高岡智則
年齢：33歳 性別：男性 職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当） 居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション 出身地：神奈川県川崎市 身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる） 血液型：A型 誕生日：1992年11月20日 最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒 通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分） 家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹 恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）
半群・とは？基本の考え方
半群とは、ある集合と、その集合の元を結ぶ二項演算の組のことです。ここで大事なポイントは閉性と 結合法則。閉性は、任意の元 a, b を掛け合わせた結果が必ず元の集合に属すること、結合法則は同じ3つの元を順番を変えて演算しても結果が同じになること、です。
ただし、半群は「演算が結合的」なことだけを要求します。単位元や逆元は必須ではありません。つまり、半群は「属性が最小限の代数的な集合」として、数学の入り口となる概念です。
代表的な例を見てみよう
1) 文字列の連結。集合を「すべての文字列」とし、演算を「連結」にとると、(ab)c = a(bc) が成り立ちます。連結は閉じていて、空文字列 "" は単位元として働くことが多いですが、半群としては単位元の有無は必須ではありません。
2) 正の整数の加法。集合を N+、演算を加法とすると、a + b も必ず N+ に属します。結合法則は当然成立します。しかし 単位元がこの集合には含まれないため、これは「半群だがモノイドではない」例になります。
このように、半群は「演算が結合的」という点だけを押さえればよく、他の性質は後から学ぶことが多いです。
比較: 半群 vs モノイド vs グループ
用語を混同しやすいので、簡単にまとめます。
半群：集合と結合的な二項演算。単位元があるとは限らない。
モノイド：半群に「単位元」があるもの。
グループ：モノイドに「逆元」があるもの。逆元とは、ある元と掛け合わせて単位元になる元のことです。
身近な練習問題
次の例が半群になるかを考えてみましょう。
例A: 文字列の連結。集合はすべての文字列、演算は連結。結合法則が成立します。空文字列をとすると単位元の候補になります。
例B: 正の整数の加法。結合法則は成立しますが、0が集合にないので単位元はありません。従って半群だがモノイドではない例です。
まとめ
半群は、数学の基礎となる“結合法則がある演算の集合”という考え方です。日常の例で言えば、文字列の連結のように、順序を変えずに結ぶことができる道具として想像すると分かりやすいでしょう。
| 集合 | 演算 | 結合法則 | 単位元 | |
|---|---|---|---|---|
| 文字列の連結 | 全ての文字列 | 連結 | はい | 空文字列 |
| 正の整数の加法 | N+ | 加法 | はい | なし |
| 偶数の加法 | 偶数集合 | 加法 | はい | 0 |
この表は、半群という概念を視覚的に理解するのに役立ちます。ポイントは、結合法則が成立していることと、集合が演算の結果を閉じていることです。少しずつ他の性質を追加していくと、モノイドやグループへと発展していきます。
半群の同意語
- マグマ
- 二項演算を定義した集合の構造。結合性は要求されないため、半群になる前段階の一般的な代数系として扱われる。
- セミ群
- 英語の semigroup のカタカナ表記の別名として使われることがあるが、一般には『半群』が標準用語。文献によって同義として扱われることもある。
- 結合法を満たす代数系
- 二項演算を持つ集合で、演算が結合法則を満たすことを表す表現。半群の定義そのものを指す言い換えの一つ。
- 結合性を持つ二項演算系
- 結合性（結合法則）を備えた二項演算を持つ集合系の説明。半群の特性を指す言い換え表現。
半群の対義語・反対語
- 非半群
- 半群が要求する結合律を満たさない演算系。具体例として、(a×b)×c が a×(b×c) と等しくならないような演算を含む集合と演算の組を指します。
- 結合律を満たさない代数系
