行列方程式・とは？初心者でも理解できる基礎と身近な例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

行列方程式とは

行列方程式とは、複数の未知数を含む線形方程式を行列の形でまとめたものです。行列とは数字を長方形に並べたもので、方程式は未知数の値を決める式です。行列方程式は通常の連立方程式と同じ意味を持ちますが、計算を整理して解くのに向いています。

A x = b の形

線形方程式を行列に表すと、A は係数を並べた係数行列、x は未知の変数を並べた列ベクトル、b は定数の列ベクトルです。解くことは、x を求めること、つまり変数の値を求めることです。最も基本的な考え方は、行列の性質を使って方程式を整理することです。

例で考える

次の連立方程式を考えます。

2x + 3y = 5

x + y = 3

この2つの式は行列で次のように表せます。

用語	表現
係数行列 A	[[2, 3], [1, 1]]
未知のベクトル x	[[x], [y]]
定数ベクトル b	[[5], [3]]

このとき行列方程式は A x = b の形になります。実際には Augmented 行列として [A|b] を作り、ガウスの消去法などを使って解を見つけます。

実際の計算の流れを見てみましょう。初期の augmented 行列は次のように書けます。

初期	[[2, 3 \| 5], [1, 1 \| 3]]
手順	R1 と R2 を入れ替え、次に R2 から 2 倍の R1 を引き、最後に R1 から新しい R2 を引くことで上三角形へ近づける
結果	解は x = 4, y = -1

このように matrix を使うと、複数の未知数を一度に整理して解を見つけやすくなります。逆行列が存在すれば x = A の逆行列と b の積として求めることもできますが、A が正則でない場合には別の手法が必要です。

なぜ行列方程式を使うのか

行列方程式を使う利点は、複雑な連立方程式を整理して計算機で処理しやすくする点です。特に未知数が多い場合や、同じ係数のパターンが並ぶ場合には、統一された形式にすることで効率的に解を得られます。また、コンピュータプログラミングやデータ分析、物理や工学の分野で頻繁に使われる考え方です。

覚えておきたいポイント

A x = b の形が基本形である
係数行列 A、未知ベクトル x、定数ベクトル b の意味を理解する
逆行列が使えるときは x = A^{-1} b と書けるが条件に注意する
実世界では計算機を使って大きい問題を解くことが多い

最後に、行列方程式は数学の中で非常に基本的でありながら、実際の問題解決にも大きく役立つ考え方です。興味があれば、別の例やより多くの未知数を使った練習問題にチャレンジしてみましょう。

行列方程式の同意語

行列方程式: 行列を用いて表される方程式。典型的には A X = B の形で、未知のベクトルや行列 X と係数行列 A・B の関係を表します。
行列の方程式: 行列を使って表される方程式で、行列を変数として扱う場合もあります。基本的には同義です。
線形行列方程式: 係数行列と未知数の列ベクトル・行列との間に線形関係がある方程式。例: A X = B（X は未知ベクトルまたは未知行列）
連立線形方程式の行列表現: 複数の未知数を含む連立線形方程式を、行列を用いた表現でまとめたもの。解法としてガウスの消去法などを用います。
A X = B 形の方程式: 行列方程式の代表的な形。係数行列 A、未知数 X、右辺 B の三つを用いた等式です。
行列を用いた方程式: 行列を道具として用いる方程式全般を指す言い方。行列方程式もこの範疇に含まれます。
線形代数の行列方程式: 線形代数の授業や書籍で出てくる、行列を用いた方程式の総称。

