非特異行列とは？初心者にも分かる基本ガイドと見分け方共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

非特異行列とは？

数学で使う「行列」は数字をマスに並べたものです。非特異行列とは、特に「逆行列」が存在する行列のことを指します。逆行列があると、方程式を解くときに元の状態に戻す操作が可能になります。

非特異行列は正方行列である必要がある点、行列式 det が ゼロでないことが必須条件です。行列式がゼロかどうかで、線形独立性も決まります。

まず、行列と行列式の関係をかんたんに押さえましょう。

2×2 の場合を例に取り、行列 A の形を [a b; c d] と表します。行列式は det(A) = ad - bc です。det(A) ≠ 0 なら A は非特異行列で、逆行列 A^-1 が存在します。逆に det(A) = 0 のときは特異行列となり、逆行列は存在しません。

具体例で理解を深めましょう。

例1: A = [ [1, 2], [3, 4] ] の場合、 det(A) は 1×4 - 2×3 = 4 - 6 = -2 となり、0 以外の値です。したがって 非特異行列 です。逆行列は存在します。実際の計算は A^-1 = (1/det(A)) [d -b; -c a] として求められます。今回は det(A) = -2 なので A^-1 は (-1/2) [4 -2; -3 1] となります。

例2: B = [ [1, 2], [2, 4] ] の場合、 det(B) は 1×4 - 2×2 = 4 - 4 = 0 です。これが 0 なので 特異行列 となり、逆行列は存在しません。

なぜ非特異行列が大事なのか

非特異行列は線形方程式の解を一意に求められる性質を持ちます。つまり、行列とベクトルの連立を解くときに解がただ一つに定まるかどうかを決める重要なポイントです。
また、行列の積をとるときに元に戻す操作、つまり 逆行列を掛けることで元の状態に戻せることが大きな利点になります。

2×2 の逆行列の導出

2×2 の場合、逆行列は次の公式で求められます。A^-1 = (1/det(A)) [d -b; -c a] det(A) が零でなければこの公式で計算できます。ただし、実際には整数のとき分数が出る場合が多いです。

表で比べてみよう

<th>項目

非特異行列	特異行列
行列式	det ≠ 0	det = 0
逆行列の有無	存在する	存在しない
行・列の独立性	独立	依存

最後に、練習問題をひとつ。次の行列の det を計算し、非特異か特異かを判断してください。A = [ [2, 3], [1, 4] ] の det は 2×4 - 3×1 = 8 - 3 = 5 となり、非特異行列です。逆行列も存在します。

このようにして 非特異行列 の基本を理解すると、行列を使った方程式の解法や線形代数の入門がずっと楽になります。

非特異行列の同意語

正則行列: 行列式が0でない正方行列のこと。逆行列が存在し、線形変換を一意に元に戻す性質を持ちます。
可逆行列: 逆行列が存在する正方行列のこと。線形変換が可逆で、元へ戻せる（逆方向の変換が定義される）性質を指します。
逆行列を持つ正方行列: 逆行列が存在する正方行列のこと。実務的な表現として、同義語として使われます。
行列式が0でない正方行列: 行列式が0でない正方行列のこと。非特異性を表す説明的な言い換えとして使われます。

非特異行列の対義語・反対語

特異行列: 行列式が0の正方行列で、逆行列が存在しない。すなわち線形変換を可逆に表現できない状態。
行列式が0の行列: 行列式の値が0で、逆行列をとることができない、非可逆な正方行列の表現。
逆行列が存在しない行列: 逆行列を持たない行列。通常は正方行列で、行列式が0のケースを指すことが多い。
退化行列: 階数が不十分で、可逆性を欠く状態を指す表現。特異行列と同義に使われることがある。
非正則行列: 正則（逆行列が存在する）でない行列の別称。逆行列が取れないことを意味する。

