eigenとは？初心者にも分かる意味と使い方ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

eigenとは何か

まずは基本の意味から。eigenはドイツ語で「自分自身の」「特有の」という意味を持つ語です。数学では特別な意味として使われ、線形代数の固有値や固有ベクトルなどの重要な概念につながります。

数学での使われ方

行列や線形変換について考えると、あるベクトル vを変換しても向きは変わらず長さだけが伸び縮みする場合があります。そのときの長さの倍率を 固有値、そのときの方向を 固有ベクトルといいます。

式のイメージとしては、<span>Av = λv です。ここで A は線形変換を表す行列、v は固有ベクトル、λ は対応する固有値です。この式が成り立つとき、v は A による変換の中で「回転せずに伸縮する特別な方向」であることを意味します。

例として 2x2 行列 A を考えます。A = [[2,0],[0,3]] の場合、ベクトル v1 = [1,0] は Av1 = [2,0] = 2 v1 なので λ = 2 の固有値、v1 が固有ベクトルです。同様に v2 = [0,1] は λ = 3 の固有値、固有ベクトルです。

これを表で整理すると以下のとおりです。

<th>用語

意味
固有値	行列を作用させても方向が変わらず、長さだけが倍率 λ で変わる値
固有ベクトル	変換後も同じ方向を指すベクトル v

応用のヒント

固有値分解や 固有値の概念は、データの圧縮や安定性の分析、物理の現象の理解に使われます。機械学習でも次元削減の PCA などで基底を作る際に似た考え方が登場します。

他の分野での eigen

数学以外にも、固有関数などの言い方として eigen という語が使われます。微分方程式の解の中には、系の自然な振る舞いを表すモードがあり、それぞれのモードを 固有モード と呼ぶことがあります。

注意点

日常会話で eigen を聞くと、名前の一部や外国語の語感を思い浮かべる人もいます。しかしここでは一般的な数学の用語としての意味を中心に説明しています。混同を避けるために、文脈をよく読みましょう。

