自己回帰過程とは？初心者にもわかる基礎ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

自己回帰過程とは

自己回帰過程とは現在の値が過去の値の影響を受けて決まる統計モデルのことです。時間の流れの中で値がどう変わるかを数式で表します。たとえば天気や株価、センサーの測定値など、時系列データによく使われます。

このモデルの考え方はとてもシンプルです。今の値は過去の値とランダムな揺れの組み合わせで決まり、過去の値が強く影響すると最新の値は過去の値に似た動きをします。これを理解するには波紋の例が分かりやすいです。石を水面に落とすと広がる波は、前の波の影響を受けながら次の波へと伝わっていきます。自己回帰過程でも同じように「過去の値が現在の値を形作る」という考え方を使います。

基本的な形

最も単純な形は AR1 と呼ばれる1つ前の値だけを使うモデルです。

一般形は AR(p) と書き、次のように表されます。

X_t = φ1 X_{t-1} + φ2 X_{t-2} + ... + φp X_{t-p} + ε_t

ここで φ1 から φp は回帰係数、ε_t は白色ノイズと呼ばれるランダムな「誤差」です。係数 φ が -1 から 1 の範囲にあると、データは落ち着いて安定しやすい性質があります。この性質を「定常性」と呼び、長い目で見てもデータの平均や分散が大きく変わらないことを意味します。

AR1 の具体例

AR1 の例として φ = 0.6 の場合を見てみましょう。初期値 X_0 を 1.0、各時点の誤差項 ε_t をそれぞれ 0.2, -0.1, 0.0 とします。式は X_t = 0.6 X_{t-1} + ε_t です。

時点 t	X_t	ε_t	計算の素片 φ X_{t-1}
1	0.8	0.2	0.6
2	0.38	-0.1	0.48
3	0.28	0.0	0.228

この表は実際のデータ計算の一例です。公式に従えば時点 t の X_t は φ X_{t-1} と ε_t の和として求まります。最初の値 X_0 をどう設定するかでその後の振る舞いは少し変わりますが、長いサイクルの中で φ の影響が強いときは現在の値が過去の値に近づく様子が見られます。

現実の活用と注意点

自己回帰過程は株価の短期的な動きを予測するモデルの基礎として使われることがあります。ただし、実践ではデータをよく観察して AR の次数 p を決める必要があります。データが季節性を持つときは季節性を別のモデルで扱うか AR の中に取り込む方法があります。

用語の解説

白色雑音 ε_t は平均0のランダムな誤差で、過去の値に影響されません。定常性 は長い時間スパンで質が変わらないことを意味します。

実践のヒント

データを分析する時は、まずグラフを見てトレンドや季節性があるかを確認します。もしデータにトレンドがある場合は差分をとるなどの前処理が必要です。差分をとると ARMA や ARIMA の考え方が出てきます。

まとめ

自己回帰過程は「今の値が過去の値とランダムな揺れの影響を受けて決まる」という考え方をモデル化する基本的な手法です。AR1 や AR(p) の形を覚え、係数と誤差項の役割を理解することから始めましょう。学んだ知識は時系列データを読み解く力につながります。

自己回帰過程の同意語

AR過程: 現在の値を過去の値の線形結合で予測する時系列モデルの一つ。自回帰モデルの代表形で、y_t = c + φ1 y_{t-1} + φ2 y_{t-2} + ... + ε_t のように表されることが多い。
自己回帰過程: 過去の値を使って現在の値を予測する確率過程。基本形は AR(p) で、パラメータ φ1,…,φp が過去の影響の強さを決める。
自己回帰モデル: ARモデルと同義。現在の値を過去の値の線形結合と誤差項で表すモデル。例: y_t = c + φ1 y_{t-1} + ... + φp y_{t-p} + ε_t。
ARモデル: 自己回帰モデルの略称。過去の値の線形結合により現在の値を予測するモデル。
自己回帰型過程: 過去の値の影響を受けて現在の値を決定する時系列過程の一種。式は y_t = c + ∑ φ_i y_{t-i} + ε_t の形を取ることが多い。
自己回帰系: AR 系とも呼ばれ、時系列データを説明する基本的な枠組み。
自己回帰プロセス: 自己回帰過程と同義。過去の値を用いる予測過程。
自回帰過程: 自己回帰過程の別表現。過去の値を使って現在を予測する過程。
過去値線形結合過程: 現在値を過去の値の加重和として決定する過程。

自己回帰過程の対義語・反対語

非自己回帰過程: 過去の値に基づく自己回帰の要素を含まない、あるいはほとんど含まない過程。現在の値は過去の値の影響を受けにくいことが多い。
白色雑音過程: 時点間の相関がなく、過去の値と現在の値の関係がほぼゼロの過程。自己回帰性を持たない代表的なモデルの一つ。
自己相関なし過程: 現在の値と過去の値との相関がほとんどない過程。過去の情報を用いた予測能力が低い特性を指す表現。
移動平均過程（MA過程）: 現在の値が過去の誤差項の加重和として表される過程。過去の値に直接依存する自己回帰とは異なり、誤差項の影響を受ける点が特徴。
決定論的過程: 確率的なノイズを含まず、未来の挙動が決定論的に決まる過程。乱れや確率分布に基づく予測が不要な場合に想定される概念。
外生変数依存過程: 現在の値が外部の変数（外生因子）に大きく影響を受ける過程。自己回帰よりも外部入力の影響が支配的になる場合に対比として挙げられる。
逆自己回帰過程: 自己回帰の方向性を反転させた概念。実務ではあまり使われないが、対比として用いられることがある。
非自己回帰モデル: 過去の値を用いて現在を予測する前提の自己回帰とは異なり、過去の値を主体としないモデル。外部情報や別の構造を用いる場合に該当。
自己回帰性が弱い過程: 過去の値の影響が非常に小さく、実質的には自己回帰性がほとんどないと見なせる過程。

