torusとは？初心者でも分かるドーナツ型の形と性質を解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

torusとは？

このページでは「torus（トーラス）」が何なのかを、初心者にも分かるように丁寧に解説します。torusとは、ドーナツのような形をした曲面のことを指します。物理の道具や日用品にも見られるこの形は、数学だけでなくCG（コンピュータグラフィックス）やデザインにも登場します。

torusの基本イメージ

torusの特徴は「中心に穴があり、曲面が連続していること」です。平面の円を思い浮かべ、その円を回転軸の周りに回すと、ドーナツ型の曲面ができます。回転を思い浮かべると、なぜ穴が空くのか、どうして表面が滑らかにつながっているのかが見えてきます。

どう作られるのか（生成法）

torusを作る基本的な考え方は、半径が小さい円を大きい円の周りに「くるくる回す」ことです。具体的には、中心にある大きな円の軸を回すと、その周りに小さな円が回転してtorusの形が現れます。ここで

Rを大きな円の半径（軸から小円の中心までの距離）、rを小さな円の半径とすると、R > r が成り立ちます。

torusの性質と公式

torusの大事な性質には「体積」と「表面積」があります。これらは生成の仕組みから導かれる公式で計算できます。次の表は基本的な用語と公式をまとめたものです。

用語	説明・公式
主半径（R）	軸から小円の中心までの距離。大きな円の半径に相当します。
副半径（r）	回転させる小さな円の半径。
体積	V = 2π^2 R r^2
表面積	S = 4π^2 R r
例	ドーナツの表面、タイヤの内側の穴の形など

torusの理解を深めるコツは、図を描くことです。円の中心と回転軸を意識して、2つの半径がどう影響するかを考えると、形のイメージがつかみやすくなります。

日常生活と応用のヒント

私たちの周りにはtorusの形が隠れている場面が多いです。キャンディーのようなお菓子、ドーナツ、ベルトの留め金の輪、車のタイヤの中空部分など、ささやかながら身近に見ることができます。3Dデザインやゲーム、CGでもtorusは重要な基本形のひとつとして学ばれます。

まとめ

torusは「円を軸の周りに回すとできるドーナツ型の曲面」です。主半径と副半径の二つの半径を使って形を決め、体積・表面積の公式で大きさを計算します。理解のコツは、生成のしくみと表面の滑らかなつながりをイメージすることです。

torusの関連サジェスト解説

n-torus とは: n-torus とは、n個の円を直積した幾何学的な形のことを指します。円は S^1 と呼ばれる最小の環状空間で、n個の S^1 を合わせて作ると n-torus ができるのです。身近な例でいうと、1-torus は円、2-torus はドーナツの表面、3-torus は三次元空間に現れる形の一種ですが、3次元だけでは完全には見えません。ポイントは、n-torus は高次元の空間の中で作る抽象的な形だという点です。私たちがよく見る現実の世界は3次元ですが、数学では θ1, θ2, ..., θn という n 個の角度を同時にとることで点を表します。具体的には、各 θi を用意して cos θi と sin θi の組を取ると、2n個の実数からなる座標系で表すことができます。この形は閉じていて境界がありません。つまり端っこがなく、つながっている滑らかな表面をしているのです。n-torus の“穴”の数は、直感的には独立した循環の数として数えられ、1-torus には1つ、2-torus には2つの独立した循環があると考えます。これがトポロジー的な特徴で、形の連結の仕方を理解する手がかりになります。実際の応用としては、理論物理の次元の扱い、データの位相的特徴を捉える手法などがあります。日常の生活には直接現れにくいですが、数学の美しさや、複雑な空間の性質を直感的に扱う入り口として大切な概念です。

torusの同意語

トーラス: 円環状の3次元曲面で、内半径と外半径をもつドーナツ型の幾何学的形状。英語の torus に対応します。
トーラス曲面: トーラスという曲面を指す表現。数学的には同じ torus の曲面を意味します。
ドーナツ面: ドーナツの形をした面。初学者にも直感的に理解しやすい呼び方です。
ドーナツ型曲面: ドーナツの形をした曲面を表す言い換え。より具体的な形状の説明に使われます。
環面: 環の形状をした面を指す語。文脈により torus を示す場合があります。
円環面: 円環の形をもつ面。torus の日本語表現のひとつとして用いられることがあります。
円環曲面: 円環状の曲面。トーラスの別称として使われる表現です。
環状面: 環状の形をした面。3次元幾何の説明で用いられることがあります。
環状体: 円環のような形をした体。実際には固体トーラス（ドーナツ型の固体）を指す語として使われることがあります。
ドーナツ型幾何体: 幾何学的にドーナツ型の物体を指す表現。実体としてのトーラスを意味します。

torusの対義語・反対語

球面: 中心から等距離の点でできる滑らかな曲面。穴がない球状の表面で、ドーナツ状の穴を持つ torus とは対照的です。
平面: 2次元の無限に広がる平坦な面。曲がりがなく、穴や境界のない単純な面で、トーラスのような穴のある形状とは別物です。
球体: 内部を持つ立体。torus は2次元の表面のみですが、球体は内部を含む3次元の実体です。
円筒面: 円柱の側面を構成する曲面。端部に境界があり、円環状の穴を持つ torus とは性質が異なります。
円錐面: 円錐の曲面。穴がなく尖った形で、トーラスの穴の特徴と対照的です。
円盤: 円の内部を満たす平面状の領域。穴のない充填された2次元領域で、torus の中空性とは異なります。
ポリゴンの表面: 多角形の面で構成された表面。滑らかな曲面の torus とは異なる、角ばった表現です。
無孔の閉曲面: 境界がなく穴もない、完全に閉じた曲面。トーラスのような穴のある形の対極として挙げられます。

