陰関数とは？陰関数の基本と身近な例をやさしく解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

陰関数とは何か

陰関数とは、2つの変数を使った関係式 F(x,y) = 0 のことを指します。ここでの "関数" は必ずしも yをxで一意に決める関数 の意味だけではなく、xとyがつながっている別の形の関係も含みます。つまり、yをxの関数として一つに絞りこめない場合でも成り立つ関係を「陰関数」と呼ぶのです。
難しく聞こえるかもしれませんが、中学生にも身近な図形や方程式を用いればよく分かります。

陰関数と通常の関数の違い

通常の関数とは、ある入力 x に対して必ず一つの出力 y が決まるものを指します。例えば y = 3x は x に対して一つの y が決まる関数です。一方、陰関数は F(x,y) = 0という関係そのものを表しており、場合によっては同じ x に対して複数の y が並ぶことがあります。代表的な例として円の式を挙げると、x^2 + y^2 = 1 は陰関数の代表格です。xを一定にすると y にはふたつの値（上半分と下半分）が現れることが多く、一つの y を決める関数にはなりません。

Implicit Function Theorem のやさしい考え方

数学で「陰関数が局所的に y = g(x) の形で表せる条件」があります。とても大ざっぱに言うと、関係式 F(x,y) = 0 の点( x0, y0 )で偏微分 ∂F/∂y ≠ 0 が成立する場合、その点の近くでは y を x の関数として表せる、という性質です。これを使うと、陰関数で定義された曲線の近くの挙動を、直感的に理解したり微分したりすることができます。

陰関数の身近な例と計算

例として次の式を見てみましょう。
F(x,y) = x^2 + y^2 - 1 = 0。これは半径1の円を表します。円全体としては y を x の関数として一つに決められませんが、円の上半分だけを見ると y = √(1 - x^2)、下半分では y = -√(1 - x^2) のように局所的には y を x の関数として表すことができます。これが局所的な陰関数のイメージです。
さらに陰関数を微分で扱うときは、F(x,y) = 0 の両辺を x で微分して dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y) という式を使います。円の例では ∂F/∂x = 2x、∂F/∂y = 2y なので、dy/dx = -x/y となります。点(0,1)では勾配は0、というように点によって傾きが変わることも分かります。

他の陰関数の例

別の陰関数の例として次の式を考えます。
F(x,y) = y^2 - x。この関係は、y^2 = x と同じ意味です。Fy = ∂F/∂y = 2y なので、y ≠ 0 の点では局所的に y = g(x) の形で表すことができます。微分は dy/dx = -Fx/Fy = 1/(2y) となります。もう一つの例として F(x,y) = y - 2x = 0 も陰関数です。Fy = 1 なので、常に局所的に y = g(x) が成立し、勾配は dy/dx = 2 となります。

陰関数を使ってみるときのコツ

- すべての点で y を解けるわけではないことを覚えておく。
- 図形を眺めると、円や楕円などは全体としては陰関数だが、xの範囲を狭めると局所的には y を表せることが多い。
- 微分は dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y) という公式を使うと楽に求まる。

練習用の小さな表

例	陰関数かどうか	局所的な関数性	微分の公式
F(x,y) = x^2 + y^2 - 1	陰関数関係	局所的には y = g(x) が存在（Fy ≠ 0 の点で）	dy/dx = -x/y
F(x,y) = y^2 - x	陰関数関係	Fy = 2y、y ≠ 0 で局所的には y = g(x) が存在	dy/dx = 1/(2y)
F(x,y) = y - 2x	陰関数関係	Fy = 1 ≠ 0、常に局所的に y = g(x) が存在	dy/dx = 2

まとめ

陰関数とは、F(x,y)=0という関係で両変数を結ぶ表現のことです。すべての点で y を x の関数として一意に決められるわけではありませんが、点を絞れば局所的には y = g(x) の形で表せることがあります。微分の際は dy/dx = - (∂F/∂x)/(∂F/∂y) を使うと便利です。現代の微分・積分の教科書や、グラフ作成ソフト、数理モデルの設計にも陰関数の考え方はよく現れます。

