ラグランジュ法・とは？中学生にもわかるやさしい解説と実例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

ラグランジュ法・とは？

この言葉を初めて聞く人でも安心してください。ラグランジュ法は、制約付き最適化の考え方のひとつです。つまり、あるものを「どうやって最大化（または最小化）するか」を、条件がある中で考える方法です。

日常でも、制約を守りながら何かを良くしたい場面はたくさんあります。例えば、ある1メートル四方の板を使って、できるだけ広い面積を作るにはどうすれば良いか、というような問題を数学で扱うときに役立ちます。ラグランジュ法はその解き方の道具を提供してくれます。

仕組みの基本

目的関数 f(x,y,…) を 制約 g(x,y,…) = 0 の下で最適化する際、Lagrangian（ラグランジアン）と呼ばれる新しい関数を作ります。L = f(x,y,…) + λ g(x,y,…)。ここで λ はラグランジュ乗数と呼ばれる値です。λ の役割は、制約を「勘定に入れるための重み」だと考えると分かりやすいです。

次に、∂L/∂x = 0、∂L/∂y = 0、... という条件と、g(x,y)=0 を同時に満たす解を探します。これらの方程式をまとめて解くと、最適な x, y, λ が見つかります。

具体的な例

例として、最大化したい関数 f(x,y) = x + y、制約として g(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0（単位円）を考えます。

Lagrangian を作ると L = x + y + λ(1 - x^2 - y^2) となります。

次に ∂L/∂x = 1 - 2λx = 0、∂L/∂y = 1 - 2λy = 0、∂L/∂λ = 1 - x^2 - y^2 = 0 を解くと、連立方程式が現れます。解いていくと、x = y = 1/√2 が最大点、x = y = -1/√2 が最小点であることが分かります。最小値は f = -√2、最大値は f = √2 です。

このようにラグランジュ法は、制約があるときの最適解を見つけるための道具です。慣れると、難しそうな問題でも手順を追って解けるようになります。

手順をまとめた表

手順	やること	例
1	目的関数 f(x) を決める	x + y
2	制約 g(x) を決める	x^2 + y^2 = 1
3	L = f + λ g を作る	L = x + y + λ(1 - x^2 - y^2)
4	偏微分して連立方程式を解く	∂L/∂x=0, ∂L/∂y=0, ∂L/∂λ=0
5	解と制約を満たすか確認	解が x^2 + y^2 = 1 を満たすか確認

最後に、基本的な考え方をおさえておけば、他の例にも応用できます。初めは公式の形にとらわれず、式の意味をひとつずつ噛み砕いていくと良いでしょう。別の視点として、ラグランジュ法は「制約を満たす解の候補を探すときの効率的な道具」であり、実際の応用は物理、工学、経済学など多岐に渡ります。例えば、物理で荷重を受ける最適配置を考えるときや、工学の設計問題で形を決めるときにも使われます。

初心者が覚えるポイントは次の3つです。1) 目的と制約を分けて考える、2) ラグランジュ関数を作る、3) 偏微分の条件と制約を同時に解く。最初は手計算で練習し、慣れるとプログラムで自動的に解くことも可能です。

ラグランジュ法の同意語

ラグランジュ法: 制約条件を満たす解を求めるため、ラグランジュ乗数を導入して最適化問題を扱う代表的な手法。
ラグランジュの未定乗数法: 制約付き最適化を解く際の正式名称。目的関数と制約関数を組み合わせたラグランジュ関数を用い、勾配条件を解く方法。
ラグランジュ乗数法: 制約条件を取り扱う最適化手法で、未知の乗数（ラグランジュ乗数）を導入して解く方法。
未定乗数法: 制約付き最適化で未定乗数を導入して、制約の影響を組み込んで解く一般的な手法。
ラグランジュ未定乗数法: ラグランジュ法の別表記。制約付き最適化をラグランジュ乗数を用いて解く手法。

ラグランジュ法の対義語・反対語

制約なし最適化: ラグランジュ法が制約付き最適化の代表的手法であるのに対し、制約条件を課さずに最適化を行う手法。制約を前提としない問題設定のときに用いられます。
無拘束最適化: 制約条件が存在しない、あるいは制約を無視する前提で解く最適化問題。ラグランジュ法の反対概念として挙げられることが多いです。
代入法（制約の消去）: 制約を満たすように変数を別の変数の関数として置換し、制約を取り除いて無拘束形にして解く方法。ラグランジュ法の代替として使われることがあります。
ペナルティ法: 制約条件を目的関数にペナルティ項として加えることで、制約違反を抑えつつ解を探す別のアプローチ。ラグランジュ法の対になる手法として語られることがあります。
直接解法（制約を満たす形に変換して解く）: 制約を満たすように変数置換や代入を行い、制約を満たす形で問題を解く方法。ラグランジュ法の対比として挙げられることがあります。
ヒューリスティック法: 厳密な数学的解を追求せず、経験則や直感的な近道で解を得る方法。ラグランジュ法の厳密性とは異なるアプローチとして挙げられます。
デュアル法: ラグランジュ法と関連する対となる考え方で、元の問題のデュアル問題を解くことで最適解を得る方法。対義語というより補完的な見方として紹介されることが多いです。

