双一次変換とは？初心者のためのわかりやすい解説と実例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

双一次変換とは？

双一次変換とは二変数に対して 分子と分母がそれぞれ一次式 になる変換のことですこの形は 2 次元の座標変換を表す基本的な道具でありさまざまな分野で使われます

この変換は分母が 0 になる点を避ける必要があり定義できない点が現れることもありますですが分母が正しく決まっているときは新しい座標へと連続的に写すことができます

数式としては 2 つの変数 x と y に対して次のような形がよく使われます

x' = (a x + b y + c) / (g x + h y + 1)

y' = (d x + e y + f) / (g x + h y + 1)

この形は分子と分母がともに一次式である点が特徴です

モビウス変換と全双一次変換

複素平面での分数線変換はモビウス変換と呼ばれ双一次変換の代表例です z を (a z + b) / (c z + d) の形で写しますここで ad − bc ≠ 0 が条件になります

モビウス変換は全双一次変換の特別な case として理解できます 2 次元の一般的な変換を 3x3 の行列で扱うことで角度の保存ではなく比の保存など特殊な性質を見つけることができます

実世界での応用のイメージ

実生活でのイメージとしては写真（関連記事：写真ACを三ヵ月やったリアルな感想【写真を投稿するだけで簡単副収入】）の座標変換ゲームの画面上の座標の歪み直しあるいは地図の投影などが挙げられます双一次変換を使うことで 2D の図形を新しい形に写したり座標の歪みを意図的に作ったりすることができます

特徴をまとめた表

特徴	説明
表現形式	分子と分母がそれぞれ一次式
定義域	分母が0になる点は定義されない
幾何的性質	座標系の歪みを扱いつつ特定の比を保つことがある

まとめとして双一次変換はとても基礎的でかつ強力な道具です 2変数の関係を分子分母で表現することで表現の自由度が広がります中学レベルの考え方に近い線形の感覚を取り入れつつ分数という新しい要素を加えることでさまざまな変換を扱えるようになります

双一次変換の同意語

モビウス変換: 複素平面上の一般的な分数線変換。形は (a z + b) / (c z + d) で、ad − bc ≠ 0。双一次変換の広い意味で使われることがある。
分数線変換: 複素平面を分数式 (a z + b) / (c z + d) で写す変換。モビウス変換と同義に語られることが多い。
分数線写像: 分数線の形で写像を表すこと。モビウス変換と同等の概念として扱われることがある。
双一次写像: 同じく (a z + b) / (c z + d) の形で表される写像の呼称。写像という用語を使うときに見られる表現。
双一次変換: s-平面と z-平面の間を bilinear（双一次）に対応づける変換。代表的な例は s = 2/T (z − 1)/(z + 1) で、連続時間の系を離散時間へ近似する際に使われる。
s-z変換: sドメインと zドメインを結ぶ変換の総称。デジタルフィルタ設計で bilinear transform としてよく使われる。
タスティン変換: 別名 Tustin 変換。連続時間の伝達関数を離散時間の伝達関数へ近似する代表的な bilinear 変換手法。
タスティン法: 同じく Tustin 法・変換の略称。

双一次変換の対義語・反対語

非線形変換: 双一次変換は二つの変数に対して線形性を持つと見なせるものの、全体としては必ずしも線形ではありません。非線形変換は x や y の積、次の項など、直線で表せない関係を表す変換のことです。
線形変換: 入力を1つの変数として扱い、加法とスカラー倍を保つ最も基本的な変換です。双一次変換が二つの変数の積を含むなど、全体として線形でない場合があるのに対し、線形変換はそのような非線形性を含みません。
一次変換: 線形変換とほぼ同義で使われることが多い用語です。文脈によってはやや狭い意味になることもありますが、基本的には1次の（1次元・一次性の）線形変換を指します。
二次変換: 二次の項（例: x^2, y^2, xy など）を含む変換。双一次変換と同じく非線形性を含むが、二次の項が中心となる変換の一例です。
三次変換: 三次の項を含む非線形変換。より高次の非線形性を伴う変換のイメージとして挙げられます。
アフィン変換: 線形変換に平行移動を加えた変換。双一次変換とは違い、変数同士の積を含まないため、別の基本的な変換のカテゴリーとして挙げられます。

