多重集合・とは？初心者にもわかる基礎解説と使い方共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

多重集合とは？

この記事では「多重集合」について、はじめての人にも分かるように丁寧に解説します。多重集合は数学や情報処理でよく使われる考え方のひとつです。

1. 多重集合と集合の違い

まず理解しておきたいのは、集合と多重集合の違いです。集合は同じ要素を1個として数えるのに対し、多重集合は同じ要素を複数個持つことができ、それぞれの出現回数を数えます。

例えば、りんごが2個、バナナが1個、ぶどうが3個あるとします。これを集合として表すと同じ名前のものを1つだけ扱いますが、多重集合として表すと各要素の出現回数をそのまま書きます。

このような表現の例は次のとおりです。りんご ×2、バナナ ×1、ぶどう ×3という形で要素とその出現回数をセットにします。この点が多重集合の基本です。

2. 基本的な表現とカードinality

多重集合では要素と出現回数を合わせて考えます。全体の個数を「大きさ（カードinality）」と呼ぶことがあります。ここでは単純に「全要素の出現回数を足した総数」を大きさとします。先ほどの例では 2 + 1 + 3 = 6 となります。

3. 演算の考え方

多重集合にはいくつかの基本的な演算があります。和の演算は各要素の出現回数を足す、積の演算は共通する要素の出現回数の最小値をとる、差の演算は出現回数の範囲を調整して0以上になるようにする、といった関係です。

具体的には、二つの多重集合 A と B があるとき、和は要素ごとに出現回数を足した新しい多重集合、積は共通する要素の出現回数の最小値を取ったもの、差は A の出現回数から B の出現回数を引いた値が正の範囲になるように調整します。

4. 実例を表で見る

以下の表は多重集合の例を分かりやすく示しています。表には要素とその出現回数を並べています。

要素	出現回数
りんご	2
バナナ	1
ぶどう	3

この表を見れば、同じ要素が何回現れるかが一目で分かります。出現回数が要点です。

5. 日常やプログラミングでの活用

日常の場面では買い物リストの個数管理やカードの重複枚数など、物の数を管理する場面で役立ちます。同じものを何個持っているかを数える考え方は、整理整頓やデータ集計にもつながります。

プログラミングでは Counter などのデータ構造 を使って多重集合を扱います。これにより要素の出現回数をすばやく取得したり、重複を数える処理を簡単に実装できます。

6. まとめとコツ

要点をまとめると、多重集合とは「同じ要素を複数回数える集合の考え方」です。出現回数がポイントで、集合との違いは要素の出現回数が記録される点、和・積・差といった演算が基本となる点です。これを理解するとデータの重複を正しく扱えるようになり、数学の問題解決やプログラムの設計に役立ちます。

よくある誤解とコツ

よくある誤解のひとつは、多重集合を単なるリストと混同することです。多重集合は順序を重視せず、要素の出現回数だけが重要です。そのため、同じ要素が何回現れるかを整理する際には「出現回数」をメモすることがコツです。

実務で扱うデータも同様に、順序は問わず出現回数を集計してから並べ替えたりフィルタしたりするのが基本的な流れです。これを意識しておくと、データの重複を正しく理解しやすくなります。

多重集合の同意語

重集合: 同じ要素が複数回現れてよい集合のこと。要素ごとに現れる回数を数えられ、普通の集合では扱えない重複を表現できる。
マルチセット: 英語の multiset の和訳に近い表現。要素の重複を許す集合で、各要素の出現回数を数えることができる概念。
マルチ集合: “マルチセット”の別表記。要素の重複を許す集合という意味。
多重集合: 同じ要素が複数回現れる集合という意味の別表現。要素の出現回数を記録して扱う集合の概念。

多重集合の対義語・反対語

単集合: 重複を許さない集合。各要素は1回だけ現れる集合のこと。多重集合の対義語としてよく挙げられる概念です。
集合: 要素の集まりという基礎概念。通常は要素の重複を数えません。多重集合の対義概念として理解されることがあります。
重複なし集合: 同じ要素が複数回現れない集合のこと。多重集合の“重複あり”という性質に対する対比として使われます。
非多重集合: 多重集合ではない集合という意味で使われる表現。日常的には『集合』と同義で用いられることがあります。
非重複集合: 重複を許さない性質を強調した表現。多重集合の対義語として分かりやすい言い換えです。