- 一般に結合律を満たさない代数系の総称。半群は結合律を満たすことが前提なので、それと真っ向から対になる性質です。
- 群
- 半群より条件が強い代数系。集合と二項演算で結合性に加え、単位元と逆元を必ず満たします。半群の基礎をさらに強化した構造として理解されます。
- モノイド
- 半群に単位元を加えた代数系。結合律を満たす点は半群と同じですが、逆元の有無は必須ではありません。半群より条件が強い概念です。
- 非可換代数
- 演算が可換でない代数系。ab ≠ ba となる場合があり、半群が必ずしも可換である必要はない点と対比して使われます。
- 非結合性を持つ演算系
- 結合律を満たさない演算系の総称。抽象的には『半群でない』性質を持つ構造を指します。
半群の共起語
- 半群論
- 半群を研究する数学の分野。半群の性質や例、応用を扱います。
- 二項演算
- 集合の元同士を結ぶ演算のこと。半群はこの演算が閉じており、結合律を満たします。
- 結合律
- 任意の元 a, b, c に対して (ab)c = a(bc) が成立する性質。半群の核となる条件。
- 閉包
- 演算の結果が常に同じ集合内の元になる性質。半群では S×S→S の閉包を意味します。
- アーベル半群
- 演算が可換である半群。すべての元 a, b に対して ab = ba が成り立つこと。
- 可換半群
- アーベル半群と同義で使われる可換性を持つ半群の総称。
- モノイド
- 半群に単位元を持つ代数系。演算と単位元で構成されます。
- 単位元
- 演算を適用しても元が変わらない中立元。モノイドの要素の一つ。
- 部分半群
- 集合の部分集合で、元同士の演算が依然として閉じている集合。
- 同型写像
- 半群間の構造を保存する写像。演算の対応関係を保ちます。
- 準同型
- 半群間の構造保存写像の一種。f(ab) = f(a)f(b) を満たします。
- 群
- 半群に逆元と単位元を備えた代数系。結合性の他に追加の性質を持ちます。
- 自然数の乗法
- 自然数集合における積の演算。結合律を満たし、1を単位元とするとモノイドの例になります。
- 自然数の加法
- 自然数集合における和の演算。結合律を満たす半群・モノイドの代表例。
- 文字列連結
- 文字列をつなぐ演算。結合律を満たす典型的な半群の実例。
半群の関連用語
- 半群
- 集合と二項演算の組で、結合律を満たす代数系。つまり任意の元 a,b,c に対して (a*b)*c = a*(b*c) が成立します。
- 二項演算
- 集合上の二つの元を取り、別の元を返す演算。S 上では通常 * の形で表します。
- 閉包
- 演算をとった結果が常に元の集合に入る性質。半群では S×S → S の写像として閉じていることが要点です。
- 結合律
- 演算が結合的である性質。すべての元について (a*b)*c = a*(b*c) が成り立ちます。
- モノイド
- 半群に単位元が1つだけ存在する代数系。単位元 e に対して e*a = a*e = a となります。
- 単位元
- 演算と相談して任意の元と掛け合わせても元を変えない特定の元。半群やモノイドで重要です。
- 群
- 半群かつ各元に逆元が存在する代数系。結合律と逆元の存在が特徴です。
- 自由半群
- アルファベットの文字列全体（非空文字列）に連結を演算として定義した、最も素朴な半群の一例です。
- 部分半群
- 元の集合 S の部分集合 T が、演算を T 内で閉じているときのこと。T は S の部分半群。
- 同型
- 二つの半群が構造的に同じで、対応する元の間に双射を取り、演算を保存する写像が存在する関係です。
- 準同型
- 半群の演算を保存する写像。f: S → T が a*b を f(a)*f(b) に対応させるとき、準同型と呼びます。
- 可換半群
- 任意の元 a,b に対して ab = ba が成り立つ半群。演算が可換です。
- アーベル半群
- 可換半群の別称。数学的な名称として使われます。
- 冪等元
- 元 x が x*x = x となる特別な元のこと。
- バンド
- 全ての元が冪等元である半群のこと。
- 正則半群
- 各元 a に対して b が存在して a = a*b*a を満たす半群。特定の逆的性質を持つことがあります。
- 逆半群
- 各元に対して逆元が存在する半群の一種。逆元の概念が特徴的です。
- 位相半群
- 位相空間としての半群。演算が連続であるなど、位相と代数を同時に扱う構造です。
半群のおすすめ参考サイト
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