hessianとは？初心者向け基礎と活用ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

hessianとは何か

hessian（ヘッセアン、Hessian行列と呼ばれることも多い）は、多変数関数の2階微分情報を1つの正方行列にまとめたものです。関数 f(x1, x2, ..., xn) の各変数に対する2階微分を順番に並べて作ります。Hessianは、関数の局所的な形を直感的にぬくい地図のように示す道具で、最適化や機械学習、経済学など様々な分野で活用されます。

この行列は対称になることが多いという性質があります。理由は、混合偏微分の交換法則（シュワルツの定理）により、∂^2 f/∂x_i ∂x_j = ∂^2 f/∂x_j ∂x_i が成立するからです。よって H は対称行列になることが一般的です。

定義と基本的な形

関数 f(x1, x2, ..., xn) の Hessian は次のように定義されます。

H = [ ∂^2 f/∂x_i ∂x_j ] の i 行 j 列からなる n×n 行列です。

特に、二変数の場合は次の2×2の形になります。

項目	値
f_xx	∂^2 f/∂x^2
f_xy	∂^2 f/∂x∂y
f_yx	∂^2 f/∂y∂x
f_yy	∂^2 f/∂y^2

ここで、シュワルツの定理により f_xy = f_yx が成立する場合、H は対称行列となります。実務ではこの対称性を利用して計算の手間を減らします。

具体例で学ぶ

例として、関数 f(x, y) = x^2 + xy + y^2 を取りましょう。まず、1階微分を求めます。

f_x = 2x + y, f_y = x + 2y

次に2階微分を求めます。

f_xx = 2, f_xy = 1, f_yx = 1, f_yy = 2

したがって Hessian は次のようになります。

H = [ [2, 1], [1, 2] ]

H の行列式と符号を調べることで、局所的な形状を予測できます。例えば det(H) = 2×2 − 1×1 = 3 となり正、且つ f_xx > 0 なので点 (0,0) は局所最小値の可能性が高いことが分かります。

Hessianの実用的な使い方

- 最適化アルゴリズム: Newton法など、現在の点の勾配と Hessian を用いて新しい候補点を計算します。具体的には方向ベクトル p = −H^{-1} grad f を用いて、反復的に最適解へ近づけます。

- 局所安定性の判定: 行列式や固有値を使って、関数の局所形状が凸かどうかを判断します。全ての固有値が正なら局所的に凸、少なくとも一つが負なら鞍点や局所最大の可能性が出てきます。

- 機械学習での感度分析: 損失関数の二階微分を計算し、パラメータの変更がどれだけ影響するかを評価します。

実務的なポイント

- Hessianは二階微分の組み合わせなので、関数の連続性が必要です。滑らかな関数であれば、Hessian の存在が保証されやすいです。

- 高次元になると Hessian は大きな行列になります。実務では計算コストやメモリの制約を考え、必要なときだけ部分的に近似する方法（例:ニュートン法の近似版）を使うことも多いです。

- Hessian が計算困難な場合には、近似法や一階微分だけを使う代替手法を検討します。

まとめ

hessian は、関数の曲がり具合をはかる重要な道具です。特に多変数関数の最適化や機械学習の学習過程で、局所解の性質を理解するのに役立ちます。正定値かどうか、対称性があるかどうか、そしてニュートン法のようなアルゴリズムでの活用方法を押さえておくと良いでしょう。

hessianの関連サジェスト解説

hessian matrix とは: hessian matrix とは、スカラー値の関数の二次の偏微分を並べた行列のことです。 f(x1, x2, ..., xn) に対してヘッセ行列を H と書き、H の成分は H_ij = ∂^2 f / ∂ x_i ∂ x_j となります。二階偏微分が連続であれば H は対称行列になることが多く、これが計算の安定性にもつながります。ヘッセ行列は勾配ベクトルの変化をとらえる道具であり、数式で言えば勾配の導関数です。代表的な使い方として、局所の曲がり方を方向ごとに見ることがあります。具体的な例を挙げると、f(x,y) = x^2 + y^2 のとき、∂^2 f/∂x^2 = 2、∂^2 f/∂y^2 = 2、混合偏微分は 0 で、ヘッセ行列は [[2,0],[0,2]] となります。別の例として f(x,y) = xy のときヘッセ行列は [[0,1],[1,0]] です。これらの例から H の固有値を見れば関数の局所的な形を直感的に理解できます。 H の固有値がすべて正なら局所最小、すべて負なら局所最大、正と負が混ざると鞍点になります。一般に関数が凸であるかどうかは H が半正定値かどうかで判定します。実務ではニュートン法のような最適化アルゴリズムで H が重要な役割を果たしますが、計算コストが大きいことが多いため、次元が多い場合は近似や対角成分のみを使うことが多いです。ヘッセ行列は日本語ではヘッセ行列と呼ばれ、英語名 Hessian matrix の略称としてもよく使われます。
ヘッシアンとは: ヘッシアンとは、数学やデータ解析、機械学習でよく出てくる言葉です。簡単に言えば、変数が複数ある関数の“曲がり方”を表す特殊な表です。普段私たちは関数の1次の変化を考えるとき、勾配と呼ぶ道順の傾きを見ることがあります。ヘッシアンはその勾配の変化の速さ、すなわち2階の偏微分から作られる正方行列です。具体的には、f(x1, x2, ..., xn) の各変数について二階の偏導関数を並べたものを集めたもの。この行列を見れば、曲がり方の性質が分かります。例えば、ある点でヘッシアンが正の定値かどうかで、その点が谷（局所最小）になる可能性が高いかを判断できます。反対に、ヘッシアンが負の定値だと局所最大、半分正半分だと複雑な形になることも。これを「凸凸性」と関係づけて説明します。2変数の場合 f(x,y) = x^2 + y^2. この場合、二階偏微分は ∂²f/∂x² = 2、∂²f/∂y² = 2、混合偏導関数は ∂²f/∂x∂y = 0 で、ヘッシアンは [[2,0],[0,2]]、つまり2の単位行列です。これは常に正の値で、グラフは原点で谷になっています。別の例として f(x,y) = x^2 - y^2 はヘッシアン [[2,0],[0,-2]] で、正と負が混ざる、谷と山が同じ点に現れるような複雑な形状です。最適化のアルゴリズムの中にはヘッシアンを使って探索を速く正確にするものがあります。ニュートン法では、勾配だけでなくヘッシアンを使って曲がり方を推測し、次の点を決めます。ヘッシアンが求まらない場合は近似行列を使います。2次元以上の高次元では計算コストが高く、ノイズの影響を受けやすい点には注意が必要です。ヘッシアンは対称行列であることが多く、これは混合偏微分の等価性から来る性質です。

hessianの同意語

burlap: 粗くて丈夫な袋布。主にジュート（またはヘンプ）から作られ、袋や覆い、園芸用の資材として広く使われる。Hessian cloth の代表的な英語の同義語として用いられる。
gunny: 粗くて耐久性のあるジュート製の布。袋や麻袋として使われることが多く、地域によっては『burlap』と同義で用いられることがある。
jute fabric: ジュート繊維から作られる布地の総称。Hessian cloth とほぼ同じ意味で使われ、粗布の代表的な表現として用いられる。
Hessean: ヘッセン州の出身者を指す英語の語。文脈上、Hessian の同義語として使われることがあるが、非常に稀な用法。