多重集合の共起語

要素: 多重集合の構成要素となる個々の元。1つの元が複数回現れることもある点が特徴です。
元: 要素の別名。集合論で使われる基本的な構成対象で、同じ元を複数回数えられるのが多重集合の特徴です。
重複: 同じ要素が複数回現れる状態。多重集合ではこの重複をそのまま数として扱います。
重複を許す: 多重集合が“重複を許す集合”であることを表す表現。要素の出現回数を許容して管理します。
度数: 各要素が多重集合に現れる回数のこと。組み合わせの計算などで用いられる正式な用語です。
出現回数: ある元が多重集合に現れる個数。度数と意味は近いが、日常的な表現として使われることが多いです。
個数: 特定の要素が多重集合に何個あるかを表す数。実装時にも頻繁に使われます。
辞書式表現: 要素とその出現回数をキーと値として表す表示方法。実装やデータ交換で便利です。
辞書式: 辞書式表現の略称。要素-出現回数の対応を直感的に表します。
生成関数: 多重集合の組み合わせを数え上げる際に用いられる関数。数学的な分析でよく使われます。
組み合わせ: 同じ要素を複数回選ぶ“重複を許す組み合わせ”の考え方と深く関係します。
実装: プログラムで多重集合を扱うための具体的な作り方やコードのこと。
データ構造: 多重集合を効率的に扱うための構造。ハッシュテーブルや配列＋辞書などが代表例です。
集合: 要素の集まりという基本概念。多重集合はこの集合の要素が重複して現れる拡張です。
空集合: 要素を一つも含まない多重集合。出現回数は全て0と考えられます。
カウント: 各要素の出現回数を数える操作やデータ。実装や計算で頻繁に使われます。
確率: 確率論の文脈で、標本空間の要素が重複して現れる状況をモデル化する際に出てくる概念です。

多重集合の関連用語

多重集合: 要素が重複して現れる集合。各元には出現回数（重数）と呼ばれる非負整数が割り当てられ、同じ元が複数回現れ得ます。例: {a, a, b} は a が 2 回、b が 1 回出現。
集合: 要素の集まりで、通常は重複を認めません。多重集合はこの概念を拡張したものです。
要素: 多重集合や集合を構成する基本の要素（元）。
重数: 特定の要素が多重集合に現れる回数。m(x) のように表され、0 以上の整数です。
出現回数: 特定の要素が多重集合内に現れる回数の別名。重数と同義として使われます。
重度: 重数の別名。文献や文脈により使用されます。
基数: 多重集合の全要素の総和。すべての元の重数を足した値です。
部分多重集合: ある多重集合 A が別の多重集合 B に対して、すべての元 x について m_A(x) ≤ m_B(x) となるとき A は B の部分多重集合と呼ばれます。
包含関係: 片方の多重集合がもう片方を含む関係。部分多重集合という表現の一般的な言い方です。
和集合（多重集合の和）: 二つの多重集合の和。元の重数を加算して新しい多重集合を作ります（m_C(x) = m_A(x) + m_B(x)）。
積集合（多重集合の積）: 二つの多重集合の積。各元の重数は min(m_A(x), m_B(x)) となります。
差集合（多重集合の差）: A から B を取り除く操作。m_C(x) = max(m_A(x) − m_B(x), 0) によって新しい重数を決定します。
対称差（多重集合の対称差）: 各元の出現回数の絶対値の差。m_C(x) = |m_A(x) − m_B(x)| によって定義されることがあります。
重複組み合わせ: 重複を許して n 種類から r 個を選ぶ組み合わせの考え方。多重集合の視点と深く結びつきます。
袋 / バッグ（Bag）: データ構造としての多重集合を指す言葉。要素をキー、出現回数を値として扱います。
Counter（カウンタ） / 出現回数のデータ構造: プログラミングで多重集合を扱う実装。要素の出現回数を数える辞書のようなデータ構造です。
生成関数 / 母関数: 多重集合の組み合わせの性質を数式で扱う道具。要素の出現回数を変数のべきとして扱います。
可換モノイド / モノイド: 多重集合の和は可換結合的な演算を持ち、重数を加える演算は可換モノイドを作ります。
実世界の応用例: 確率分布・組み合わせ計算・在庫管理など、同じアイテムを複数回扱う場面で使われます。