qr分解とは？初心者向けにやさしく解説する基本ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

この記事を書いた人

高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

qr分解とは？

qr分解は、数学で使われる「行列の分解」のひとつです。行列 A を「Q」と「R」に分解することで、計算を楽にしたり、データを分析しやすくしたりできます。ここでは初心者にも分かるように、用語の意味と基本の考え方、簡単な例を紹介します。

基本の考え方

Qは正交行列、つまり各列が互いに直交しており、長さが1のベクトルが並んだものです。Rは上三角行列で、左上から右下へ向かって0でない成分が並ぶ形です。これらを掛けると元の行列Aになります。つまり A = Q × R です。

なぜ qr分解を使うのか

簡単に言うと、複雑な計算を “ちゃんと並んだ小さな計画” に分けることができるからです。例えば、線形回帰のような“最適な近似を作る問題”では、QR分解を使うと解を見つけやすくなります。地図を分解して目的地へ向かう道筋を整理するイメージと似ています。

簡単な例で見る qr分解

次の行列 A を QR 分解してみます。A は2行2列の行列です。

<th>行列

A
値	[ [1, 1], [0, 1] ]

このとき、Aを分解するとQとRは次のようになります。

Q	<span>[ [1, 0], [0, 1] ]
R	[ [1, 1], [0, 1] ]

この例では Qは単位行列で、RはAそのもの となり、A = QR が成立します。もちろん他の行列でも同様の分解が成り立つ場合が多く、Qが複雑になるケースもあります。

もう少し深掘り

qr分解は 列ベクトルを直交化する作業 と、直交化したベクトルを使って 上三角のRを作る作業 この2つを同時に進めます。直交化にはグラム・シュミット法と呼ばれる手法がよく使われます。実際の計算では、数値計算ソフトやプログラミング言語のライブラリがこの作業を自動で行ってくれます。

要するに qr分解は、難しい計算を分解して扱いやすくする道具 です。データ分析や機械学習、科学計算など、さまざまな場面で役立ちます。中学生の段階では、仕組みを理解することが第一歩で、実際の計算は道具に任せるのが現代のやり方です。

実践的な計算の流れ

1) 行列Aの列を取り出し、1列目をa1とします。a1のノルムを計算して正規化することで第一列のQの1列目を作ります。

2) 次に2列目を正交化します。a2からa2のa1方向の成分を引くことで直交する成分を取り出します。

3) これでQが完成したら、RはQ^T Aとして求めます。これにより A = QR が成立します。

4) 実際のデータ分析では、Aを直に解くのが難しい場合が多く、QR分解を使って最小二乗問題を解く、正規方程式を解くなどの応用が出てきます。

まとめとして、qr分解は難しい計算を分解して扱いやすくする道具です。数学の基礎をしっかり学んだうえで、実際の応用では数値ソフトを活用するのが現代的なやり方です。

qr分解の同意語

QR分解: 行列をQとRに分解する手法。Qは直交行列、Rは上三角行列になる性質をもつ。
直交分解: 行列Aを直交行列Qと上三角行列Rに分解すること。Qの列は正規直交、Rは上三角。
QR因子分解: QR分解と同義で、行列をQとRの積に分解すること。
グラム・シュミット分解: グラム-シュミット法を用いてQとRを作るQR分解の手法。
グラムシュミット分解: グラム-シュミット法を指してQR分解を実現することの別表現。
上三角分解: 行列をQR分解の形に分解し、Rが上三角行列になる性質を指す。
ユニタリQR分解: 複素行列の場合、Qがユニタリ行列、Rが上三角行列になるQR分解。

qr分解の対義語・反対語

直接解法（ガウスの消去法）: QR分解を使わずに、線形方程式 Ax=b を直接解く方法。ガウスの消去法などが該当。大規模な系では計算量や安定性が異なる点に注意。
LU分解: 行列 A を下三角の L と上三角の U の積として表す分解。QR分解の正規直交性を前提としない別の分解手法で、用途は多様だが性質は異なる。
SVD（特異値分解）: 行列 A を U Σ V^T に分解する方法。特異値分解は一般的で頑健な分解で、QR分解とは別の視点で行列の性質を捉える。
反復法（共役勾配法・GMRES など）: 直接分解を使わず、反復的に近似解を求める解法。大規模な系やストレスのあるデータに適したアプローチ。
正規方程式で解く方法: 最小二乗問題を A^T A x = A^T b の形で解く方法。計算は単純な場合もあるが、条件数が悪化しやすく安定性がQR分解と異なることがある。
固有分解（Eigen分解）: 行列を P Λ P^{-1} に分解する方法。特定の用途には有用だが、QR分解の役割とは異なる別の分解概念。

