二変数関数・とは？初心者向けに徹底解説：xとyで動く関数のかんたんな理解共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

二変数関数とは何か

数学にはいろいろな種類の関数があります。その中でも 二変数関数 とは、二つの入力 x と y を受け取り、ひとつの出力 z を決める規則のことを指します。つまり z = f(x, y) の形で表され、入力の組み合わせ (x, y) に対して必ず z が決まります。ここでの「二変数」とは入力が二つである点を意味し、一次元の関数 f(x) のように x だけを入力にするのではなく、2 つの変数を同時に扱う点が特徴です。

わかりやすく言えば、地図のある場所 (x, y) に対してその場所の高さや温度などを表す値 z を対応させるルールだと考えるとイメージしやすいです。例として f(x, y) = x^2 + y^2 という関数を挙げると、(x, y) の組がどんな値でも z は x^2 + y^2 の計算結果になります。

基本的な定義と考え方

二変数関数 f は、入力空間を x と y の組み合わせとして捉えます。定義域 とは、(x, y) が取り得る全ての組の集合で、現実的には実数全体 R × R などが多いです。出力値域は、その規則によって得られる z の範囲を指します。

数式的には z = f(x, y) の形で表され、<span>x と y の値を変えると z も変わります。二変数関数では、以下のような点がよく使われます。

∂f/∂x

∂f/∂y

ベクトル

grad f

具体的な例で理解を深める

例1: f(x, y) = x + y は、全ての点 (x, y) に対して z が x + y となる関数です。例2: f(x, y) = x^2 + y^2 は、原点からの距離の二乗に対応します。原点から離れるほど z は大きくなります。例3: f(x, y) = sin(x) · cos(y) のような三角関数を使うと、入力の組によって出力が上下します。これらの例は、二変数関数を感覚的に捉えるのに役立ちます。

ドメインと値域の考え方

ドメイン は入力として受け付ける x と y の範囲のことです。現実の問題では、x, y の取りうる値が制限されることがあります。値域は f(x, y) がとり得る z の範囲を表します。例えば f(x, y) = x^2 + y^2 の場合、どんな x, y を取っても z は必ず 0 以上になります。こうした性質を知ることは、問題を解くうえでとても重要です。

二変数関数のグラフのイメージ

二変数関数のグラフは、3 次元の曲面として頭の中に描くと理解しやすいです。横軸と縦軸に x と y / 出力軸に z をとると、点 (x, y, z) が曲面を作ります。例えば f(x, y) = x^2 + y^2 の場合、原点を頂点とする放物面のような形になります。また、等高線図という平面上の図もあり、同じ z の値をとる点を結ぶ曲線が同じ高さを示します。これらの図は、実際のデータを視覚的に捉えるのに役立ちます。

応用のヒントとまとめ

二変数関数は、地理情報のような「位置 x, y に対して値 z を出す」場面でよく使われます。地図上の標高、気温、人口密度、材料の厚さなど、さまざまな物理現象を x, y の関数として表現するのが基本的な考え方です。重要な点は、入力が二つあることと、出力は一つであるという点です。これを押さえておくと、微分・積分・最適化など、後の応用に進んだときにも理解がつながりやすくなります。

表で覚える用語の整理

<th>用語

説明	例
変数	関数の入力として使われる値	x, y
関数	ある規則に従って入力と出力を結ぶもの	f(x) や f(x, y)
二変数関数	二つの入力を受け取り一つの出力を出す関数	f(x, y) = x^2 + y^2
定義域	入力として取り得る値の集合	x, y ∈ R
値域	出力として取り得る値の範囲	f(x, y) ≥ 0

最後に

二変数関数は、数学の基礎となる考え方です。初めは「二つの入力と一つの出力」という点だけを押さえ、具体例をいくつか試して感覚をつかんでいきましょう。練習として、身の回りのデータを x, y の値として f(x, y) を作ってみるのも良い方法です。少しずつ理解を深め、三次元のグラフや偏微分の考え方へと進んでいくと、数学だけでなくデータ分析や科学的な問題解決にも役立ちます。

二変数関数の同意語

二変数関数: x と y の二つの変数を引数として値を返す関数。 f(x, y) のように、入力が (x, y) の組で与えられる関数を指します。
二変量関数: 二つの変数を入力として値を出す関数。多変量関数の中で変数がちょうど2つの場合を指す言い方です。
2変数関数: 2つの変数を入力として値を返す関数。表記を英数字で簡略化した同義語。
二変数の関数: 二つの変数を引数にとる関数の別称。口語的にもよく使われます。
二変量写像: 二つの変数を入力として別の値へ対応づける写像。関数とほぼ同義で使われる専門用語です。
二変数写像: 二つの入力を受け取り、出力を決定する写像（関数）のこと。数学で関数と同義に用いられることがあります。

二変数関数の対義語・反対語

一変数関数: 1つの独立変数だけを入力として値を出力する関数。例: f(x) = x^2。変数が1つなのでグラフは平面上の曲線になります。
単変数関数: 一変数関数と同義の別表現。日常会話などでよく使われる表現です。
多変数関数: 複数の独立変数を入力として値を出力する関数。例: f(x, y) = x + y。二変数関数はこのカテゴリに含まれます。
三変数関数: 独立変数が3つの関数。例: f(x, y, z) = x + y + z。二変数関数の拡張として考えられます。
n変数関数: 変数の個数を一般に表す表現。f(x1, x2, ..., xn) のように、2変数以上を扱う一般形です。

