主曲率・とは？初心者にもわかるやさしい解説と図解共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

主曲率・とは？

主曲率とは曲面上の点における曲がり方を表す重要な指標の一つです。難しい名前ですが要は曲面の形の強さを直感的に表す数字です。主曲率は最も曲がりにくい方向と最も曲がりやすい方向の二つの値として現れます。

曲面のある点 p において曲線を曲面上に描いてその曲がり具合を調べるとき、法線方向に対する曲率だけでなくさまざまな方向の曲率を考えます。ここで現れる最大値と最小値が 主曲率 k1 と k2 です。

この二つの値は同時に決まる方向もありますが互いに直交する二つの方向に対応します。つまり主曲率の方向とは接平面の中にある二つの特定の方向です。

正式な説明の要点

点 p の周りの局所領域を小さく拡大すると曲面はほぼ平面の形に見えます。このとき曲がり方を決めるのが 主曲率 です。具体的には点 p において接平面内の方向を変えると曲率の値が変わりますがその中で最大と最小の値が k1 と k2 となります。

主曲率 とは点 p における曲面の局所的な形状を表す二つの値 k1 と k2 のことです。これらは接平面内の特定の二つの方向に対応します。

主曲率と関連する性質として 曲率の積 が Gaussian curvature と呼ばれる量に対応します。実際には K ＝ k1 × k2 です。もう一つの指標として 平均曲率 は H ＝ (k1 + k2) / 2 で表されます。

具体的な例を考える

平面の例から考えると主曲率は常に 0 です。つまり k1 ＝ 0, k2 ＝ 0。球面ではすべての方向で同じ程度に曲がるため k1 と k2 が等しくなり k1 ＝ k2 ＝ 1/R になります。サドル形状のような曲面では二つの主曲率の符号が異なり曲面の局所的な性質が変わります。

曲面の例	主曲率の特徴
平面	k1 ＝ 0, k2 ＝ 0
球面	k1 ＝ k2 ＝ 1/R
サドル形状	k1 と k2 の符号が異なる

このように主曲率は局所の形を二つの数値で直感的に表す仕組みです。計算は数学の授業やグラフィックスの設計で役立ち，建築や地形データの理解にも使われます。

なぜ学ぶ価値があるのか

主曲率を知ると曲面の基本的な性質が見えやすくなります。平面と球面とサドルの違いは主曲率の値の違いとして現れ，これが物体の安定性や外観の設計にも影響します。中学生でも覚えやすいポイントは局所の形を二つの数値 k1 と k2 で表す点です。

まとめ

主曲率は点 p における曲面の局所的な形状を決める二つの値であり k1 と k2 がその正体です。K = k1 × k2 そして H = (k1 + k2) / 2 という関係で他の曲率と結びつきます。これを理解すると平面や球面の違いが直感的に分かるようになり，曲面設計の基礎にも役立ちます。

詳しく知りたい場合は高校や大学の微分幾何の教科書を開いてみましょう

主曲率の同意語

主曲率: 曲面の点における、主方向に沿った曲率の2つの値の総称。つまり κ1 と κ2 のことを指し、曲面の局所的な“ねじれ具合”を表す重要な指標です。κ1, κ2 の大小関係は文献によって表記が異なる場合があります。
第一主曲率: 主曲率の一つで、通常 κ1 を指します。主方向1に沿った方向での曲率の値で、一般には最大主曲率として扱われることが多いですが、定義の順序は文献により異なることがあります。
第二主曲率: 主曲率のもう一つで、通常 κ2 を指します。主方向2に沿った方向での曲率の値で、κ1 と対になる小さい方の値です。
主曲率値: 点における κ1 と κ2 の2つの数値そのもの。具体的には、それぞれの主曲率の値を指します（例：κ1, κ2 の組）。
第一主曲率値: κ1 の値を指します。一般には最大主曲率の値として解釈されることが多いですが、文献ごとに符号の扱いや順序が異なることがあります。
第二主曲率値: κ2 の値を指します。κ1 と対になるもう一方の主曲率の値です。