まとめとして eigen とは、特別な方向と、それに対応する倍率のことを指す言葉です。線形代数の基礎を理解すると、さまざまな応用が見えてきます。

eigenの関連サジェスト解説

eigen value とは: eigen value とは、線形代数で出てくる重要な概念です。正方行列 A をあるベクトル v に作用させたとき、v が 0 にならずに同じ方向を向き続け、サイズだけがスケール（拡大・縮小）されるとき、そのスケールの因子を eigenvalue（固有値）と呼びます。つまり Av = λv を満たす非零ベクトル v が存在するとき、λ が固有値です。ここで v は固有ベクトルといい、ベクトルの方向が変わらずに伸びたり縮んだりします。固有値は「その方向にだけ特に意味をもつ拡大率」ととらえると分かりやすいです。例を見てみましょう。A = [[2,0],[0,3]] の場合、x 軸方向のベクトル (1,0) を A にかけると (2,0) になり、これは λ = 2 倍になることを意味します。y 軸方向のベクトル (0,1) をかけると (0,3) となり、λ = 3 倍です。したがって λ=2 と λ=3 が固有値、(1,0) と (0,1) が対応する固有ベクトルです。別の例として A = [[2,1],[0,3]] を考えると、行列式 det(A - λI) = (2-λ)(3-λ) − 0×1 = (λ-2)(λ-3) となり、固有値は λ = 2 と λ = 3 です。実際にはプログラムを使うともっと複雑な行列でも同様に求められます。簡単な計算として、2x2 の場合は λ の公式を使い、A のトレース（対角線の和）とデターミナントから二次方程式を作って解けばよいのです。固有値はデータ分析や物理、コンピュータグラフィックスなど、さまざまな分野で使われます。たとえば主成分分析（PCA）ではデータを要約する方向を決めるとき固有値と固有ベクトルを利用します。振動のモード分析では固有値が振動の自然な周波数を表し、グラフィックスの変形処理では形の伸び方を理解する手掛かりになります。
eigen vectorとは: この記事では、eigen vectorとは何かを、日常の例とともにやさしく説明します。行列というのは、平面や空間の点を動かす規則のことです。多くのベクトルは動かすと向きも長さも変わりますが、なかには同じ方向を保ちながら大きさだけ変わる特別なベクトルがあり、それを固有ベクトルと呼びます。英語で eigen vector と言い、日本語では「固有ベクトル」や「eigen vector」と表記します。具体的には、ある行列 A に対して Av = λv を満たす非零ベクトル v を見つけると、それは A の固有ベクトルであり、対応する λ が固有値です。よくある直感としては、A が何かの変換を行うとき、ある方向だけはそのまま伸びたり縮んだりして、方向が変わらない場合がある、ということです。例を見てみましょう。A = [[2,0],[0,3]] の場合、x 軸方向のベクトルは倍に、y 軸方向のベクトルは3倍に伸びます。したがって x 軸に沿うベクトルの集合と y 軸に沿うベクトルの集合がそれぞれ固有ベクトルで、対応する固有値は 2 と 3 です。別の例として、回転を表す行列を考えると少し難しくなります。例えば 90 度回転の行列には実数の固有ベクトルが存在せず、固有値は複素数になります。中学生には少し難しい話ですが、「実数の固有ベクトルが必ずあるわけではない」という点だけ知っておくと理解の助けになります。固有ベクトルを見つける手順は次のとおりです。1) A の固有値 λ を求める。行列式 det(A - λI) = 0 を解きます。2) 各 λ について (A - λI)v = 0 を解き、v を得る。3) 得られた v は非零ベクトルなので好きなスケールで長さを調整できます。実務では、複雑な行列計算には電卓やパソコンのソフトを使いますが、原理はこの流れです。固有ベクトルはデータを特徴づける直感的な道具で、たとえばデータをうまく表す主成分分析や画像処理の基礎にもつながります。要点をまとめると、eigen vectorとは、行列が動かしても方向を保つ特別なベクトルのことです。 Av = λv の形で定義され、λ は固有値。見つけ方は λ を決めてから v を解く、という二段階です。
eigen layer とは: eigen layer とは、Ethereumのレイヤー2（L2）と呼ばれる別の計算の場を、より安全に使えるようにする新しいセキュリティ層を提供するプロトコルです。ざっくり言うと、メインの Ethereum の安全性を、いくつかの L2 やサービスが共同で使えるようにする仕組みです。使う人は eigen layer に ETH を預け（ステーク）、専門の監視役の人たちが取引が正しく行われているか見守ります。不正が見つかれば罰則があり、資金が守られる仕組みです。これにより、L2 の作る人たちは一から「安全性を作る作業」を減らせ、コストを抑えつつ安全性を高められる可能性があります。実際の使い方としては、L2のプロジェクトが eigen layer に接続し、利用者は eigen layer の安全性を通じて取引を行います。機能のまとまりは API 連携や契約の組み合わせの形で進みます。利点は安全性の再利用とコストの削減、プロダクトの立ち上げが速くなることです。一方で、新しい仕組みゆえの依存リスク、運用の複雑さ、ガバナンスの課題もあります。現在は研究・検証が進む段階で、導入には理解とリスク判断が大切です。
蠑螈とは: 蠑螈とは、古くから使われてきた漢字の組み合わせで、主に両生類の一種を指す言葉です。現代日本語では日常的に使われず、代わりに“サンショウウオ”や“サンショウウオの仲間”と呼ぶのが普通です。読み方は文献によって異なることがあり、学校の授業でも出てくる機会は少ないです。では、どういう生物かというと、体は細長く、四肢を持ち、皮膚は湿ってつやがあり、陸上と水中の両方の環境で暮らす種がいます。幼生は水中で過ごし、成長すると陸上の生活をするものが多いです。この漢字が使われる場面は、主に学術的な文章や古典文学、漢字の成り立ちを学ぶ資料などです。つまり、日常会話や現代の科学記事では見かけません。蠑螈という言葉を覚える意味は、漢字の歴史を学ぶ学習や、日本語の語彙の深さを知ることです。現代語に置き換えると“サンショウウオ”で済む話ですが、漢字として覚えると、日本語の成り立ちが見えてきます。もし漢字の勉強をしているとき、古い漢字の例として蠑螈が出てくることがあります。まとめとして、蠑螈とは、現代では珍しい漢字で、両生類の一種を指す語です。生態は湿った環境を好み、幼生は水中、成体は陸上でも生活する。語彙としては難解だが、漢字の歴史を学ぶには良い例です。
えいげんとは: えいげんとは、日常語としては特定の一語を指す一般的な用語ではありません。読み方が同じでも漢字が違えば意味も変わるため、文脈がとても大切です。日本語には同じ音を持つ語がたくさんあり、えいげんも例外ではありません。ここでは初心者の人にも分かりやすいように、えいげんという読みが現れる可能性のある漢字の組み合わせと、意味を見分けるコツを紹介します。まず考えられる可能性として、漢字の組み合わせによっては英語に関連する意味を指すことがあります。具体的な漢字は状況によって異なるため、ここでは学習教材などでよく出てくるパターンを想定しますが、必ずしも統一された意味ではありません。ほんとうは漢字が分かれば意味はかなり絞り込めますが、ひらがなだけの表記だと意味は曖昧になりがちです。ほかにも、えいげんが当てられる漢字としては永言、映言、英言などが挙げられるかもしれませんが、これらは日常語としては定着していない古典的・専門的な用法であることが多いです。したがって実際の意味を確かめるには、文脈・出典・周囲の語句をよく読み解く必要があります。学習時のコツとしては、(1) 漢字を確定させるには周囲の漢字・語句を手掛かりに推測する、(2) わからないときは辞書だけでなくコーパスや教材の例文を照合する、(3) 同音の別表記や英語由来の語の可能性も考慮する、の3点です。以上を守れば、えいげんとは何かを焦らずに理解する手がかりをつかめます。初心者の方は、まずこの語を見かけた場面を思い出し、出典を確認する習慣をつけるとよいでしょう。結論として、えいげんとは単独で扱われる常用語ではなく、漢字次第で意味が大きく変わる読み方のひとつだと理解すると、学習がスムーズになります。