非特異行列の共起語

行列: 複数の数値を行と列に並べた、数値の配列。ベクトルや線形変換の基本的な対象です。
行列式: 正方行列にだけ定義される数値で、行列の可逆性や体積の縮尺などを表します。
逆行列: ある行列 A に対して、AA^{-1} = I を満たす別の行列。
正則行列: 逆行列が存在する行列のこと。行列式が0でないのが特徴です。
特異行列: 行列式が0で逆行列が存在しない行列のこと。
係数行列: 連立方程式の係数を並べた行列。
連立一次方程式: 複数の一次方程式を同時に解く問題。
一意解: 解がただ1つしかない状態。
ランク: 行列の独立な行（または列）の最大数。
転置行列: 行と列を入れ替えた新しい行列。
固有値: 線形変換の性質を表すスカラー値で、行列と整合性のある伸縮を意味します。
固有ベクトル: 対応する固有値を持つ、0ベクトルでないベクトル。
直交行列: 転置行列が逆行列になる特別な正則行列。
実数行列: 成分が実数の行列。

非特異行列の関連用語

非特異行列: 正則行列とも呼ばれ、行列式 det(A) ≠ 0 のときのみ存在します。逆行列 A^{-1} が必ず存在します。
特異行列: 行列式 det(A) = 0、逆行列が存在しません。列が線形従属になるなど、一次方程式系 Ax = b の解が必ずしも存在しない場合があります。
行列式: 正方行列に対して定められるスカラー値。 det(A) ≠ 0 なら非特異、行列の性質を判断する基本量です。性質として det(AB) = det(A)det(B)、det(A^T) = det(A) などがあります。
逆行列: A の逆行列 B が存在すると、 AB = BA = I を満たします。存在条件は det(A) ≠ 0。
単位行列: 対角要素がすべて 1、その他は 0 の正方行列。乗算の単位元で、逆行列の基本例としても現れます。 det(I) = 1。
ランク: 行列の列（または行）の中で、線形独立な最大数。正方行列が非特異になるには rank(A) = n（行数・列数）である必要があります。
線形独立: 複数のベクトルが互いに依存せず、0 の非自明な係数結合で和を作れない性質。列が線形独立なら正方行列は非特異になりやすいです。
列空間: 列ベクトルが張る部分空間。列が全て張る空間で、rank は列空間の次元です。
行空間: 行ベクトルが張る部分空間。行空間の次元も rank と一致します。
核(零空間): Ax = 0 を満たす解 x の全体。核が {0} であるとき A は非特異です。
固有値: 線形変換の伸縮率を表すスカラー。0 が固有値に含まれるとき、その行列は非特異ではなくなる可能性があります。非特異であるには 0 が固有値でないことが必要です。
固有ベクトル: 対応する固有値 λ を満たす非零ベクトル x で、 Ax = λx となるベクトル。
アジャガート/補行列: adj(A) は随伴行列。 A^{-1} = (1/det(A)) adj(A) は det(A) ≠ 0 のとき成立します。
LU分解: A = LU の分解。適切な条件下で存在し、連立方程式の解法や逆行列の計算に使われます。
ガウス消去/ガウスの消去法: 行基本変形を使って上三角形化し、解の導出や逆行列の計算を行います。正則行列なら I へ変形可能です。
ガウス・ジョルダン法: 拡大行列に対して逐次的な行基本変形を行い、逆行列を直接求める方法です。
クラメルの公式: det(A) ≠ 0 のとき、連立方程式 Ax = b の解は x_i = det(A_i)/det(A) で与えられます。
直交行列: A^T A = I を満たす正方行列。逆行列は転置行列 A^T で、必ず可逆です。
正定値行列: 対称であり、任意の非零ベクトル x に x^T A x > 0 を満たす行列。SPD は必ず非特異で、逆行列を持ちます。
代数余因子/余因子: 行列の要素ごとに対応する小行列式からなる数。 adj(A) を作る基礎となります。
特徴多項式: det(A - λI) = 0 の解 λ が固有値。行列の固有値を決定する多項式です。