定義域と値域・とは？初心者向けのわかりやすい解説と実例共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

定義域と値域・とは？

数学の関数を理解するうえで基本になるのが 定義域 と値域です。定義域 とは関数 f が定義されている入力 x の集合のことを指します。つまり x をとっても式が成立する値のことです。値域とはその入力をすべて試したときに得られる出力 f(x) の集合のことです。実際の関数を想像するとイメージしやすいです。

定義域と値域の違いをもう少しくわしく見てみましょう。定義域は「入力の集合」であり、値域は「出力の集合」です。ただし日常的には値域が実際に得られる出力の集合を指すことが多いです。関数の定義にはしばしば「定義域と値域がどうなるか」が書かれますが、それは関数の取りうる入力と出力の範囲を示すものです。

具体的な例で覚えると理解が進みます。例1 f(x) = x の二乗を考えるとき、定義域は全ての実数です。なぜなら x をどんな実数としても式は成立するからです。値域は y が非負の実数 all y >= 0 となります。これは x の値を変えていくと出てくる x の二乗の範囲が常に非負だからです。

例2 f(x) = 1 / x の場合を見てみましょう。定義域は x が 0 でない全ての実数です。なぜなら x = 0 のとき分母が 0 になり式が成立しないからです。値域はすべての実数 y であって y は 0 をとりません。したがって y != 0 の集合になります。これも定義域を変えると値域がどう変わるかを示す良い例です。

例3 として f(x) = sqrt(x) を挙げます。平方根をとるには x が非負でなければなりません。したがって定義域は x >= 0、値域は y >= 0 です。これらの例から 定義域 と値域の組み合わせが関数の性質を決めることが分かります。

定義域を自分で求めるコツは、分母が 0 になる点、平方根の中身が負になる点、対数の底が 0 以下になる点などを探すことです。これらの条件を満たす x を集めれば定義域が得られます。

用語	説明
定義域	関数が定義されている入力 x の集合
値域	すべての入力から生じる出力 f(x) の集合
定義域と値域の違い	定義域は入力の集合、値域は出力の集合。とくに値域は実際に得られる値の集合であり、必ずしも関数の出力全体を表すわけではないことがある

最後に、定義域と値域の考え方を練習してみましょう。関数 f の形によって定義域と値域は変わります。公式だけでなく、どの x を代入できるか、そして得られる y がどんな値を取りうるかを自分で確かめると理解が進みます。中学生でも足を止めずに読み進められるよう、身近な例と対比して整理してみました。