torusの共起語

円環面: トーラスの別名とも呼ばれる、内側と外側に穴が開いた円環状の曲面。ドーナツの形状をイメージすると分かりやすい。
トーラス曲面: トーラスの表面を指す用語。ドーナツ型の曲面で、平面ではなく3次元空間に広がる二次元の曲面です。
ドーナツ型: 外観がドーナツに似た形状のこと。日常語としてトーラスを比喩的に表現する際に使われます。
回転体: 平面図形を軸の周りに回転させて得られる立体。トーラスは円を軸の周りに回転させて作られる代表的な回転体です。
回転: 円や図形を軸の周りに動かして形を作ること。トーラスは回転運動の産物として説明されることが多いです。
円環: 円の環のような連続した環状形。トーラスを表すときの幾何的イメージとして使われます。
トポロジー: 連続変形で形状がどう変化するかを扱う数学の分野。トーラスはトポロジーの基本対象のひとつです。
曲面: 三次元空間内に広がる二次元の表面のこと。トーラスは典型的な曲面の例です。
多様体: 局所的には平面と同じ性質を持つ空間。トーラスは2次元多様体の代表的な例です。
種（genus）: 表面の穴の数を表す整数指標。トーラスの genus は 1 です。
同相（ホメオモルフィー）: 連続的に変形して互いに同一とみなせる関係。トーラス同士の同相性は高次の幾何・位相の理解に重要です。
ホモロジー: 代数的トポロジーの基本概念で、空間の形状を代数的な不変量で分類する考え方。トーラスのホモロジーはよく語られます。
ベクトル場: 空間の各点にベクトルを割り当てる場。トーラス上のベクトル場は流れやダイナミクスの研究対象として用いられます。
リーマン面: 複素解析の曲面の一種。トーラスは genus 1 の典型的なコンパクトリーマン面として有名です。
結び目理論: 結び目を研究する数学の分野。トーラス上で描かれる結び目（トーラス結び目）は重要な対象です。
トーラス結び目: トーラス上に描かれる結び目。結び目理論の代表的な例として扱われます。
トーラスネットワーク: 並列計算やデータ通信などで用いられる、トーラス型のネットワークトポロジー。ノードとリンクによって格子状に配置されます。
口蓋隆起: 口蓋（上あごの天井）にできる骨の隆起。torus palatinus の日本語名として歯科領域で使われます。
下顎隆起: 下顎にできる骨の隆起。torus mandibularis の日本語名として歯科領域で使われます。
回転対称性: 軸回りの回転操作をしても形が変わらない対称性のこと。トーラスは中心軸を軸に回しても形状が保たれる特性を持ちます。

torusの関連用語

トーラス（torus）: ドーナツ状の3次元幾何形状。中心に穴があり、外周と内周がつながる表面。数学的には S^1 × S^1 で表される2次元の滑らかな多様体。
ドーナツ曲面: トーラスの別称。穴をもつ閉じた2次元曲面。
2次元トーラス（表面）: トーラスの表面。位相空間として S^1 × S^1。曲面の次元は2。
ソリッドトーラス: 内部まで実体を持つ3次元のトーラス（中身が空洞でない固体）。
3次元トーラス / トーラス体: ソリッドトーラスの別名。
n次元トーラス: n個の円の直積。T^n = (S^1)^n。
基本群（π1）: トーラスの基本群は π1(T^2) ≅ Z × Z。円周りの2本の独立したループを生成元とする。
ホモロジー（H1/H2）: H1(T^2) ≅ Z^2、H2(T^2) ≅ Z。連結性や表面の2次のホモロジーを表す。
オイラー標数: χ(T^2) = 0。種数は1。
CW複体: トーラスは1つの0元、2本の1-cell、1つの2-cellから組み立てられるCW複体として表現される。
パラメータ方程式: x = (R + r cos v) cos u, y = (R + r cos v) sin u, z = r sin v（0 ≤ u, v < 2π、R > r > 0）
トーラス結び目: 結び目理論に現れるトーラス形状の結び目。p/q トーラス結び目として分類される。
トーラス磁場: トーラス状の磁場配置。磁場線がトーラス状に巻かれる構造を指す。核融合デバイスなどで用いられる。
トカマク（tokamak）: トーラス型の核融合装置。磁場によってプラズマをトーラス形状に閉じ込める。
トーラスコイル / トロイダルトランスフォーマー: トーラス形状のコイルを用いる磁気部品。漏れ磁束の抑制や効率向上を狙う。
トロイダル座標 / トーラス座標: 円環対称性を持つ問題を解くときに用いる座標系。磁場・流体などの計算に使われる。
建築のトーラスモールディング: 断面がトーラス状のモールディング（建築装飾部材の一種）。
歯科のトーラス（解剖学用語）: トーラス palatinus（上顎口蓋部の隆起）・トーラス mandibularis（下顎内面の隆起）など、口腔解剖の用語として使われる。
トーラスの幾何・トポロジー指標: 曲率・面積・体積・トポロジー的不変量（基本群・ホモロジー・オイラー標数など）を研究する指標群。