行列方程式の対義語・反対語

スカラー方程式: 行列を使わず、未知数が1つのスカラー値で表される方程式。記号は実数・複素数などの1変数の式が一般的です。
実数方程式: 未知数・係数が実数で構成される方程式。解は基本的に実数ですが、場合によっては虚数解を含むこともあります。
複素数方程式: 未知数・係数が複素数で構成される方程式。解も複素数になることが多く、実数解を含むこともあります。
非線形方程式: 未知数の項に二次以上の項を含む、または非線形関数を含む方程式。線形な行列方程式と対照的です。
ベクトル方程式: 未知ベクトルを含む方程式。成分ごとに解を求める形や、ベクトル同士の等式として表現されることがあります。
行列を使わない方程式: 行列の記法を使わず、スカラーやベクトルの通常の式として表現される方程式。行列方程式とは別の解法・表現の選択肢です。

行列方程式の共起語

行列: データを行と列の格子状に並べた数値の集合。行列方程式 AX=B の左辺を表すことが多く、線形変換を表す基本的な道具です。
行列式: 正方行列に定義されるスカラー量。逆行列の有無や行列の性質（可逆性・固有値の範囲など）を判断する指標として使われます。
逆行列: ある行列Aに対して、別の行列A^{-1}が AA^{-1}=A^{-1}A=I を満たすとき、Aは逆行列を持ちます。方程式の解の存在条件と関係します。
正則行列: 行列式が0でない行列。逆行列を持ち、線形方程式の解が一意に定まる条件のひとつです。
係数行列: 連立方程式の係数を並べた正方行列。行列方程式 AX=B の左辺を担当します。
拡張行列: 係数行列と右辺ベクトルを横に結合して1つの行列にしたもの。ガウスの消去法などで解を求める際に使われます。
右辺ベクトル: 行列方程式 AX=B の右側のベクトル。未知数ベクトル X の値を決定する情報を含みます。
未知数ベクトル: 行列方程式 AX=B の未知数を縦ベクトルとして並べたもの（通常 X と表記）。
連立方程式: 複数の一次方程式を同時に解く問題。行列方程式へ変換すると解法が体系化しやすくなります。
線形代数: 線形関係を表すベクトルと行列を扱う数学分野。行列方程式の解法・理論の基礎となる分野です。
ガウスの消去法: 行列を階段形に変形して解を得る、連立方程式を解く標準的な手法です。
LU分解: 行列を下三角行列 L と上三角行列 U の積に分解する方法。連立方程式の解や数値計算を高速化します。
QR分解: 行列を正規直交行列 Q と上三角行列 R の積に分解する方法。最小二乗問題や数値安定性の向上に使われます。
特性方程式: 固有値を求める際に使う方程式 det(A-λI)=0。行列の固有値の候補を得る出発点です。
固有値: 行列を変換しても長さが変わらない方向を示すスカラー λ。 Av = λv を満たす特性を持つ値です。
固有ベクトル: 対応する固有値 λ に対して Av = λv となる非零ベクトル v。行列の変換の不変方向を表します。
対角化: 行列を相似変換で対角行列に変換すること。計算を単純化し、解析を楽にします。
対角行列: 対角成分以外が0の行列。指数計算や行列方程式の解を簡略化するのに役立ちます。
最小二乗法: 観測データのノイズを最小化する解法。過剰決定系の AX=B で x を求める際に用いられます。
正規方程式: 最小二乗解を求める際に現れる方程式 A^T A x = A^T b のこと。解の安定性向上に寄与します。
行列の階数: 行列の独立な行（または列）の最大数。解の存在条件や一意性の判断材料になります。
行列の転置: 行と列を入れ替えた新しい行列 A^T。対称性の扱いや式変形に頻繁に使われます。
行列の積: 2つの行列を掛け合わせる演算。線形変換を連結する性質を表します。
数値解法: 大規模・複雑な場合に、厳密解の代わりに数値的に近似解を求める方法群です。
斉次方程式: 右辺がゼロの線形方程式 Ax=0。解の空間はゼロ以外にも無限に広がることがあります。
非斉次方程式: 右辺がゼロでない線形方程式 Ax=b。解の存在条件は b が列空間に含まれるかどうかで決まります。
ノルム: ベクトルの大きさや、誤差の大きさを数値化する尺度。収束性や近似の精度評価に使われます。