双一次変換の共起語

モビウス変換: 双一次変換の別名。z' = (a z + b) / (c z + d) の形をとる、複素平面上の写像。
複素平面: 複素数 z の平面。双一次変換はこの平面上で作用します。
2x2行列: モビウス変換に対応する2×2複素行列 M = [[a,b],[c,d]]。写像は行列の作用で表されます。
ad-bc≠0: 行列式 ad−bc が0でない条件。これにより写像は逆に取れて全射/単射になります。
クロス比: 4点の相対配置を表す不変量で、双一次変換はこの値を保ちます。
円と直線の像: 円と直線は双一次変換の下で円または直線に写る性質を持ちます。
不変性: クロス比の不変性など、特定の量が写像後も変わらない性質。
逆写像: 元の点 z を得る逆変換。式は z = (−d z' + b) / (c z' − a)（ad−bc≠0が前提）。
PSL(2, C): 複素数体上の2×2行列の群で、モビウス変換の集合を形成する。
コンフォーマル写像: 局所的に角度を保つ写像の一種。双一次変換はその代表例。
固定点: 写像が自分自身になる点。z' = z を解くと通常2点程度得られます。
円板・半平面の像: ユニット円盤や半平面が、双一次変換で円/半平面として写される性質。
実用的な例・応用: 幾何学的写像、複素解析、地図投影、画像処理などに応用されます。

双一次変換の関連用語

双一次変換: z ↦ (a z + b) / (c z + d)（ad − bc ≠ 0）を満たす写像。拡張複素平面上で定義され、分母が 0 になる点を除く全ての z を像へ写す。
線形分数変換: 同じ概念の別名。2×2 複素行列で表現され、ad − bc ≠ 0 が条件。
モビウス変換: 線形分数変換の別名。複素平面（拡張複素平面）上で円と直線を写す性質を持つ。
2×2複素行列: 変換を表すマトリクス [ [a, b], [c, d] ]。スカラー倍は同じ写像を与えるので、系はそのスカラー不変。
ad−bc≠0: この行列式が 0 でないことが前提。そうでないと写像は退化して一対一でなくなる。
PGL(2, C): 行列 [a b; c d] のスカラー倍を同一視して得られる群。線形分数変換の集合を表す群。
PSL(2, C): PGL(2, C) の特別な形。行列式を正規化して 1 として定義するモビウス群の表現形。
拡張複素平面: 複素平面に∞を追加したリーマン球面。モビウス変換はこの全体を作用対象とする。
円と直線を像に写す: モビウス変換は円・直線を必ず円または直線へ写す（画像は円/直線のいずれか）。
固定点: 写像が不変となる点。方程式 z = (a z + b)/(c z + d) を解くことで求められ、通常 2点が一般的。
逆変換: 元の変換の逆は |d −b; −c a| による線形分数変換。条件は ad−bc ≠ 0。
pole（極）: 分母が 0 になる点 z = −d/c（c ≠ 0）。この点で写像は無限大へ飛ぶ。
正規化（スカラー同値性）: 変換を λ ≠ 0 で割り切ると同じ写像になる。表現はスカラーに依らず同一。
実係数のモビウス変換: すべての係数が実数のとき、実数軸と円の像など、実数平面での幾何が直感的に捉えやすい。
クロス比の不変性: 任意の 4 点のクロス比はモビウス変換の下で不変。幾何の同値判定に使われる。
角度の保存性（全構造は共形）: 正則かつ微分が非零のモビウス変換は局所的に角度を保存する（共形性）。
用途と分野: 複素解析・幾何学・射影幾何・画像処理の投影変換など、広範な分野に用いられる。
定義域・像の扱い: 分母が 0 となる点を除外する定義。∞ を含めた拡張平面で考えると、∞ への像も明示できる。