高岡智則
年齢：33歳 性別：男性 職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当） 居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション 出身地：神奈川県川崎市 身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる） 血液型：A型 誕生日：1992年11月20日 最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒 通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分） 家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹 恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）
可換環・とは？
数学には「集合」と呼ばれるものがあります。可換環は、そんな集合の中で「足し算」と「掛け算」という二つの演算をきちんと組み合わせられる特別なルールを持つ集合のことです。
まず環についてざっくり説明します。環には二つの演算、加法（足し算）と乗法（掛け算）があります。加法は交換法則を満たします。つまりa + b = b + aとなりますし、0を足すと元の数になる性質、いわゆる加法の単位元（0）もあります。次に乗法です。乗法は結合法則を満たします。つまり(a × b) × c = a × (b × c)が成立します。また、乗法にも1を掛ければ元の数のままになる性質があります。これらの性質をすべて満たす集合が環です。
そして可換環とは、乗法がさらに可換、つまり任意の元 a, b に対してa × b = b × aが成り立つ環のことです。実生活では、順序を入れ替えても結果が変わらない計算が多いので、可換環という名前がついています。
身近な例としては整数の集合Zが代表的です。加法と乗法の法則をそのまま使い、足し算・掛け算の順序を入れ替えても結果が変わりません。もう少し高度な例としては
Z[x]
という係数が整数の多項式の集合も可換環です。乗法は掛け算の分配法則を満たし、係数の乗算も可換なので全体として可換環になります。一方で可換環の対極にあるのが非可換環の例です。最も身近な非可換環の一つが2×2 行列の集合M2(R)です。一般にはとが異なることが多く、順序を変えると結果が変わってしまいます。
さらに、可換環と体の違いも覚えておくと良いです。体は「非零元すべてに乗法の逆元」が存在するという強い性質を持つ可換環です。可換環が必ず体になるわけではなく、多くの場合は体よりも緩い条件です。
可換環の基本用語の整理
以下を押さえておくと、可換環の話が理解しやすくなります。環とは、加法と乗法を持ち、加法は群、乗法は結合法、分配法則が成り立つ集合です。可換環は、乗法が可換である環のこと。単位元については、加法の単位元0と乗法の単位元1がある場合が多いです。
| 例 | 説明 | |
|---|---|---|
| 可換 | Z | a × b = b × a が成り立つ |
| 非可換 | M2(R) | 一般には a × b ≠ b × a |
最後に覚えておくポイントとして、可換環は数学の基礎となる道具の一つです。数式を扱うとき、順序を入れ替えても同じ結果になるという特性は、計算を楽にし、理論を作るうえで大切な手がかりになります。
この解説では基本的な概念に絞って説明しました。より深い内容としては、位取り系の例、整域、様々な可換環の同型など、学ぶべきテーマがたくさんあります。中学生レベルの理解を超えたときには、教科書の説明を読み返し、具体的な例を自分で作ってみると理解が進みます。
この先、可換環の世界には難しそうな用語が増えますが、まずは「環とは何か」「可換環とはどういうものか」を押さえることが第一歩です。
要点のまとめ- 可換環とは
- 加法と乗法を備え、乗法が可換な環のこと。
- 例
- 整数の集合Z、整数係数多項式の集合など。
- 非例
- 2×2 行列の集合など、一部の演算が可換でないもの。
可換環の同意語
- アーベル環
- 可換性を持つ環のこと。任意の元 a, b に対して ab = ba が成り立つ。英語圏の文献では 'commutative ring' と呼ばれ、日本語の表記としては『アーベル環』が一般的だが、『可換環』と同義で使われることも多い。
- 交換環
- 可換環の別表現。『交換性をもつ環』という意味で、文献によって同義語として用いられることがある。現代の多くの文献では『可換環』の方が一般的だが、古いテキストではこの表現が見られる。
可換環の対義語・反対語
- 非可換環