主曲率の対義語・反対語

副主曲率: 主曲率のもう一方の値。通常、二つの主曲率のうちもう一方を指す非公式な表現として使われる。
最大主曲率: 二つの主曲率の中で最大の値。表面の局所的な最大の曲がり具合を表す概念。
最小主曲率: 二つの主曲率の中で最小の値。表面の局所的な最小の曲がり具合を表す概念。
平均曲率: 主曲率の平均。k1とk2の和を2で割った値で、曲面の滑らかさ・盛り上がりの総合指標として使われる。
ガウス曲率: 二つの主曲率の積。曲面の内的性質を表す指標で、正・負で性質が大きく異なる。
正の主曲率: 主曲率の符号が正の方向。曲がり方が凸に近い領域を表すことが多い。
負の主曲率: 主曲率の符号が負の方向。曲がり方が凹に近い領域を表すことが多い。
曲率ゼロ（平坦性）: 点や領域の曲率が0となり、平ら近い状態。主曲率が0であるケースを指すことが多い。

主曲率の共起語

曲率: 曲がり具合の度合いを表す基本的な量。曲線では曲がり具合、曲面では点ごとの主曲率の情報を含みます。
ガウス曲率: 曲面の局所的な曲がり具合を表す量。主曲率 k1, k2 の積で計算され、正なら球面寄り、負なら鞍状、0なら平面に近い性質を示します。
平均曲率: 主曲率の算術平均で、(k1 + k2)/2。曲面の“平均的な”曲がり具合をひとことで表します。
k1: 主曲率のうち一方の値。ある主方向に沿ったその点の曲がり具合を示します。
k2: 主曲率のもう一方の値。別の主方向に沿った曲がり具合を示します。
主曲率半径: 各主曲率に対応する曲率半径のこと。理論上は半径 R1 = 1/|k1|、R2 = 1/|k2| に対応します（符号は方向の指示）。
曲率半径: 曲率を半径で表した一般的な概念。曲率が大きいほど半径は小さく、曲がりがきついことを意味します。
形状演算子: 曲面の法線を使って定義される演算子で、主曲率はこの演算子の二つの固有値として現れます。
第一基本形式: 曲面上の長さと角度の局所的な情報を表す式。係数 E, F, G で表されます。
第二基本形式: 曲面の曲がりの情報を表す式。法線の変化と接線ベクトルの変化を表す係数で構成します。
法線: 曲面上の各点で曲面に垂直な向きの単位ベクトル。主曲率の測定は法線方向の投影で行われます。
接平面: 点における曲面の接平面。主曲率を測る方向はこの平面内の特定の方向です。
鞍点: 主曲率の符号が異なる方向で現れる点。k1 と k2 の符号が違うと鞍点であることが多いです。
正の曲率: 主曲率の値が正のときの状態。局所的に球面のように丸い形状を示すことが多い。
負の曲率: 主曲率の値が負のときの状態。鞍状の形になる場合が多い。

主曲率の関連用語

主曲率: ある点の接平面内の特定の方向に沿って得られる正規曲率のうち、最大値と最小値の2つを指す。これらの値を κ1, κ2（または κMax, κMin）と呼び、対応する方向を主方向といいます。
最大主曲率: 主曲率のうち最も大きい値（通常 κ1）。主方向に沿って得られます。
最小主曲率: 主曲率のうち最も小さい値（通常 κ2）。主方向に沿って得られます。
主方向: 主曲率が最大または最小となる接平面内の方向。2つの直交する主方向が存在します。
法線曲率: 特定の接線方向に沿って表面が持つ曲率。κn = κ1 cos^2 θ + κ2 sin^2 θ の形で表され、θ は主方向との角度です。
第一基本形式: 表面の局所的な距離と角度を決定する内積情報。E, F, G で表され、長さと角度の測定に使われます。
第二基本形式: 表面の曲率情報を含む二次形式。L, M, N で表され、主曲率の計算に直接関係します。
形状演算子: 接平面上のベクトルを別のベクトルへ写す線形写像。固有値が主曲率 κ1, κ2 に対応します。
固有値: 形状演算子などの線形写像の特性値。主曲率 κ1, κ2 は形状演算子の固有値として現れます。
ガウス曲率: κ1と κ2 の積 κ1 κ2。表面の内在的な曲率を表し、正・負で局所の幾何が異なります。
平均曲率: H = (κ1 + κ2)/2。曲面の滑らかさや最小曲面の条件などと深く関係します。
主曲率半径: 各主曲率の半径。R1 = 1/κ1、R2 = 1/κ2。曲率の大きさを半径で直感的に表します。
等曲率点: κ1 = κ2 となる点。主方向が定まらなくなることが多く、球面や平面などで現れます。
Weingarten方程式: 形状演算子と第一・第二基本形式の関係を表す基本方程式群（Gauss方程式・Codazzi方程式を含む）。曲面の幾何を決定します。
法線ベクトル: 表面の各点で定義される接平面に垂直な単位ベクトル。曲率の計算や第二基本形式の定義に欠かせません。