間接証明・とは？初心者にも分かるやさしい解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

間接証明・とは？

間接証明とは、ある命題が真であることを直接的に示す代わりに、仮定が成り立たないときに矛盾が生じることを示して、結論を導く証明のことです。英語では proof by contradiction または indirect proof と呼ばれます。

つまり、ある命題 P を証明したいとき、まず「Pが成り立たない」という仮定 ¬P を立てます。その仮定から出発して、論理的に不合理な結論を導くことができれば、 ¬P は成立し得ず、結局 P が真であるとわかります。これが間接証明の基本的な考え方です。

直接証明と間接証明の違い

直接証明は、前提から順に論理的な推論を積み重ねて最終的に結論に到達します。一方、間接証明は「ないこと」を前提にして矛盾を作り出すことで結論を立証します。

間接証明の代表的な手法

最も一般的なのは 背理法（矛盾を用いる証明）です。仮定 ¬P から出発し、矛盾が生じることを示します。矛盾が生じれば、 ¬P は成立し得ず、したがって P が真であることが分かります。

もう一つの考え方として 対偶を使う方法があります。命題 P → Q が成り立つとき、対偶 ¬Q → ¬P も真であることを利用して証明するやり方です。直接的には P → Q を立てるのが難しいときに有効です。

例題：√2は有理数か？

よくある例題として「√2 は有理数か？」を挙げます。ここでは 背理法を使います。

まず、仮定として <span>√2 を有理数として表します。すなわち √2 = p/q とします。ここで p, q は整数で、約分されていない（公約数が 1）とします。

両辺を2乗すると 2q^2 = p^2 となります。これから p^2 が偶数であることが分かるので、p も偶数である必要があります。したがって p = 2k と書けます。代入すると 2q^2 = 4k^2、さらに q^2 = 2k^2 となり、q も偶数であることがわかります。そうすると p と q はともに偶数になってしまい、仮定の「公約数が 1」という条件に矛盾します。

この矛盾から、最初の仮定 √2 を有理数として表せることは成り立たないことが分かります。したがって √2 は有理数ではない（無理数である）と結論づけられます。

練習と注意点

間接証明はときに複雑で、仮定の組み合わせや矛盾の見つけ方が難しいことがあります。練習として、いくつかの命題を背理法で証明してみると良いでしょう。

要点を整理した表

<th>手法

説明
背理法	¬P から出発し、矛盾を得て P を導く。
対偶を使う方法	P → Q のとき対偶 ¬Q → ¬P を用いて証明する。

まとめ

間接証明は「仮定が成り立たないときに矛盾が起きる」ことを示して、結論を導く方法です。矛盾を見つけ出す力と、論理の基本ルールをきちんと理解することが大切です。

生活の中での直感的な例

日常の考え方にも間接証明の考え方を使える場面はあります。例えば「もし今日雨が降らなかったとしても、傘を持っていなかったら濡れるはずだ」というように、ある前提が崩れないと結論に至らない、という論理の組み立て方を練習することができます。

よくある質問

Q: 直説法と背理法、どちらが難しい？ A: 命題次第です。直説法は直接的に証明する場合に、背理法は矛盾を作り出す発想が必要です。いずれも論理の基本を理解して練習することで、自然に使えるようになります。

要点のまとめ表

ポイント	要点
定義	直接証明の代わりに ¬P から矛盾を導く方法
代表手法	背理法、対偶の利用

生活の中での補足

間接証明は数学以外の場面でも活用できます。論理的な思考を養う練習として、日常の小さな疑問に対して「なぜそうなるのか」を背理法的な発想で考える癖をつけるとよいでしょう。

間接証明の同意語

背理法: 仮定を置いて矛盾が生じることを示し、元の命題が真であると結論づける間接的証明法。
帰謬法: 背理法の別名。仮定から出発して矛盾を導くことで命題の真偽を確定させる手法。
矛盾法: 仮定を進めて矛盾が生じることを示すことで、命題を証明する方法。
対偶法: P→Q の証明を、対偶 ¬Q→¬P を証明することで行う間接的証明法。
反証法: 命題の否定を前提として矛盾を引き出し、元命題の真偽を確かめる方法（間接証明の一種として用いられることがある）。
間接証明: 直接的な証明を避け、別の論理関係を用いて真偽を示す証明の総称。

間接証明の対義語・反対語

直接証明: 間接証明の対義語として最も基本的な証明方法。前提（定義・公理）から、矛盾を使わずに結論を直接導く方法です。例として、ある命題を定義や公理から順に積み重ねて結論を導く形をとります。
演繹的証明: 公理・定理・定義を前提として、論理的な推論の連鎖で結論を導く方法。間接性はなく、出発点から筋道を追って結論を示します。
帰納法による証明: 基底ケースを示し、次に“もし n について成り立つなら n+1 も成り立つ”という帰納ステップで、すべての自然数に対して命題が成立することを示す方法。段階的に結論を積み上げる点が特徴です。
実証的証明: 実験・観察・データに基づいて結論を支持する証明の仕方。自然科学などで多く使われ、厳密な論理証明とは異なる補強的な役割を果たすことがあります。
観察的証明: 現象の観察とデータの整理に基づく証明のアプローチ。統計的検証や経験的な規則性を用いて成立を支持します。