eigenの同意語

固有: そのものが本来持つ、他と区別できる特性・性質。数学用語では「固有値」「固有ベクトル」などと訳され、対象の独自性を表します。
独自: 他にはなく、そのものだけが備えるオリジナルな性質や特徴。創造性や個性のニュアンスを含みます。
特有: 特定のものにだけ備わる性質。周囲と差をつける特徴を指す言い方です。
内在的: 外部からの影響を受けず、内側に自然と存在している性質のこと。
本質的: そのものの核心となる性質や性格を指す。表面的でない、根っこの特徴を意味します。
自身の: そのもの自身が所有する、自己固有の性質を指し示します。
固有性: そのものに固有の性質・特性のこと。名詞形で使われ、内在的な特性を指す語です。

eigenの対義語・反対語

外部の: 内部・内在ではなく、外側に属する性質を指す。eigenの“固有・内在”という意味の対義語として用いられることが多い。
外在の: 内側に存在せず、外部・外部的に現れる性質のこと。eigenが内在的で特有な性質を指す場合の対比として使われることがある。
外来の: 外部から来た、他者・異質の性質を指す。自分の内部的・固有性とは異なる性質を表す場合に使われることが多い。
非固有の: その対象に固有ではない、特有性を欠く性質を指す。eigenの“固有”に対する直感的な対義語として使われる。
一般的な: 特定の対象に特有ではなく、広く一般に当てはまる性質を指す。固有性を強調した場合の対照として用いられることがある。
普遍的な: 個別性を超えて広く普遍的な性質を指す。eigenの“特有・固有”に対する対比として使われることがある。
Fremd: ドイツ語で“外部の／他者の”という意味。学習上の補助語として、eigenの対義として覚えると理解が進みやすい。

