並進ベクトルとは？初心者向けの基礎ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

並進ベクトルとは？

並進ベクトルは、物体がある場所から別の場所へ動くときの 移動量 を表す記号です。中学校の物理や幾何の授業で頻繁に登場します。ここで覚えておきたいのは、方向と距離の両方を一つの量として表すという点です。並進ベクトルは、物体がどの方向にどれくらい動いたかを、簡単に伝えるための道具のようなものです。
たとえば、地図のある地点から別の地点へ移動する場合、出発点と到着点の差を並進ベクトルとして表すと、移動の全体像を一目で把握できます。

定義

並進ベクトルは、出発点と到達点の座標の差です。2次元の場合は (dx, dy)、3次元の場合は (dx, dy, dz) のように表します。dx は横方向の移動量、dy は縦方向の移動量、dz は奥行き方向の移動量を意味します。矢印の向きが移動の方向を指し、矢印の長さが移動距離に相当します。

身近な例

地図上で A 点から B 点へ行くとき、右に 3 マス、上に 4 マス移動する場合、並進ベクトルは (3, 4) となります。これは「この点が右へ 3、上へ 4 動いた」という情報を一つの量で表すことを意味します。3 次元の場合、天井の高さが変わるような移動も (dx, dy, dz) という形で表せます。

表現方法と計算のコツ

平面上の並進ベクトルは通常 (dx, dy) の形で表します。もし複数の移動を順序よく表したい場合、それぞれのベクトルを足し合わせることで、最終的な移動量を得ることができます。3 次元では (dx1, dy1, dz1) と (dx2, dy2, dz2) を足すと新しい並進ベクトル (dx1+dx2, dy1+dy2, dz1+dz2) が得られます。足し算の性質を使えば、複雑な経路も単純な移動の合成として理解できます。

並進ベクトルと図形の関係

並進ベクトルは、図形を移動させるときの「変位」を表現するのに役立ちます。図形を全体的にずらす場合、各点に同じ並進ベクトルを加えることで、元の形を保ったまま新しい位置へ移動します。これは回転や伸縮とは異なる性質で、移動だけを扱うための基本的な概念です。

ベクトル同士の足し算の例

並進ベクトル同士を足すと、合成移動が求まります。例えば、(2, 0) と (0, 3) を足すと (2, 3) となり、最初の点から次の地点へ向かう経路を一つのベクトルで表すことができます。これにより、複数の移動を連続して考える際の理解が深まります。

表での整理

<th>出発点

(2, 5)
移動量	(-1, 3)
到達点	(1, 8)

重要なポイント

並進ベクトルは方向と距離を同時に表す「量」で、座標の変化を表します。位置ベクトルと混同しないように注意しましょう。並進ベクトルは基本的には移動の量であり、物体の形や向きを変える回転運動とは別の概念です。

現実の授業やゲーム・プログラムでの活用

幾何の証明やプログラムの座標計算では、何かを別の場所へ移動させるときに並進ベクトルを使うと、計算がシンプルになります。たとえばゲームのキャラクターを左右上下に動かすとき、操作量をそのまま並進ベクトルとして扱えば、現在位置の更新が直感的に行えます。中学生のうちにこの考え方を身につけておくと、後の物理の学習やプログラミングの基礎にも役立ちます。

まとめ

並進ベクトルは移動の「量」を一本化して表す道具です。方向と距離を同時に伝えるので、図形の移動を理解しやすく、複数の移動を組み合わせるときにも便利です。覚えておくべきポイントは、移動の変化量を表すこと、足し算で合成できること、そして回転や伸縮とは別の概念であるということです。これらを押さえておけば、数学だけでなく物理やプログラミングの世界にもスムーズに入れます。

並進ベクトルの同意語

平行移動ベクトル: 点や図形を平行に移動させるときに使う、向きと大きさを表すベクトル。座標系の全体を一定の距離だけずらす操作に対応します。
平行移動のベクトル: 同じ意味で用いられる表現。平行移動を表すベクトルのこと。
変位ベクトル: 位置が初期状態から新しい位置へどれだけ動いたかを示すベクトル。並進（平行移動）の量を表す代表的な表現です。
移動ベクトル: 図形や点をある距離だけ動かすときのベクトル。文脈によっては速度ベクトルなど別の意味にも使われますので注意が必要です。
平行位移ベクトル: 平行移動と同じ意味で用いられる表現。図形を平行にずらすときのベクトルです。
並進ベクトル: この語そのものとほぼ同義の表現。点や図形を平行に移す方向と距離を表すベクトルです。

並進ベクトルの対義語・反対語

逆向きの並進ベクトル: 並進ベクトルの符号を反転させたもの。大きさは同じだが、進む方向が正反対になる。
静止: 動きが生じていない状態。並進ベクトルがゼロで、物体が位置を変えないことを意味します。
回転: 点を中心として周囲を回転させる運動。並進（直線的な移動）とは別の基本的な運動形態です。
鏡映転換: 鏡に映すように左右や上下を反転させる変換（ミラー変換）。位置は反転しますが直線的な平行移動とは異なります。
点反転: 中心を基点として全ての点をその中心を軸にして反対側へ等距離移動させる変換。中心対称の動きで、並進とは別の対称性です。
拡大・縮小: サイズを拡大または縮小するスケーリング変換。並進とは異なり、物体の大きさを変える変換です。
逆向きの移動: 移動の方向だけを反転させた表現。大きさが同じでも方向が逆になる移動を指します。
逆平行移動: 並進の方向を逆にした表現。直感的には反対方向への平行移動を意味します。

並進ベクトルの共起語

並進ベクトル: 平行移動を表すベクトル。図形や点を一定の方向へ同じ距離だけ移動させる量を表します。
平行移動: 幾何学の基本的な変換のひとつで、図形を回転や拡大縮小をせずに位置だけをずらす操作です。
平行移動ベクトル: 並進ベクトルの別称で、移動量としてのベクトルを指します。2D なら dx, dy、3D なら dx, dy, dz の成分で表します。
座標系: 点の位置を記述する基準となる枠組みであり、並進ベクトルはこの座標系での移動量として解釈されます。
位置ベクトル: ある点の位置を表すベクトルで、並進ベクトルを足すことで新しい位置を得ます。
移動量: 移動の大きさと方向を示す量で、並進ベクトルはこの移動量として各成分で表現されます。
成分: 並進ベクトルは各座標軸方向の成分として表現され、2D なら dx と dy、3D なら dx、 dy、 dz です。
二次元: 二次元の空間を指し、並進ベクトルは通常 (dx, dy) で表されます。
三次元: 三次元の空間を指し、並進ベクトルは通常 (dx, dy, dz) で表されます。
同次座標: 拡張座標系で平行移動を含む変換を一つの行列で扱えるようにする表現です。
ホモジニアス座標: 同次座標の別名で、並進を含む変換を統一的に扱えるようにします。
変換矩陣: 並進を含む幾何変換を行列として表す際に用いられる矩陣で、通常は拡張座標系を使います。
アフィン変換: 平行移動や回転、拡大縮小といった一連の変換をひとまとめに扱う概念で、並進はその一部です。
幾何変換: 図形の位置や姿勢を変える操作の総称で、並進はその一つです。
座標変換: 座標系の基準や原点を変えずに座標を新しい表現へ変える操作で、並進は座標の一部の変換です。
原点: 座標系の基準点であり、並進ベクトルは原点からの移動として解釈されることもあります。
図形の並進: 図形を等距離で平行に移動させる操作のことです。