ラグランジュ法の共起語

ラグランジュ乗数法: 等式制約を満たす最適化問題を解く手法。目的関数に制約を組み入れたラグランジュ関数を作成し、勾配が0になる点を探索します。
ラグランジュの未定乗数法: 等式制約を含む最適化問題を解く別名。ラグランジュ乗数を導入して制約を満たす解を探す方法。
ラグランジュ方程式: ラグランジアンを用いて運動方程式を導く基本方程式。
オイラー-ラグランジュ方程式: 変分法の核心式で、L(q, q̇, t) の変分から得られる運動方程式。
ラグランジアン: ラグランジュ法の核となる関数。位置・速度・時間に依存し、作用積分の被積分関数として使われます。
作用積分: ラグランジアンを時間で積分して得られる量。変分原理の対象。
最小作用の原理: 物理系の経路は作用積分を最小化（または定常化）するという原理。
変分法: 関数の小さな変化を使って関数の極値を求める数学的方法。
制約条件: 解を限定する条件全般。
等式制約: g_i(x) = 0 のように等号で表される制約。
不等式制約: h_j(x) ≤ 0 のように不等号で表される制約。
ラグランジュ乗数: 制約をラグランジュ関数に組み込む際に導入する補助変数。
双対問題: 元の最適化問題の別表現。デュアル性を活用して解法を得ることが多い。
双対関数: ラグランジュ関数から派生する、元の問題の上界を与える関数。
デュアリティ: 双対性（原問題と対となる問題）の関係性全般を指す概念。
KKT条件: 不等式制約を伴う最適化問題の必要十分条件。ラグランジュ乗数と勾配条件を同時に満たすことを要求。
自由度: 独立に変えられる変数の数。ラグランス法での変数設定にも関係。
制約勾配: 制約条件の勾配ベクトル。最適性条件の導出に使われます。
最適化: 目的関数を最小化または最大化する問題全般。
古典力学: ニュートン力学など、ラグランジュ法が運動方程式を導く枠組み。
運動方程式: 系の運動の法則を表す方程式。ラグランジュ方程式から導出されることが多い。
最適制御: 時間依存の最適化問題で、制御変数を用いて目的を達成する分野。ラグランジュ・デュアリティの考え方が関連します。
ハミルトニアン: 力学系の別表現で用いられる関数。ラグランジュ方程式とデュアル性の文脈で関連する概念。

ラグランジュ法の関連用語

ラグランジュ法: 制約条件を満たす解を見つけるため、目的関数 f(x) と制約を組み合わせてラグランジュ関数を作り、停留点を求める手法です。
ラグランジュ乗数法: ラグランジュ乗数（λ、場合によっては μ）を導入し、ラグランジュ関数の停留条件を解くことで最適解を得る手法です。
ラグランジュ関数: L(x, λ, μ) = f(x) + λ^T g(x) + μ^T h(x) の形を取り、制約を組み込んだ目的関数として機能します。
ラグランジュ乗数: 制約の重みづけを表す変数。等式制約には λ、不等式には μ（μ ≥ 0）を用います。
制約条件: 解が満たさなければならない条件。等式制約と不等式制約に分かれます。
等式制約: g_i(x) = 0 の形の制約。完全に等しい条件を課します。
不等式制約: h_j(x) ≤ 0 の形の制約。値がある範囲内に収めます。
原始問題: 制約付き最適化の元の問題。目的関数を最小化/最大化する問題です。
双対問題: 原始問題から導かれる対となる最適化問題。通常、原始の解と双対の解に関係があります。
双対関数: L(x, λ, μ) を x について inf をとって得られる関数 g(λ, μ)。
目的関数: 最適化の対象となる関数 f(x)。
決定変数: 最適解を決定する変数。通常 x で表されます。
停留条件: ∂L/∂x = 0 の条件。変数 x に関する最適性の一つの条件です。
原始可行性: 原始問題のすべての制約を満たしていること。
双対可行性: ラグランジュ乗数が満たすべき条件。例: μ ≥ 0（不等式制約がある場合）など。
補完性条件: λ_i h_i(x) = 0 のように、制約とラグランジュ乗数の乗積がゼロになる条件。
KKT条件: 最適解を特徴づける条件の集合。停留条件・原始可行性・双対可行性・補完性条件を満たします。
弱双対性: 双対問題の最適値は原始問題の最適値以下になる性質。
強双対性: 凸問題で Slater 条件が成り立つと、原始最適値と双対最適値が等しくなる性質。
Slater 条件: 不等式制約に対して strict feasibility（厳密に満たす点）が存在するとき、強双対性が成立する条件。
線形計画問題での応用: 線形制約付き最適化にラグランジュ法を適用するケース。
二次計画問題での応用: 二次目的関数の最適化にもラグランジュ法を使います。
変分法（ラグランジュの未定乗数法）: 連続関数の最適化を扱う変分法で、ラグランジュ乗数を導入して制約を組み込みます。
ヘッセ行列: ラグランジュ関数の x に関する二階微分（Hessian）を用いて2次条件を調べます。