eigenの共起語

固有値: 線形変換を表す行列 A が、非零ベクトル v に対して Av = λv を満たすときのスカラー λ。変換後の方向は同じで、長さだけが λ 倍になる値。
固有ベクトル: Av = λv を満たす非零ベクトル v。固有値 λ に対応する方向のベクトル。
固有値問題: 行列 A に対して Av = λv を解いて固有値 λ と対応する固有ベクトルを求める課題。
固有分解: 行列を固有値と固有ベクトルの組み合わせで表す分解。
固有値分解: 行列を固有値と対応する固有ベクトルを用いて分解すること。対角行列になることが多い。
特性多項式: det(A − λI) = 0 を満たす λ を求めるときに使う多項式。
特性方程式: 特性多項式を0にする方程式。固有値を求める出発点となる式。
対角化: 行列を固有ベクトルを基底とする表示に変換して、対角行列で表すこと。
対角行列: 対角成分以外が0の行列。固有値分解の結果として現れやすい形。
ジョルダン標準形: 行列を固有値とジョルダンブロックで表す最も一般的な形。非対角成分を含むことがある。
スペクトル分解: 行列を固有値と固有ベクトルを使って分解する概念。
直交固有ベクトル: 対称行列では異なる固有値に対する固有ベクトルが直交する性質。
対称行列: 転置行列と等しい、A^T = A の行列。固有値・固有ベクトルの性質が特に扱いやすい。
正規行列: AA^H = A^H A の性質を満たす行列。複素数の場合に固有値が直交性と関係することがある。
行列: ベクトル空間の線形変換を表す基本的なデータ構造。
線形代数: ベクトルと行列を扱う数学の基礎分野。
固有値の計算: 数値的または解析的に固有値 λ を求めるプロセス。

eigenの関連用語

固有値: 線形変換が特定の方向を変えず、拡大・縮小する度合いを示す値。Av = λv を満たす非零ベクトル v が固有ベクトルであり、対応する λ が固有値。
固有ベクトル: 固有値 λ に対応する非零の方向ベクトル。線形変換を施しても方向が変わらず、長さが λ倍になる。
固有値問題: 行列 A に対して Av = λv を満たす λ と v を求める問題。数値解法には反復法や QR 法などがある。
固有分解: 行列 A を A = Q Λ Q⁻¹ の形に分解すること。Λ は固有値を、Q の列に対応する固有ベクトルを並べる。
固有空間: 同じ固有値に対応するすべての固有ベクトルの張る空間。固有値の重複度により次元が決まる。
対角化: 行列 A を固有分解を用いて対角行列 Λ の形に変換する操作。対角化可能であれば計算が単純になる。
特性方程式: det(A − λI) = 0 の式。これを解くことで固有値 λ を得る。
特性多項式: 特性方程式を展開して得られる多項式。次数は行列のサイズ n。
正規行列: 複素数の場合は A A* = A* A を満たす行列。固有ベクトルを正規直交基底として扱いやすい。
直交固有ベクトル: 実数対称行列では、異なる固有値に対応する固有ベクトルが直交する性質があり、基底を直交化しやすい。
対称行列: 転置が自分自身になる実数行列。固有分解が安定し、直交基底を作りやすい。
固有モード: 振動問題などで、固有値に対応するモード（振動形）を指す用語。
固有関数: 微分方程式の固有値問題で得られる関数。境界条件によって形が決まる。
特異値分解: 任意の行列 A を U Σ Vᵀ の形に分解する方法。固有値分解とは別物だが、データ分析・機械学習で重要。
主成分分析: データの分散が最大になる方向（固有ベクトル）を見つけて次元を削減する手法。共分散行列の固有ベクトルが基底になる。
固有顔: 顔画像データから得た固有ベクトルを用いた顔認識の手法。PCAの応用の一つ。
パワー法: 最も大きい固有値に対応する固有ベクトルを反復的に近似するシンプルなアルゴリズム。
QRアルゴリズム: 行列の QR 分解を繰り返して固有値を数値的に求める代表的手法。
Eigenライブラリ: C++向けの高性能線形代数ライブラリ。ベクトル・行列計算を高速に扱える。
eig関数: MATLAB などで固有値と固有ベクトルを計算する標準関数の総称（具体的な名称は言語依存）。
固有値スペクトル: 行列の固有値の集合を指す言葉。分布の形状から安定性や振る舞いを読み取る。
幾何的意味: 固有値は変換のスケーリング要素、固有ベクトルはそのスケーリング方向を示す。