自己回帰過程の共起語

自己回帰モデル: 現在値を過去の値の線形結合と誤差項で表す時系列モデル。AR(p) の基本形の総称。
AR(p): 自己回帰の次数 p を表すモデル。現在の値は直近 p 個の値の係数付き和と誤差項で表される。
AR係数: 過去の値を現在値へ結びつける係数。各遅れの重みとして学習される。
誤差項: モデルが説明できない新しい変動分。通常 ε_t と表し、ホワイトノイズと仮定されることが多い。
ホワイトノイズ: 平均0、分散が一定で独立同分布のノイズ。誤差項の基本仮定。
自己相関: 時系列が自分の過去の値とどれくらい関連しているかを測る指標。
偏自己相関: 短期の自己相関の影響を取り除いた後の自己相関。ARモデルの次数推定に使われる。
ラグ: データ同士の間隔・遅れのこと。例: ラグ1 は1期間前。
定常性: 統計量（平均・分散・自共分布など）が時間に依存せず一定。
定常過程: 定常性を満たす確率過程。
差分: 非定常性を取り除くための差分化操作。y_t から y_{t-1} を引くなど。
ARIMA: 自己回帰・差分・移動平均を組み合わせた拡張モデル。
移動平均過程: 現在の値が過去の誤差の加重和で決まる過程。
MA過程: 移動平均過程の略称。
ARMA過程: ARとMAを組み合わせた過程。
予測: 未知の将来の値を推定する作業。
予測区間: 予測値とその不確実性を表す区間。
パラメータ推定: 未知パラメータをデータから推定する作業。
最尤法: データが得られる確率を最大化するパラメータを選ぶ推定法。
AIC: 赤池情報量基準。モデル選択時の情報量と複雑さのバランスを評価する指標。
BIC: ベイズ情報量基準。サンプルサイズを考慮した情報量基準。
ACF: 自己相関関数。時系列とその遅れとの自己相関を遅れごとに表す指標。
PACF: 偏自己相関関数。長期の影響を短期の影響で取り除いた自己相関を示す指標。
季節性: 季節的なパターンを含む特徴。SARIMA 等で扱われる。
SARIMA: 季節性を持つ自己回帰和分移動平均モデル。

自己回帰過程の関連用語

自己回帰過程（AR過程）: 現在の値を過去の値の線形結合と誤差項で表す確率過程。例: X_t = φ1 X_{t-1} + ... + φ_p X_{t-p} + ε_t
自己回帰モデル: 現在の値を過去の値のみで説明する予測モデル。ARモデルと同義で使われることが多い。
AR(p)モデル: 自己回帰次数 p を持つモデル。過去 p 個の値を用いて現在を予測します。
ARMAモデル: 自己回帰と移動平均を組み合わせた時系列モデル。観測値は過去の値と過去の誤差の線形結合で表されます。
ARIMAモデル: 差分を用いて非定常データを定常化した上でARMAを適用するモデル。
SARIMAモデル: 季節成分を含む ARIMA。季節性があるデータの長期予測に用いられます。
季節性を含む自己回帰モデル（SAR）: 季節的なラグを取り入れた自己回帰モデル。
ラグ: 現在の値に影響を与える過去の時点のずれ。例: ラグ1は1期前。
自己回帰係数（φ1, φ2, ..., φ_p）: 現在の値を過去の値へ掛ける係数。個数はモデルの次数に対応。
特性方程式: ARモデルの安定性を決める多項式 φ(B)=1-φ1 B-...-φ_p B^p の根が単位円の外側にある条件。
根が単位円の外側条件（安定性/定常性条件）: 特性方程式の根がすべて単位円の外側にあるとき、過程は定常になります。
定常性: 平均・分散・自己共分散が時間に依存せず一定の性質。
非定常過程: 平均や分散が時間とともに変化する過程。ARIMAはこの場合に用いられます。
差分（Differencing）: 非定常性を除去するためにデータを階差分する操作。
差分階数（d）: ARIMAでデータを何回差分するかを示す指標。
移動平均モデル（MA）: 現在の値を過去の誤差項の線形結合で説明するモデル。
自己回帰移動平均モデル（ARMA）: ARとMAを組み合わせた時系列モデル。
偏自動相関関数（PACF）: 各ラグでの純粋な自己相関を示す指標。ARモデルの次数選択に有用。
自己相関関数（ACF）: 時系列データの自己相関をラグごとに示す指標。MAモデルの次数選択に有用。
白色雑音（ε_t）: 平均0、一定の分散を持つ独立同分布の誤差項。多くのARモデルの仮定。
残差分析: モデルからの予測誤差（残差）を検証してモデル適合度を評価する作業。
Yule-Walker方程式: ARモデルのパラメータ φ を自己共分散から推定する古典的手法。
最尤推定（MLE）: データが最もよく説明されるパラメータを求める推定法。
最小二乗法（OLS）: 回帰系を最小二乗で推定する一般的な方法。ARモデルにも適用される。
予測区間: 予測値の不確実性を表す区間。信頼区間とも呼ばれる。
ADF検定・KPSS検定: データの定常性を判定する代表的な統計検定。
季節差分: 季節性を除去するための差分手法。