすい。 | 外挿時の振る舞いが大きく変わることがある。 |
実例で見る内挿法
具体的な数値例で説明します。x = 0, 1, 2 のとき y = 0, 2, 3 のデータを用意します。この場合、線形補間なら x=1.5 の値は 2.5 に近い値になります。実務では、プログラムや表計算ソフトを使って補間を行います。
内挿法を使うときのポイント
データの密度が高いほど良い補間になる。端の処理に注意、データの質に気をつける。現実にはノイズが混じることが多く、適切な方法を選ぶことが重要です。
内挿法の同意語
- 補間法
- データ点の間の未知の値を推定する手法。数値計算で広く使われる基本的な用語です。
- 補間
- データ点間の値を推定する行為。補間法の中心的な概念です。
- 内挿
- データ点間の値を推定すること、またはその推定結果を得る操作の総称。内挿法とセットで使われます。
- 内插法
- 内挿法と同義の表記ゆれ。データ点間の値を推定する補間手法です。
- 数値補間法
- 数値データに対して補間を行う方法の総称。機械学習以外の数値計算領域で使われます。
- 線形補間法
- 2点間を直線で結んで間の値を推定する、最も基本的な補間法です。
- 多項式補間法
- データ点を通る多項式で間の値を推定する方法です。
- 立方補間法
- 3次多項式を用いて補間する方法。滑らかさを重視します。
- 三次補間法
- 3次多項式を用いる補間の別名です。
- キュービック補間法
- 三次補間法の別称として使われることがあります。滑らかさが特徴です。
- スプライン補間法
- 区間ごとに多項式をつなぎ、全体として滑らかな曲線になる補間法です。
内挿法の対義語・反対語
- 外挿法
- 内挿法がデータ範囲内で値を推定するのに対し、範囲外のデータ点を推定する方法。未来の値や未知の領域の値を予測する際に使われる。
- 外挿
- データ範囲外の点の値を推定すること。内挿の対義語として使われる名詞・動詞の形。
- 外挿推定
- 外挿を用いた推定・予測を指す表現。外挿法とほぼ同義で使われることが多い。
内挿法の共起語
- 線形内挿法
- 隣接データ点を結ぶ直線を用いて、区間内の値を直線的に推定する最も基本的な内挿法。
- ラグランジュ内挿法
- ラグランジュ多項式を用いて、与えられたデータ点を通る補間多項式を作成し、任意の x の値を推定する方法。
- ニュートン内挿法
- ニュートンの補間公式を用い、差分商を用いて補間多項式を逐次構築する方法。
- 多項式内挿法
- データ点を通る一つの高次多項式を求めて補間する、古典的な内挿法の総称。
- スプライン内挿法
- データ点の間を滑らかな曲線で結ぶ内挿法の総称。区間ごとに式を作り、端点条件で連続性を保つ。
- 三次スプライン内挿法
- 区間ごとに三次式を用い、連続性と滑らかさを保つ代表的なスプライン内挿法。
- 自然スプライン内挿
- 端点の2階微分を0にする自然条件を用いたスプライン補間。
- データ点
- 補間の基になる、離散的な観測値の集合。
- 差分商
- ニュートン内挿法で用いられる、データ点間の差分を用いた比を表す量。
- 補間法
- 離散データから連続的な値を推定する方法の総称。内挿もその一種。
- 等間隔データ内挿
- データ点が等間隔で配置されている場合の内挿手法。
- 外挿
- 補間の範囲外の値を推定する方法、内挿と対になる概念。
- 端点条件
- スプラインなどで端点での微分条件や境界条件をどう設定するかのルール。
- 補間多項式
- データ点を通す目的の多項式。内挿法でよく用いられる用語。
内挿法の関連用語
- 内挿法
- 離散データ点の間の値を推定する手法の総称。データ点の間の新しい点を滑らかに推定します。
- 線形補間
- 隣接する2点を結ぶ直線を用いて、2点間の任意の位置の値を推定します。計算が簡単で高速ですが、曲線の滑らかさは限定的です。
- 多項式補間
- データ点をすべて通る1つの多項式を作って、その多項式の値を求めます。次数が高くなると振動しやすい点に注意が必要です。
- ラグランジュ補間
- ラグランジュ基底多項式を用いて、全データ点を通る補間多項式を構築します。新しい点の追加は全体の多項式を再計算する必要があります。
- ニュートン補間
- ニュートンの差分商を使って補間多項式を構築します。点が追加されても既存部分を再利用しやすい利点があります。
- スプライン補間
- 区間ごとに多項式を求め、区間接続点で連続性と滑らかさを保つ補間法です。
- 3次スプライン
- 区間ごとに3次多項式を用い、段階的に連結して滑らかな曲線を作る代表的なスプラインです。
- 多変量補間
- 2次元・3次元など複数の変数を同時に補間します。格子状データや地図データで使われます。
- ノンパラメトリック補間
- 特定のパラメータ化モデルを前提せず、データの形に合わせて補間関数を決定します。
- パラメトリック補間
- 事前に関数形やパラメータを仮定して補間を行う方法です。
- 最小二乗補間
- データ点を完全には通さず、誤差の平方和を最小にする近似を求めます。補間と回帰の境界で使われることがあります。
- 外挿
- データ点の範囲外で値を推定する方法。補間は範囲内で行いますが、外挿は範囲外の推定になる点に注意が必要です。
- データ点
- 補間に使われる既知の座標と値のサンプル点。入力データそのもの。
- 有効域
- 補間を意味のある値として扱えるデータの範囲。域外の推定は不安定になりがちです。
- 自然スプライン
- 端点での二次導関数を0にする自然条件を課したスプラインの一種。端点の挙動を滑らかにします。
- B-スプラインとノット
- Bスプラインは基底関数の組み合わせで構成され、ノット列が補間の形状や自由度を決めます。
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