誤差共分散列・とは？初心者のための分かりやすい解説と実例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

誤差共分散行列とは何か

誤差共分散行列とは測定や推定の際に生まれる誤差がどのように広がり互いにどう影響しあうかを表す矩陣です。

ここでの誤差とは観測値や推定値が本来の値からずれてしまうことを指します。

共分散は二つの誤差が同時にどう動くかを示す指標であり、正の値なら同じ方向にずれやすく、負の値なら反対方向にずれやすいことを意味します。

誤差共分散行列は対称であり、正定値半正定値であることが特徴です。

具体的には n 個の変量の誤差をまとめた n×n の行列 C を考えます。対角成分は各変量の分散 Var(ei) を表し、非対角成分は Cov(ei, ej) を表します。すなわち対角は誤差の広がりの強さを示し、非対角は二つの誤差がどれだけ同じ方向へ動くかを示します。

例えば二つの量 x と y を同時に推定する場合の誤差共分散行列は次のように表されます。

要素	説明
Var(e x)	x の推定誤差の分散
Var(e y)	y の推定誤差の分散
Cov(e x, e y)	x と y の推定誤差の共分散

この行列が小さいほど推定の精度は高く、対称であることと正定値性は演算の安定性に重要な理由になります。

実務での活用例としては Kalman フィルタやセンサフュージョンがあります。これらの場面では誤差共分散行列を使って現在の推定値の信頼度を数値で表し、次の推定を改善します。

数値を直感的に理解するヒントとしては二つの誤差の関係を図形的にとらえることです。誤差の広がりが小さく二つの誤差が同じ方向に動く場合は推定の信頼度が高くなります。逆に広がりが大きく二つの誤差が反対方向に動くときは信頼度は低くなります。

要点をまとめると 誤差共分散行列は誤差の広がりと相互の関係を一つの表で表す道具であり、統計や機械学習の多くの手法に欠かせない概念です。

誤差共分散行列の同意語

誤差共分散行列: 誤差の共分散を表す行列。推定値と真値の差の分散やそれらの間の相関をまとめたもので、状態推定の不確実性を示す指標として用いられます。
推定誤差共分散行列: 推定誤差 e = 推定値 - 真値の共分散を表す行列。Kalmanフィルタなどで次の推定の不確実性を評価・更新する際に使われる代表的な指標です。
エラーベクトルの共分散行列: エラーベクトル e = x̂ − x の共分散を表す行列。各成分の誤差の分散と相関を一つの行列にまとめたものです。
状態推定誤差共分散行列: 状態の推定値と真の状態との差の共分散を表す行列。推定の精度や信頼区間の算出に用いられます。
観測誤差共分散行列: 観測ノイズ（測定値の誤差）の共分散を表す行列。測定データの信頼性を評価する際の基本情報です。
ノイズ共分散行列: 測定ノイズやモデルノイズなど、誤差成分の共分散を表す一般的な呼び方。文脈によって指すノイズの集合を示します。
計測誤差共分散行列: 計測値の誤差の共分散を表す行列。観測データの信頼性や重みづけの根拠として使われます。
エラー共分散行列: エラーの共分散を表す行列の別称。文脈に応じて誤差共分散行列と同義に用いられることがあります。

誤差共分散行列の対義語・反対語

真の共分散行列: 誤差共分散行列の反対概念として、観測ノイズを除いた“真の”データ間の共分散を表す行列です。
母集団共分散行列: 母集団全体のデータの共分散を表す行列で、サンプルから推定される誤差共分散とは別の概念です。
データの共分散行列: 観測データ自体の共分散を表す行列で、誤差成分を含まないデータ構造を示します。
零共分散行列: 全ての変数間の共分散が0で、ノイズや依存性がない理想的なケースを示す行列です。
実データの相関行列: データ間の関係性を示す相関行列で、共分散行列とは別の尺度。誤差共分散の対概念として理解できます。

