円に内接・とは？中学生にも分かる図解で解く円と多角形の基礎共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

円に内接とは？

円に内接するとは、多角形のすべての頂点が同じ円上にある状態のことです。円の中心を円の中心とする円周上に頂点が並ぶことで、その円をその多角形の外接円と呼ぶこともあります。逆に、円に外接する場合は円が多角形の辺に接するケースですが、この記事では円に内接の意味に絞って解説します。

円に内接の代表例

最も分かりやすい例は、正三角形・正方形・正多角形がすべて円の上に頂点を置くケースです。正三角形なら各頂点は円周上に等間隔、正方形なら頂点は90度ごとに並びます。このような図形はすべて「円に内接する」図形です。

中心と半径の意味

円に内接する多角形には、共通して円の中心がその多角形の外心（circumcenter）になるという性質があります。中心から各頂点への距離はすべて等しく、これが円の半径です。

ここで重要なのは、頂点が円の上にあることで、中心角を使って辺の長さを計算できる点です。

実用的な考え方と式

中心の考え方として、円に内接する正多角形では中心角を使うと辺の長さが求めやすくなります。一辺の長さsは s = 2R sin(180°/n)（nは辺の数）と表せます。角度は度数法で「180/n」°ごとに分かれており、nが大きくなるほど辺の長さは短くなります。

項目	説明
n	多角形の辺の数。円に内接する場合、nが大きいほど頂点が円周に密になります。
R	円の半径。頂点までの距離。すべての頂点はこの距離だけ離れています。
s	一辺の長さ。公式s = 2R sin(180°/n)で求められます。
例	n = 4 のとき、一辺の長さは s = 2R sin(45°) = R√2 です。
補足	円に内接する図形は正多角形だけでなく、任意の形状の凸多角形でも可能ですが、正多角形ほど頂点が均等で美しく円に収まる性質が現れやすいです。

最後に、練習問題のヒントを一つ挙げます。半径Rがわかれば、nが分かっていればsを求める公式に代入して、各辺の長さを計算できます。さらに、円周上の頂点を結んだ図形の形を見れば、どの辺がどの頂点と対応しているかが視覚的にも理解しやすくなります。

ポイント円に内接する図形を確認するコツは、まず頂点をすべて同じ距離だけ離れた点に並べられるかを考えることです。中心からの距離が等しければ良いのです。次に、nを決めて公式s = 2R sin(180°/n)を使えば辺の長さが算出できます。三角比の知識が少しあるとスムーズに計算できます。

もう少し難しい話として、円の中心と頂点を結ぶ線分は半径です。これらの線分が成す中心角は360°/nです。正多角形ではこの中心角が等しく、辺の長さの計算に直結します。

練習問題のヒント例: 半径Rが3の円に内接する正五角形の一辺の長さは s = 2×3×sin(180°/5) ≈ 6×0.588 ≈ 3.53 となります。実際には計算機を使うとより正確な値が得られます。

円に内接の同意語

円内接多角形: 円の周上にすべての頂点を置く多角形。円に内接している状態を表す最も典型的な表現です。
円内接図形: 円に内接する性質をもつ図形全般の総称。主に多角形を指すことが多いですが、円に対して頂点が円周上に並ぶ図形を含みます。
円周上に頂点を持つ多角形: 円周上の点をすべて頂点として結んだ多角形のこと。円に内接している状態を直感的に表します。
円周上の点を頂点とする多角形: 円周上の点を頂点として配置した多角形。すべての頂点が円周上にある点が特徴です。
円周上に頂点を置く多角形: 頂点が円周上に配置されている多角形のこと。円に内接していることを示します。
円の周上に頂点を配した多角形: 円周上に頂点を並べて配置した多角形。円に内接する性質を説明する表現です。

円に内接の対義語・反対語

円に外接する: 円に内接するの対義語。多角形が円を外側から囲むように配置され、円の周囲に接します。つまり円は多角形の内部に位置する状態で、多角形が円を取り囲むイメージです。
外接円: その多角形を外側から囲む円のこと。多角形の頂点をすべて通る円で、英語の circumcircle に相当します。多角形はこの円に内接している状態です。
内接円: 多角形の内部に位置し、すべての辺に接する円のこと。円が多角形の内部にあり、辺と接している状態で、英語の incircle に相当します。