qr分解の共起語

正交行列: QR分解では Q が正交行列で、Q^T Q = I（実数）または Q^H Q = I（複素数）。この性質により A = Q R のとき列の正規性と直交性が保たれ、計算の安定性が高まる。
上三角行列: R は上三角行列で、対角と上の成分だけが非ゼロ。A = Q R の形で分解される。
直交: ベクトル同士が直交している性質。QR分解では Q の列ベクトルが互いに直交して正規化されている。
直交化: ベクトルを互いに直交化して正規直交基底を作る操作。QR分解では列を直交化して Q を作る工程を含む。
グラム-シュミット法: 直交化アルゴリズムの一つ。列ベクトルを正規直交基底に変換して Q を構成するのに使われることがある。
グラムシュミット正規直交化: グラム-シュミット法のうち、得られるベクトルを正規化して正規直交基底を作る過程の具体的な手順。
Householder変換: Householder 変換を用いるQR分解の方法。反射行列を使って Q を構成し、R を得る。
Householder法: Householder 法とも呼ばれ、QR分解の実装で広く使われる手法の一つ。
Givens回転: Givens 回転を逐次適用して QR 分解を得る手法。回転を組み合わせて Q と R を作る。
Givens変換: Givens 変換は二次元の回転を用いる変換で、QR 分解での要素除去に用いられる。
QRアルゴリズム: QR 分解を基礎としたアルゴリズム。特に固有値計算で繰り返し用いられ、対角化を進める。
最小二乗法: 線形方程式 Ax ≈ b の解を求める際、QR 分解を安定に実現する手法として利用される。
正規方程式: 最小二乗解を正規方程式 A^T A x = A^T b で求める方法。数値的には QR 分解より安定性が低いことがある。
数値安定性: 丸め誤差に対する頑健性。QR 分解は正規方程式を使う方法より一般に数値安定性が高いとされる。
計算コスト: QR 分解の計算コストはアルゴリズムやサイズに依存するが、典型的には O(m n^2) 程度とされる。
線形回帰: データの線形関係を推定する際、最小二乗解を求める手段として QR 分解が用いられることが多い。
ユニタリ行列: 複素数のQR分解において Q がユニタリ行列である。Q^H Q = I が成り立つ。
複素QR分解: 複素数行列に対する QR 分解。Q はユニタリ、R は上三角となる。
共役転置: 複素数の場合、Q^H（共役転置）を用いて正規直交性を表現する。Q^H Q = I。
直交基底: QR分解で得られる Q の列ベクトルは正規直交基底を形成する。
行列分解: 矩形や正方行列を別の因子に分解する一般的な概念。QR 分解はその一種。
A=QR: 実行列 A を QR 分解して A = Q R の形に表すこと。Q は正交/ユニタリ、R は上三角。

qr分解の関連用語

QR分解: 行列 A を正規直交行列 Q と上三角行列 R に分解する手法。A = Q R。Q は列が直交（Q^T Q = I）、R は上三角行列で、解の推定や最小二乗問題の解などに用いられる。
正規直交行列: Q は Q^T Q = I を満たす行列で、回転・反射のような直交変換を表す。QR分解ではこの Q が元の空間の基底を正規直交に変換する役割を担う。
上三角行列: R は上三角行列で、対角とその上の要素のみ非ゼロ。計算が安定し、後半の代入計算を簡単にする特徴がある。
薄いQR分解: 経済的（薄い）QR分解。A ∈ R^{m×n} に対して Q ∈ R^{m×n}、R ∈ R^{n×n} の形で表す。計算とメモリを節約できる。
列ピボット付きQR分解: 列の再配置（ピボット）を許容して数値安定性と精度を高めるQR分解。特に小さな特異値を扱うときに有効。
グラム・シュミット法: 列を逐次正規直交化して直交基底を作る古典的な手法。QR分解の基礎となる考え方。
ヒースハウラー法: Householder変換を用いてQR分解を安定に計算するアルゴリズム。大きな行列にも比較的適している。
ギブンス回転: Givens回転を使って行列の要素を一つずつ消去しながらQR分解を進めるアルゴリズム。特定の要素だけを操作できる利点がある。
QRアルゴリズム: 固有値計算などで使われる反復法で、行列のQR分解と再結合を繰り返して近似解を得る。
最小二乗法: 線形方程式 Ax=b の解を求める際、QR分解を用いると安定に解ける。正規方程式を使うより数値的に有利なことが多い。
線形回帰: 説明変数と目的変数の関係を最小二乗法で近似する際、QR分解を用いるのが一般的な解法の一つ。
正規方程式: 最小二乗問題を解く別の方法。A^T A x = A^T b という式だが、QR分解に比べて数値安定性が劣る場合がある。
数値安定性: 浮動小数点計算での誤差を抑え、直交性を保つことでアルゴリズム全体の安定性を高める。
経済的QR分解: 薄いQR分解と同義で、計算リソースを節約する目的の分解。
LU分解との違い: LU分解は連立方程式の解に適するが、QR分解は最小二乗問題や数値安定性の観点で優れることが多い。
直交基底: QR分解の結果として得られる Q の列は互いに直交する基底であり、データの正規直交化にも使われる。
実装・ライブラリ例: 実装例として NumPyの linalg.qr、SciPyの qr、MATLABの qr などがある。