ハミルトン方程式・とは？初心者向けに解く基本と実例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

はじめに

このページではハミルトン方程式・とは？を、初めて学ぶ人にも分かるようにやさしく解説します。身の回りの運動を例にとると理解が進みやすいです。

ハミルトン方程式・とは

ハミルトン方程式は力学の基本的な法則であり、系の状態を時刻 t における座標と運動量の組で記述します。これらの式はエネルギーの保存や運動の規則性を表す重要な道具です。

ここで使われる用語を整理します。一般化座標 q_i は系の位置などの自由な座標、共役運動量 p_i は各 q_i に対応する運動量、ハミルトニアン H は系の総エネルギーを表す関数です。

ハミルトン方程式の基本形

ハミルトン方程式は次の2つの式から成ります。

dq_i/dt = ∂H/∂p_i

dp_i/dt = - ∂H/∂q_i

H は q, p と時間 t の関数です。時間に依存する場合もあり得ますが、時間に依存しない場合は系の総エネルギーのように振る舞います。

これらの式を用いれば初期状態 q(0), p(0) を与えるだけで任意の時刻 t における q(t), p(t) を計算できます。

実例: 単振動のハミルトニアン

単振動の例として H(q,p) = p^2/(2m) + 1/2 k q^2 を考えます。ここで m は質量、k はばね定数です。これをハミルトン方程式に代入すると dq/dt = p/m および dp/dt = -k q となり、エネルギーを保ちながら振動します。

この形式の利点は保存量や対称性と深く結びついている点です。Lagrangian から派生したこの枠組みは、古典力学だけでなく量子力学の基礎にもつながる考え方です。

実務的な使い方のコツ

まず Lagrangian を作るところから始め、次に H を定義します。時間発展はこれらの式を解くことによって得られ、数値解法としてはオイラー法や後方差分法などが使われます。初期条件を正確に設定することが結果の精度に直結します。

まとめ

ハミルトン方程式・とは座標と共役運動量の組を使い、時間発展を追う基本法です。dq/dt と dp/dt の二つの式が核となり、エネルギーの保存や対称性と深く関係しています。中学生にも理解できるよう、日常の運動をこの枠組みで捉えると、自然と仕組みが見えてきます。

ハミルトン方程式の同意語

正準方程式: ハミルトン方程式の正式名称。座標 q_i と共役運動量 p_i の時間発展を決める、dq_i/dt = ∂H/∂p_i, dp_i/dt = -∂H/∂q_i という対の微分方程式を指します。
正準運動方程式: ハミルトン方程式と同じく、正準系の運動方程式。エネルギー関数 H に基づく運動の基本式です。
ハミルトンの正準方程式: ハミルトン方程式の別名・別称。座標と運動量の時間変化を結ぶ式です。
ハミルトン方程式系: ハミルトン方程式から導かれる、座標と運動量の時間発展を表す方程式の集合。
ハミルトン系: ハミルトン系（Hamiltonian system）を指す用語。エネルギー関数 H によって決まる力学系の総称。
ハミルトニアンの運動方程式: ハミルトニアン（エネルギー関数）を用いて導かれる運動方程式。dq/dt, dp/dt の式を含みます。
正準方程式系: 正準方程式の集合。複数の自由度を扱う場合の表現です。
ハミルトン方程式群: ハミルトン方程式の集合を指す言い方。

ハミルトン方程式の対義語・反対語

ラグランジュ方程式: ハミルトン方程式の別形式として現れる、ラグランジアン L(q, q̇, t) を用いた Euler–Lagrange 方程式。ハミルトン形式の対になる概念で、運動の記述を座標とその時間微分を使って行います。対義語というよりは、同じ力学を別の視点で表現したものです。
ニュートンの運動方程式: F = ma を用いた古典力学の基本法則。ハミルトン方程式が相空間とエネルギー表現を使うのに対し、ニュートン方程式は力と質量の関係を直接扱います。対義語というより、古典力学の別の基本記述法です。
シュレディンガー方程式: 量子力学における波動関数の時間発展を決定する基本方程式。古典のハミルトン力学と対応関係がある一方で、量子系の記述という全く別の枠組みを意味します。
非ハミルトン系: ハミルトニアン形式を用いない、またはエネルギー保存の枠組みが異なる力学系。ハミルトン方程式の対になるカテゴリとして挙げられることがあります。
古典力学: ハミルトン方程式が属する物理理論の総称。対義語というより、ハミルトン方程式が含まれる理論領域の広いカテゴリを指します。

