正投影とは？初心者でもわかる図解と基礎解説共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

正投影とは何かをやさしく解説

正投影は、ある点を別の空間にある「対象」に対して直角に落とす投影のことです。ここでいう直角とは、投影先の直線や平面に対して垂直な方向を指します。日常生活の例で言えば、物を机の上に置くとき、机の表面に垂直な方向に動かしてちょうどその点の位置を決めるようなイメージです。

この考え方は、数学の中で「最短距離の原理」と深く結びついています。点と直線・平面の間の距離を最小にする点を求めるとき、実はその点は直角な方向に落とされた位置になります。

直線への正投影の直感と式

2次元の例を使うと分かりやすいです。直線 L が原点を通り、方向ベクトルが単位ベクトル u = (cos θ, sin θ) で表されるとします。任意の点 v の L への正投影は Pv = (v · u) u となります。ここで “·” は内積を表します。

例えば v = (3, 4) を x軸(すなわち u = (1, 0)) に正投影すると Pv = (3, 0) となり、原点を通る x軸上の最も近い点になります。

平面への正投影の式と直感

平面への正投影では、平面に対して直角な方向に点を落とします。平面の法線ベクトルを n とし、n が非零ベクトルであるとき、点 v の平面への正投影は Pv = v - ((v·n)/(n·n)) n で与えられます。

この式は、v から平面法線方向に出る分だけずらして、平面上の位置を得るという意味です。例えば、平面 z = 0（法線ベクトル n = (0,0,1)）への投影は Pv = (v_x, v_y, 0) となります。

正投影の性質

正投影を表す操作は「P」という行列で表現でき、P は対称かつ冪等です。 実際には、P^2 = P となり、P を二回掛けても元の結果と同じになります。これも「投影が一度行えばもう一度掛けても変わらない」という意味です。

実務的な使い方のヒント

正投影は、データ解析やグラフィックス、物理の計算などさまざまな場面で使われます。例えば3D モデルから2D の図を作るとき、物体の位置を特定の平面に正投影して「影のような表示」を作ることができます。

身近な例としては、写真（関連記事：写真ACを三ヵ月やったリアルな感想【写真を投稿するだけで簡単副収入】）を撮るときの「カメラの座標を平面に正投影して2次元の像を得る」作業を連想すると、正投影が頭の中でつかみやすくなります。

計算の手順とまとめのポイント

実務的な計算の流れは次のとおりです。

1) 投影したい点 v と、投影先（直線・平面）を決める。

2) 投影先の方向（直線なら方向ベクトル、平面なら法線ベクトル）を決める。

3) 直線への正投影では Pv = (v·u)u、平面への正投影では Pv = v - ((v·n)/(n·n)) n の式を使って求める。

4) 求まった Pv が「投影後の点」です。もし P を行列として扱うと、P^2 = P, P^T = P の性質が便利です。

このように正投影は、点をより「正確な位置」に落とすための基本的な道具です。理解のコツは、常に「直角に落とす」という感覚を保つことです。

正投影の同意語

直交射影: 正投影の最も一般的な同義語。射影を行う方向が被投影空間と直交するように定義される。
直交投影: 直交射影と同義の別表現。投影の方向が直交することを強調する表現。
正射影: 直交射影の別名。特に文献で用いられ、同じく内積を用いた正規な分解に基づく射影を指す。
垂直投影: 直交射影の意味と近いが、文脈によっては投影方向の垂直性を強調する表現として使われることがある。基本的には直交射影の同義語として扱える場面が多い。

正投影の対義語・反対語

斜投影: 投影線が投影面に対して斜めに傾いて投影する方法。正投影（直交投影）の“垂直な”性質とは異なり、物体の見え方に歪みが生じやすいのが特徴です。
透視投影: 投影線が一点に収束する投影法。近くのものは大きく、遠くのものは小さく見える遠近感が生まれ、現実世界の見え方に近い描写になります。正投影の対となる代表的な投影法です。
平行投影: 投影線が空間内で平行なまま投影する方法。距離による大きさの変化（遠近感）が抑えられ、図形の形を正確に保ちやすくする用途で用いられます。正投影の一形態として扱われることもありますが、対義語として挙げられる場合もあります。

