積分変数とは？初心者でも分かる基本の解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

積分変数とは何かを押さえる

積分変数は、積分をするときに使う「変数」のことです。一般には f(x) のように被積分変数として x を用いて積分します。積分変数という言葉を使うときは、計算の過程でどの変数について積分を行うのかを示す意味合いが強くなります。

不定積分や定積分を考えるとき、記号「dx」や「dt」などの微分記号が現れますが、これらは「積分の変数を表すマーカー」の役割を果たします。つまり ∫ f(x) dx のとき、x が積分変数です。定積分では ∫_a^b f(x) dx のように下限値と上限値をつけることもあり、同じく x が積分変数として扱われます。

積分の基本

積分には大きく分けて不定積分（原始関数を求める積分）と定積分（区間の合計を求める積分）があります。どちらの場合も「dx」などの記号は、積分変数を示す目印です。積分変数を別の変数に置き換えるときには、置換積分という考え方を使います。このとき新しい変数を導入し、元の変数との関係を使って積分を変換します。

置換積分のアイデアはとてもシンプルです。たとえば u = g(x) とおくと du = g'(x) dx となり、∫ f(g(x)) g'(x) dx は ∫ f(u) du に書き換えられます。こうして計算が楽になることが多いです。

代表的な例と考え方

例1 不定積分の基本例: ∫ x^2 dx = x^3/3 + C。ここでは x が積分変数です。
例2 定積分の例: ∫_0^1 2x dx = [x^2]_0^1 = 1。区間 [0,1] の間で x が積分変数として働きます。

置換積分のもう少し詳しい例として、∫ x e^{x^2} dx を考えます。u = x^2 をおくと du = 2x dx となり、 ∫ x e^{x^2} dx = (1/2) ∫ e^u du = (1/2) e^u + C = (1/2) e^{x^2} + C となります。ここで新しい変数 u が登場しており、元の x が積分変数であり続けながら置換後は新しい変数 u が積分変数になる、という流れをつかむことが大切です。

被積分変数と積分変数の関係

数学の教科書によって用語の細かな違いがありますが、日常の計算では私たちは「被積分変数」としての変数（積分する対象の元となる変数）と「積分を行う際に現れる変数の表示」（dx などの微分要素）を区別します。置換を使うときには、新しく導入した変数が積分変数として現れます。このとき混乱を防ぐコツは、どの段階でどの変数を使って積分しているのかを線引きしておくことです。

重要ポイントをまとめると次の通りです。
• 積分変数は積分の「対象となる変数」です。
• 不定積分・定積分ともに、積分記号の後ろにある dx が積分変数を示します。
• 置換積分を使うときは新しい変数を導入し、元の変数と新しい変数の関係を明確にします。

代表的な変数の使い方を表で整理

変数	意味の一例	例
x	日常的な変化を表すことが多い	∫ f(x) dx
t	時間を表すことが多い	∫ f(t) dt
u	置換の新しい変数として使われる	u = x^2 のとき ∫ f(x) dx = ∫ f(x(u)) (dx/du) du

このように、積分変数は積分の計算過程で頻繁に登場します。数学の基礎を固めるうえで、積分変数とは何かをしっかり理解しておくと、置換積分や部分積分、三角比の積分など、より高度なテクニックにもスムーズに進むことができます。

積分変数の同意語

積分における変数: 積分を実行する際に用いる変数のこと。例: ∫ f(x) dx では x が積分における変数です。
被積分変数: 積分の対象となる変数。積分の過程で dx に対応する変数として扱われます。例: ∫ f(x) dx なら x が被積分変数です。
積分用変数: 積分計算で使用する変数の意味。x などがこれにあたります。
積分対象の変数: 積分の対象として積分処理が行われる変数。説明の補足として使われる表現です。
積分の変数: 積分操作で用いる変数全般を指す言い方。

積分変数の対義語・反対語

微分変数: 積分変数が“積分の対象”として使われるのに対し、微分変数は微分を行う対象の変数。つまり、変化率を計算する際に使われる変数のこと。
独立変数: 関数の入力として自由に変化させられる変数。積分変数とは別の文脈で使われることが多く、関数の前提となる変数として扱われることが多い。
従属変数: 独立変数の値に応じて決まる変数。積分後に現れる関数の出力を表すことが多く、積分変数とは役割が異なる。
外部変数: 積分対象の内側ではなく、積分 outside の文脈で決まっている変数。積分を行う前提として外で決まっている変数のこと。
定数: 時間とともに変化しない値。積分変数は積分区間をまたいで“動く”のに対し、定数は固定される点が対照的。
実変数: 実世界の意味を持つ変数で、積分変数のように積分の対象として扱われず、式の中で具体的な値を取る変数。
パラメータ変数: モデルの設定を決定づける固定的な値として現れる変数。積分変数とは別の役割を持ち、式の中で変化を追わずに参照されることが多い。

積分変数の共起語

被積分変数: 積分の対象となる変数。例: ∫ f(x) dx では x が被積分変数。積分の過程では他の変数と独立に扱われるダミー変数として扱われることが多い。
積分変数: 積分の際に用いられる変数の名称。一般には x, y, z などが使われ、結果には影響せず、計算上の一時的なダミー変数として扱われることが多い。
被積分関数: 被積分関数（被積分関数）は f(x) など、積分の対象となる関数のこと。積分変数と結びついて定義される。
ダミー変数: 定積分・不定積分で使われる変数は、計算過程で自由に置換しても結果が変わらないような性質を持つ。実質的には計算上の仮の変数。
微分: 積分と対になる演算。dx などの微分記号を用いて表す。
dx: 積分変数の微分を表す記号。定積分・不定積分の表記でよく使われる。
積分記号: ∫ の記号そのもの。積分を行う操作を表す。
不定積分: 微分の逆操作。一般解には積分定数 C が現れる。
定積分: 区間を定めて積分する形。積分区間 [a, b] の値を求める。
積分区間: 定積分で積分する x の範囲。例: [a, b]。
積分境界: 定積分での境界値のこと。a, b の具体値を指す。
積分順序: 多重積分で内側・外側の積分の順序。順序を変えると結果が変わる場合がある。
反復積分: 多重積分を内側から順に積分する方法。
多重積分: 複数の積分変数を持つ積分。例: ∫∫ f(x,y) dx dy。
置換積分: 変数を置換して積分を簡単にする方法。例: u = g(x) の置換。
変数変換: 一般に座標系を変えることで積分を簡略化する手法。
座標変換: 2次元・3次元の積分で座標を変換して積分を行うこと。
Fubiniの定理: 多重積分で積分順序を入れ替えてもよい条件を与える定理。
境界値: 積分の範囲を決める端点のこと。