ハミルトン方程式の共起語

ハミルトニアン: ハミルトン方程式の中心となるエネルギー関数。H(q,p,t) は系の全エネルギーを表し、時間依存することもある。
正準方程式: ハミルトン方程式の具体的な形。 q̇_i = ∂H/∂p_i, ṗ_i = -∂H/∂q_i（i は自由度の番号）を満たす。
一般化座標: 系の自由度を表す座標。q_1, q_2, ... などの一般化座標を用いる。
共役運動量: 各一般化座標 q_i に対応する運動量。p_i = ∂L/∂q̇_i（ラグランジアン L に対する定義）'
位相空間: 座標と共役運動量の組 (q,p) の集合で、状態を表す空間。
ポアソン括弧: 関数 f,g の時間発展を決める演算子。 {f,g} = Σ_i (∂f/∂q_i ∂g/∂p_i - ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i)。
レジェンド変換: ラグランジアン L とハミルトニアン H の間の Legendre 変換で、エネルギー関数へ変換する手法。
ラグランジュ力学: L(q, q̇, t) を用いて運動を記述する枠組み。ハミルトン力学への出発点。
シンプレクティック幾何学: 位相空間に自然に現れる対称的な幾何構造を扱う分野。ハミルトン力学と深く関係。
エネルギー保存: 時間に依存しないハミルトン系では総エネルギーが保存される性質。
正準変換: 座標系を別の正準座標系へ変換してもハミルトン方程式の形が保たれる変換。
Liouville の定理: 位相空間の体積が時間発展によって不変であることを示す定理。
Noetherの定理: 対称性と保存量の関係を結びつける原理。例としてエネルギー・運動量保存など。
量子力学との関係: 古典ハミルトン系は量子力学の基盤となり、ハミルトニアンはエネルギー演算子として働くことが多い。
軌道: 位相空間上の解の道筋、時間発展の軌跡を指す。

ハミルトン方程式の関連用語

ハミルトニアン: dq/dt ではなく位相空間の座標 q と共役運動量 p を用いた系の総エネルギー関数。H(q, p, t) の形で表され、系の時間発展を決定します。
位相空間: 座標と共役運動量の組 (q, p) で構成される空間。ここを用いて Hamiltonian 系の状態と時間発展を記述します。
正準座標: 各自由度の位置を表す座標系。通常 q_i として表されます。
正準運動量: 各自由度の共役運動量。p_i = ∂L/∂(dq_i/dt) により定義され、正準対 (q_i, p_i) が形成されます。
正準変換: 座標系 (q, p) を (Q, P) に変換しても正準性（ポアソン括弧の保存など）を保つ変換のこと。
ハミルトン方程式: dq_i/dt = ∂H/∂p_i, dp_i/dt = -∂H/∂q_i の一組の一階微分方程式。位相空間上の時間発展を決定します。
ラグランジアン: 運動の特徴を T − V の形で表す関数。L(q, dq/dt, t) と書かれることが多い。
ラグランジュ関数: Lagrangian の別称。L = T − V の形を取り、運動の力学を別の方法で記述します。
レグレン変換: ラグランジアン L からハミルトニアン H へ変換する Legendre 変換のこと。H は L の生成関係を満たします。
オイラー-ラグランジュ方程式: d/dt(∂L/∂(dq/dt)) = ∂L/∂q の形をとる、運動の基本方程式。ジェネラルな力学の出発点です。
生成関数: 正準変換を実現するための関数の総称。F1, F2, F3, F4 の形式があり、旧座標と新座標の対応を決定します。
シンプレクティック幾何: 位相空間の構造を保つ幾何学。正準変換はこの構造を保つ流れとして捉えられます。
ポアソン括弧: {f, g} = ∑_i (∂f/∂q_i ∂g/∂p_i − ∂f/∂p_i ∂g/∂q_i) のように表され、運動量・エネルギーの時間変化などを記述します。
ノエターの定理: 対称性から保存量を導く原理。ハミルトン系でも保存量の由来を理解する手段となります。
保存量: 時間発展しても値が変わらない量。エネルギー、運動量、角運動量などが代表例です。
エネルギー保存: ハミルトニアンが時間に依存しない（または explicit に現れない）場合、エネルギーが保存されます。
時間依存ハミルトニアン: H(q, p, t) が時間 t に explicit に依存するとき。エネルギーは一般には保存されません。
ハミルトン流: ハミルトニアン H によって生成される位相空間上の連続的な流れ。時間発展はこの流れとして捉えられます。
初期値問題: 初期状態 (q0, p0) を与えると、ハミルトン方程式から時刻 t の解が一意に決まります。
ダイナミカル系: 時間とともに状態が変化する系の総称。ハミルトン力学は代表的なダイナミカル系の一つです。
正準量子化: 古典的な正準変数を量子演算子に置換して量子力学へ移行する手法。 [q, p] = iħ などの対想が生まれます。
相空間: 位相空間と同義。q と p の対を用いて系の状態を表す概念です。
多自由度: 複数の座標と運動量を持つ系。自由度が増えるほどハミルトニアンの次元も増えます。
量子力学との関係: 古典のハミルトニアンは量子力学ではハミルトニアン演算子として働き、シュレディンガー方程式などへと結びつきます。