誤差共分散行列の共起語

共分散行列: 複数の確率変数の共分散をまとめて格納する行列。対角要素が分散、非対角要素が共分散を表し、対称で半正定値性を持つことが多い。
誤差: 推定値と真の値との差。推定の正確さを判断する指標となる。
分散: 単一の変数のばらつきの度合い。共分散行列の対角要素として現れる。
標準偏差: 分散の平方根。データのばらつきを直感的に表す指標。
対称行列: 転置しても元の行列になる性質。共分散行列は一般に対称であることが多い。
半正定値: 任意のベクトルxに対して x^T P x >= 0 となる性質。共分散行列は通常半正定値である。
正定値: 任意の非ゼロベクトルxに対して x^T P x > 0。非特異な共分散行列の性質として重要。
ノイズ共分散行列: ノイズのばらつきを表す共分散行列。測定ノイズRやプロセスノイズQが例として挙げられる。
プロセスノイズ共分散: 状態遷移のノイズの共分散を表す行列。状態方程式の不確実性を定量化する。
測定ノイズ共分散: 観測ノイズの共分散を表す行列。観測の信頼性を定量化する。
カルマンフィルタ: 時系列データの最適な逐次推定アルゴリズム。予測誤差共分散Pと更新後のPを用いて推定値を更新する。
状態空間モデル: 状態ベクトルと観測ベクトルを結ぶ線形あるいは非線形のモデル。誤差共分散は不確実性を扱う核となる。
観測方程式: 状態と観測の関係を記述する式。観測ノイズが含まれる場合はそのノイズ共分散も関与する。
状態方程式: 状態の遷移を記述する式。プロセスノイズが関与する場合はその影響を表す共分散が現れる。
予測共分散: 次の時点での誤差共分散の予測値。カルマン予測で用いられる。
更新共分散: 新しい観測を取り入れた後の誤差共分散。カルマン更新で新しいPとなる。
交差共分散: 異なる変数や成分間の共分散。ベクトル間の相関関係を表す。
固有値: 行列の特性値のひとつ。共分散行列の固有値はデータの主成分方向のばらつきを示す。
固有ベクトル: 固有値に対応する方向。データの主成分方向を示す。
固有分解: 行列を固有値と固有ベクトルで分解する手法。共分散行列のデータ構造を理解するのに有用。
線形代数: 行列・ベクトル・行列式などを扱う数学分野。共分散行列は線形代数の基本対象。
ガウス分布: 正規分布。多くの誤差モデルで仮定されることが多く、共分散と結びつく。
相関: 二つの変数間の結びつきの強さと方向性。共分散は相関の尺度の一部。
自己相関: 同じ変数の異なる時点間の相関。時系列分析で重要。
交差相関: 異なる変数間の相関。多変量データの関係を表す。
初期共分散行列: 推定開始時点での不確実性を表す共分散行列。初期値が推定の安定性に影響する。
推定誤差共分散: 推定量の誤差の共分散。推定の信頼度の指標となる。
ノイズモデル: ノイズの統計的性質を表現するモデル。共分散構造を決定付ける。
白色ノイズ: 時系列で独立・同分布する理想化されたノイズ。誤差モデルの基本的な仮定の一つ。

誤差共分散行列の関連用語

誤差共分散行列: 推定誤差の共分散を表す行列。状態推定における不確実性を数値化し、各変数の推定誤差の分散と相関を示す。
共分散行列: 多変量データの分散と共分散をまとめて表す対称行列。通常は半正定値かつ対称。
正定値行列: 全ての非零ベクトルに対して x^T P x > 0 となる行列。数値計算で安定性の指標にもなる。
半正定値行列: すべてのベクトル x に対して x^T P x ≥ 0 となる対称行列。共分散行列は一般に半正定値。
状態空間モデル: システムの状態と観測を線形の式で表す枠組み。例として x_k = F x_{k-1} + w_k, y_k = H x_k + v_k。
状態遷移行列: F。状態の遷移を表す行列。
観測行列: H。状態から観測へ写像する行列。
プロセスノイズ共分散行列: Q。状態遷移に伴う不確かさの分散を表す共分散行列。
観測ノイズ共分散行列: R。観測ノイズの不確かさを表す共分散行列。
初期誤差共分散: P0。初期状態推定の不確実性を表す最初の共分散行列。
事前誤差共分散: 予測段階の推定誤差共分散。P_k|k-1 の形で表されることが多い。
事後誤差共分散: 更新後の推定誤差共分散。P_k|k の形で表される。
予測誤差共分散: 次の時刻での予測誤差の共分散。P_{k+1|k} などと表記する。
カルマンゲイン: カルマンフィルターで推定を更新する際の最適な重み係数。K = P_{k|k-1} H^T (H P_{k|k-1} H^T + R)^{-1} の形で計算される。
カルマンフィルター: 線形の状態空間モデルに対する最適な逐次推定アルゴリズム。P と K を用いて推定と更新を行う。
拡張カルマンフィルター: EKF。非線形状態方程式を線形化して適用する推定手法。
無偏推定と最尤推定: 誤差共分散の意味と合わせて、推定値の性質を説明する用語。
多変量正規分布: 誤差やノイズが多変量正規分布に従うと仮定すると共分散行列が分布の特徴を決める。
Mahalanobis距離: データ点と分布の距離を共分散を用いて測る指標。
Cholesky分解: 正定値対称行列 P の下三角行列 L を用いて P = L L^T の形に分解。数値安定性が高まる。
逆行列と情報行列: P が正定値なら P の逆行列が存在し、情報量の指標として使われることがある。
トレースと行列式: P の全体的不確実性を表す指標。trace は総分散、行列式は体積的な不確かさを示す。
クロス共分散: 異なる変数間の共分散。誤差の相関を表す指標として現れることがある。
線形と非線形の違い: 線形状態空間モデルと非線形モデルでは共分散の取り扱い方が変わる（EKF, UKF など）。
推定の収束性: 時間とともに誤差共分散が小さくなる性質。安定性の評価指標になる。
オンライン推定と逐次更新: データが到着するたびに P を更新する手法。リアルタイム性の要件に適する。
ノイズ仮定とガウス性: カルマンフィルターの前提としてノイズがガウス分布に近いことが望ましい。
情報フィルタと情報ベース推定: 共分散の逆行列（情報行列）を直接扱う別手法。
ベイズ推定と共分散: 事後分布の不確実性を共分散で表現するベイズ的考え方。
誤差共分散行列の計算上の注意: 数値安定性の確保、正定性の維持、適切な初期化など。