陰関数の同意語

暗黙関数: 陰関数と同じ意味。F(x, y) = 0 の形で定義され、y は x の関数として明示的には表現されません。
陰関数形式: F(x, y) = 0 の形で表される関数のこと。y は直接 y = f(x) の形で書かれず、x と y が式の中で結びつきます。
陰関数方程式: y を x の関数として暗黙的に決定する方程式。F(x, y) = 0 の形が典型で、明示的な形 f(x) は現れません。
暗黙的表現: 関数を explicit に書かず、方程式や関係式の形で表す表現のこと。文脈によっては「暗黙関数」と同義で使われます。

陰関数の対義語・反対語

陽関数: 陰関数の対義語として最も一般的な用語で、y を x の関数として明示的に表現した関数のこと。例えば y=f(x) の形で y が x に対して一意に決まる形式を指します。陰関数では F(x,y)=0 のような暗黙の関係ですが、陽関数では y が直接表現されます。
明示的関数: 陽関数の別称・同義語として使われることがある表現。こちらも y=f(x) の形で y を x の関数として明示的に表す関数を指します。

陰関数の共起語

明示関数: ある変数を他方の変数の関数として y = g(x) の形で表せる関数。陰関数とは対照的に関係を直接書き下せます。
陰関数定理: F(x,y)=0 の形の式で、点 (x0,y0) の周りで y が x の関数として局所的に表せることを保証する定理。条件として ∂F/∂y ≠ 0 などが必要です。
局所解: ある点の近くで F(x,y)=0 を満たす解のこと。陰関数定理はこの局所解の存在を保証します。
偏微分: 複数の変数を持つ関数を、他の変数を固定した状態で微分すること。陰関数定理の条件を調べるために使います。
偏導関数: 偏微分と同じ意味の表記。特定の変数だけを動かしたときの変化を測ります。
ヤコビ行列: 多変数関数の全偏微分を並べた行列。陰関数定理の判定にはこの行列の階数（行列式が非ゼロかどうか）が重要です。
F(x,y)=0: 陰関数の代表的な形。F を0に等しくする x, y の組を見つける問題です。
多変数関数: 関数が複数の変数を持つ場合のこと。陰関数定理は n変数系にも適用できます。
全微分: 関数の微分をすべての変数について同時に表す微分。陰関数の理論的背景で使われることがあります。
連立方程式: 複数の方程式を同時に解く問題。陰関数定理は連立の形でも局所表現を与えます。
局所表現: 点の周りで y を x の関数として表す具体的な形のこと。陰関数定理の結果の一つです。
暗黙関数: 陰関数と同義で使われる別表現。一般には F(x,y)=0 の形の関数を指します。
偏微分の条件: 陰関数定理を適用するための必須条件のひとつ。点における ∂F/∂y が 0 でないことが必要です。
局所的一意性: 近くの領域では解が一意に決まる性質。陰関数定理の結論として述べられます。

陰関数の関連用語

陰関数: F(x,y)=0 の形で変数間の関係を表す。y を直接的に y=f(x) の形で書くのではなく、関係そのものを表現します。
暗黙方程式: 陰関数と同義。F(x,y)=0 のような式で、変数間の関係を暗黙的に表す方程式です。
陰関数定理: 点 (a,b) で F(a,b)=0 とし、∂F/∂y(a,b) ≠ 0 なら、近傍で y = g(x) の形の解が存在し、陰関数を局所的に明示関数として扱えることを保証する定理です。
陰関数微分: F(x,y)=0 を x で微分して dy/dx を求める方法。一般に dy/dx = - (∂F/∂x) / (∂F/∂y)（∂F/∂y ≠ 0 のとき）と表されます。
明示的関数: x に対して y = f(x) の形で関係を表す関数。陰関数とは対照的に、独立変数から従属変数を直接計算します。
ヤコビ行列: 複数の変数を持つ関数の偏微分を並べた行列。陰関数定理の条件判断や局所的な解の存在を調べる際に使われます。
陰関数曲線: 平面上で F(x,y)=0 によって定義される曲線。円や楕円も陰関数的に表せます。
暗黙曲線: 陰関数曲線と同義で、F(x,y)=0 によって表される曲線を指す別称として使われることがあります。
阴関数と明示関数の関係: 陰関数定理が成立する範囲では近傍で y = g(x) の明示関数として表せるようになります。
偏微分: F のような多変数関数の各変数についての微分。∂F/∂x、∂F/∂y は陰関数の微分で特に重要です。