二変数関数の共起語

二変数関数: xとyの2変数を入力として、z=f(x,y)の形で値を返す関数のこと。定義域はxとyの取りうる組み合わせ、出力は1つの実数が一般的です。
多変数関数: 二変数関数を含む、変数が2つ以上ある関数の総称。一般には f(x1,x2,...,xn) の形をとります。
定義域: 関数が有効に定義されているxとyの取り得る値の集合。
値域: 関数がとり得る出力zの集合。
独立変数: 関数の出力を決める際に自由に変化させられる変数。二変数関数では x と y が独立変数。
従属変数: 独立変数の値に応じて決まる出力値。二変数関数では z が従属変数。
実数値関数: 出力が実数になる関数。
偏微分: 一方の変数を動かし、もう一方を固定して微分する操作。
全微分: すべての変数の微小変化を考慮した、出力の一階近似。
偏導関数: 偏微分の別称。
勾配: 関数が最も急に増える方向を示すベクトル。二変数関数では ∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。
ヘッセ行列: 二階偏微分から作られる対称行列。局所極値の性質判定に用いる。
ラグランジュの法則: 制約条件付き最適化の基本手法。
極値: 関数の値が周囲より大きいまたは小さい点。
最大値: 関数が取り得る値の中で最大の値。
最小値: 関数が取り得る値の中で最小の値。
局所極値: ある小さな範囲内での極値。
臨界点: 偏微分が0になる点、または微分が存在しない点。
条件付き極値: 制約条件の下での極値。
等高線: z=f(x,y)の値が同じ点を結ぶ曲線。
等高線図: xy平面上に等高線を描いた図。
グラフ: 関数の値を3D空間で表した図。z=f(x,y)の曲面を指すことが多い。
3D曲面: z=f(x,y)を三次元空間に描いた曲面。
スカラー場: 各点に1つのスカラー値を割り当てる場。二変数関数は典型的な例。
連鎖律: 変数変化が他の変数へ連動する場合の微分の法則。
座標系: 関数を表す基準となる座標の枠組み。
直交座標: x軸とy軸が直交するデカルト座標系。
変数変換: x,yを別の変数（例: u,v）へ置き換える技法。
可微分: 微分可能である性質。
微分可能性: 関数が微分可能である状態。
偏微分の定義: 偏微分の公式と意味を示す定義。
連続性: 関数の値が途切れず連続している性質。
ヤコビ行列: 一階の偏微分を集めた行列。複数変数の変換の微分を表す。
条件付き最適化: 制約条件つきで最適解を求める手法。

二変数関数の関連用語

二変数関数: x, y の2つの独立変数を使い、z = f(x, y) の形で表される関数のこと。実数値関数の代表例は z = f(x, y)。
定義域: f が定義されている x, y の集合。通常は実数平面の部分集合。
値域: 関数がとり得る z の全ての値の集合。
独立変数: 他の変数に依存せず自由に動かせる変数。二変数関数では x と y が独立変数。
従属変数: 独立変数の値に応じて決まる結果の変数。二変数関数では z = f(x, y) が従属変数。
グラフ: 三次元空間で z = f(x, y) の形を表す曲面。
等高線/レベル曲線: 同じ関数値 c をとる平面上の点の集合。2次元平面上の曲線として表示されることが多い。
レベル面: 三次元空間で f(x, y, z) = c のように level を取るときの等高面の概念（2変数関数の場合は主にレベル曲線の視点で使われる）。
偏微分: 多変数関数を一つの変数に固定して他方の変数で微分する操作。
∂f/∂x: x に関する偏微分。x を少し変えたときの f の変化の割合。
∂f/∂y: y に関する偏微分。
全微分: dx, dy に対する f の一次近似 df = (∂f/∂x) dx + (∂f/∂y) dy。
勾配: f の最急上昇・下降方向を示すベクトル。∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)。
方向微分: ある方向ベクトル u に沿った f の変化率。u が単位ベクトルのときの df/du。
ヘッセ行列（Hessian）: 二階偏微分を並べた対称行列。H = [[f_xx, f_xy], [f_yx, f_yy]]。
二階偏微分: f_xx = ∂^2f/∂x^2, f_yy = ∂^2f/∂y^2, f_xy = f_yx = ∂^2f/∂x∂y。
微分可能性: ある点で関数が微分可能かどうか。通常、偏微分が存在して連続であれば微分可能であることが多い。
連続性: 入力の小さな変化に対して出力が途切れなく連続して変化する性質。
C^1/C^2: 滑らかさのクラス。C^1は一階微分が連続、C^2は二階微分が連続。
テイラー展開（多変数）: f(a,b) の周りでの多変数展開。1次は線形近似、2次以降は曲率情報を含む近似。
線形近似: 周囲点での一次近似。f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)。
局所極値: ある点の近傍で周囲より大きい（極大）または小さい（極小）値を取る点。
鞍点: 局所的には最大でも最小でもない点。凸凹の性質で特徴づけられる。
ラグランジュの未定乗数法: 制約条件がある最適化問題を解く標準的手法。
制約条件: 最適化の解を制限する条件。例: g(x,y) = 0
双重積分: 領域 D の上で f(x,y) を積分することで体積や質量などを求める。
直交座標系: x,y の直交座標系。二変数関数のデフォルト表現。
極座標系: x = r cos θ, y = r sin θ のように極座標で表す座標系。
接平面: 曲面 z = f(x,y) のある点における接平面。方程式は z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)。
法線ベクトル: 接平面に垂直な方向を示すベクトル。通常は (f_x, f_y, -1) などの形で表されることが多い。
ガウス曲率/主曲率: 曲面の曲率を表す指標。ガウス曲率は曲面全体の曲率の総合指標、主曲率は局所の最大・最小曲率。