- 可換性を持たない環のこと。任意の元 a, b に対して必ずしも ab = ba とは限らず、少なくとも一組の元が交換しても結果が変わる場合がある。例として行列環 M_n(F) などが挙げられる。
- 反可換環
- 非可換環と同義で使われることが多い語。乗法の順序を入れ替えると結果が異なる性質を指す。
- 非可換代数
- 代数構造のうち、乗法が非可換であるもの。例: 行列代数。可換代数の対となる概念。
- 非可換性
- “可換でない性質”のこと。ab ≠ ba となる場合がある性質を指す名詞。
- 可換でない環
- 可換でないことを特徴とする環の呼び方。非可換環とほぼ同義。
- 非可換性を持つ代数
- 乗法が非可換である性質を持つ代数のこと。
可換環の共起語
- 環
- 可換環の基本的な構造を指すが、一般には加法と乗法の二つの演算を備えた集合。可換環はこの環の特別な場合で、乗法がすべての元について可換である点が特徴。
- 可換性
- 乗法が交換可能である性質。すべての元 a, b に対して ab = ba が成り立つことを指す。
- 単位元
- 乗法の単位となる元（しばしば 1 と表記）。任意の元 a に対して a × 1 = 1 × a = a。
- アーベル群
- 環の加法構造はアーベル群である。つまり加法が結合的・可換・存在する単位元・逆元を持つ群。
- イデアル
- 環の部分集合で、加法で閉じ、かつ任意の元と環の元との積で閉じる集合。
- 理想
- イデアルの別称で、可換環の重要な部分集合の総称。
- 最大理想
- 理想のうち、真の部分集合としては最大のもの。商環が体になる理想。
- 商環
- ある理想を用いて作る新しい環。理想を法として同値類を作る。
- 整域
- 零因子を持たない可換環。a×b = 0 ならば a = 0 または b = 0。
- 体
- 非零元が全て逆元を持つ可換環。整域の特別な例で、可換環の極端な性質を持つ。
- 多項式環
- 係数環が可換環であるときの多項式全体の環。例えば R[x]。
- 局所環
- 唯一の最大理想を持つ可換環。局所化の対象として重要。
- 同型
- 二つの環が、構造を保存する写像によって同じ形をしているとみなす関係。
- 環準同型
- 環の構造を保つ射（写像）。加法と乗法を適切に保存する。
- 同型定理
- 環の同型写像と商構造に関する基本的定理群。
- 分配法則
- 乗法と加法の間の分配性。環の公理の一部。
- 零因子
- ある非零元 a が ab = 0 を満たすとき、b ≠ 0 なら a は零因子という性質。
可換環の関連用語
- 環
- 加法と乗法を備え、加法はアーベル群、乗法は結合的。零元0と乗法の性質を満たす代数的構造。
- 可換環
- 乗法が可換である環。任意の元 a,b に対して ab = ba が成り立つ。
- 零元
- 加法の零元。a+0=a を満たす元で、乗法の性質にも影響を及ぼすが基本は加法の零元。
- 理想
- 環の部分集合で、加法の部分群かつ乗法に対して閉じている性質を満たす集合。
- 主理想
- 元 a によって生成される理想。記法として (a) と書く。
- 有限生成理想
- 有限個の元から生成される理想。
- 素理想
- AB ⊆ p なら A ⊆ p または B ⊆ p を満たす特別な理想。商環の性質と深く関わる。
- 極大理想
- 商環が体になる理想。局所化や代数幾何でよく使われる重要な対象。
- 整域
- 零因子を持たない可換環。非零元 a,b が ab=0 になる場合、少なくとも一方が0。
- 体
- すべての非零元が乗法逆元を持つ環。代数の基本的な最小単位。
- 商環
- 環 R と理想 I に対して作られる新しい環。要素は I の同値類で、演算は元の演算を継承する。
- 多項式環
- 基底環 R に対して変数 x を用いた多項式全体の環 R[x]。代数拡張の基本ツール。
- 環準同型写像
- 環の構造を保存する写像。加法と乗法を保ち、1 の扱いは文脈により異なる場合がある。
- 同型定理
- 環の同型写像と商環・像の関係を示す基本定理。
- 局所環
- 唯一の極大理想を持つ可換環。局所的な性質を研究する場で使われる。
- ノーエター環（Noetherian環）
- 上昇鎖条件を満たす環。理想が有限生成になる性質で、代数幾何・代数の多くの定理の前提となる。
- Artinian環
- 降鎖条件を満たす環。理想の階層が有限に終わる性質。
- スペクトル（Spec(R)）
- R の素理想の集合を位相空間として扱う概念。代数幾何の基盤。
- モジュール
- 環上のベクトル空間のような代数構造。加法と環の元によるスカラー乗法を備える。
- 局所化
- 特定の集合の元を可逆化して局所的な性質を取り出す手法。
- ユニット（可逆元）
- 環内で乗法的に逆元を持つ元。一般に R× と書かれる。
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