正投影の共起語

投影: ベクトルをある部分空間へ写す写像の総称。正投影はこの中の直交による特別なケースです。
射影: 投影の別称。一般に、ベクトルを部分空間へ写す操作を指します。
直交投影: 正投影とほぼ同義。被投影ベクトルを投影先の部分空間とその直交補空間の和として写します。
線形代数: ベクトルと行列を使って空間の性質を扱う数学分野。正投影は線形写像の一種です。
ベクトル空間: 加法とスカラー倍が定義された集合。正投影はこの上で定義される概念です。
内積: 二つのベクトルの長さと角度を測る基本的な演算。正投影の成分を取り出すのに使われます。
直交基底: 基底ベクトル同士が互いに直交する集合。正投影の計算を簡略化します。
正規直交基底: 長さ1の直交基底。計算をさらに安定させます。
補空間: ある部分空間と直交していない残りの空間を含む概念。
直交補空間: ある部分空間と直交する補空間。正投影はこの二つの空間の直交分解を利用します。
投影行列: 正投影を表現する行列。性質として P^2 = P を満たします。
最小二乗法: データを最も近似する解を求める方法。正投影の幾何学的解釈が用いられます。
直交分解: 空間を投影先の部分空間と直交補空間の和として分解する考え方。
実数空間R^n: n次元の実ベクトル空間。正投影はこの空間上で広く定義されます。
成分表示: ベクトルを基底の成分として表す方法。正投影の計算は成分表示で行われます。
投影矩陣の性質: 正投影を表す投影行列には P^2 = P や対称性 P^T = P が現れます（直交投影の場合）。
空間の分解: V を直交分解して W と W^ot の和として表す考え方。

正投影の関連用語

正投影: ある部分空間 W に対して、ベクトル v を W に正射影する操作。投影後のベクトルは W に属し、v は W の直交補空間に沿って分解される。正投影は最小距離の性質を持ち、P_W(v) は v の W 上の最近傍点となる。
正射影: 正投影と同義語として使われる表現。文脈によって同じ意味で用いられることが多い。
投影: ベクトルや空間を別の集合へ“写す”操作の総称。任意の部分空間への投影や、次元削減・データ解析での投影などを含む。
直交補空間: ある部分空間 W に対して、W⊥ に属するベクトルの集合。V は直交分解 V = W ⊕ W⊥ で表せる。
内積: 二つのベクトルの角度と長さを測る演算。正投影の定義と直交性の基盤となる。
ノルム: ベクトルの長さを表す尺度。内積から定義され、距離・最適化の評価に使われる。
ユークリッド空間: 実数ベクトルのn次元空間で、内積とノルムが自然に定義される空間。正投影の典型的対象。
線形空間: ベクトルの足し算とスカラー倍が定義された空間。正投影は線形写像として表現されることが多い。
直交基底: 互いに直交する基底ベクトルの集合。正投影の計算や分解を単純化する。
グラム-シュミット法: 任意の基底を正規直交基底へ変換する手法。正投影の計算や直交分解で役立つ。
直交分解: ベクトルをWとW⊥の直交和として表す分解。正投影はW成分を取り出す操作として現れる。
投影行列: 正投影を線形写像として表す行列。Pには P^2 = P および P^T = P（対称・冪等）の性質が現れることが多い。
冪等行列: F が F^2 = F を満たす行列。正投影の表現として現れることがある。
対称行列: 転置しても元と同じ行列。正投影の投影行列は対称であることが多い。
最小二乗法: データの誤差を最小化するため、観測値を線形モデルの列空間へ“投影”する統計手法。投影行列が関係する。
最近傍投影: ベクトルをあるサブスペースへ最も距離が短い点へ投影する性質。正投影の実務的解釈として用いられる。
反射: 正投影と組み合わせて、点をサブスペースの対称点へ移す変換。空間の変換として関連する。
直交補空間の性質: W⊥ は W との直交性を保ち、分解定理や投影の性質を支える重要な性質。
正投影と射影の違い: 正投影は直交補空間に沿う特別な投影（直交投影）。一般の投影は必ずしも直交とは限らない。