密度汎関数法とは？初心者でも分かるDFT入門ガイド共起語・同意語・対義語も併せて解説！

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高岡智則

年齢：33歳性別：男性職業：Webディレクター（兼ライティング・SNS運用担当）居住地：東京都杉並区・永福町の1LDKマンション出身地：神奈川県川崎市身長：176cm 体系：細身〜普通（最近ちょっとお腹が気になる）血液型：A型誕生日：1992年11月20日最終学歴：明治大学・情報コミュニケーション学部卒通勤：京王井の頭線で渋谷まで（通勤20分）家族構成：一人暮らし、実家には両親と2歳下の妹恋愛事情：独身。彼女は2年いない（本人は「忙しいだけ」と言い張る）

密度汎関数法とは？

密度汎関数法（みつどはんかんすうほう、DFT）は、原子や分子の電子構造を計算するための代表的な手法です。電子の密度 n(r) を中心に考えることで、波動関数を直接扱うより計算が楽になり、多くの化学・材料科学の問題に適用できます。

基本的なアイデアは、系のエネルギーを density n(r) の関数として表すことです。古典的には「E[n]」と書くことが多く、外部の原子核が作るポテンシャルを含む項と、電子同士の相互作用をうまく近似する項を組み合わせます。この大元の考え方を示すのが、ヘンバーグ＝クーンの定理とKohn–Sham方程式です。

DFTの基本的なアイデア

古典的な波動関数の代わりに、電子密度 n(r) を使います。物理の原理として、地上状態のエネルギーは密度だけで決まり、密度をちょっと変えるとエネルギーもどう変わるかを知ることができる、という考え方が成り立ちます。（ヘルンバーグ-クーンの定理）

実際の計算では、Kohn–Sham方程式と呼ばれる、非相互作用電子が「実効ポテンシャル V_eff(r) の下で動く」モデルを解きます。これにより、難しい多体問題を比較的簡単な方程式の連続解に分解します。

近似関数と計算コスト

DFTではエネルギーを正確に表す厳密な関数は存在せず、近似関数を使います。代表的なものには、LDA（局所密度近似）、GGA（密度勾配補正）、ハイブリッド関数（例：PBE0, B3LYP など）があります。これらは「密度の情報をどう使うか」で異なり、計算の速さや結果の性質に影響します。

一般的に、波動関数ベースの計算に比べて、DFTは大きな分子や固体の系に対して現実的な時間で解析できるのが魅力です。もちろん近似の性質上、常に正解というわけではなく、適切な関数を選ぶことが重要です。

実務でのよくある用途

材料科学では結晶のバンド構造やフォノン、表面の吸着・反応、欠陥のエネルギーなどを調べるのに使われます。化学では分子の反応エネルギー、結合長、荷電状態の安定性などを予測します。教育や研究の現場でも、DFTは標準ツールとして広く使われています。

使い方の流れ

ステップ1: 系の定義 - 何を計算したいか、材料や分子を決める。

ステップ2: 基底関数・格子の設定 - 原子軌道の近似や、周期材料ならブリルアン・ゾーンの取り扱いを決める。

ステップ3: 近似関数の選択 - LDA/GGA/ハイブリッドなどから適切なものを選ぶ。

ステップ4: SCF計算 - 自己無撞着場計算を回し、密度とエネルギーを収束させる。

ステップ5: 結果の解析 - エネルギー値、密度分布、状態密度、反応座標などを解釈する。

注意点と限界

密度汎関数法には欠点もあります。例えば、バンドギャップの過小評価、分子間のファンデルワールス力をうまく捉えにくいこと、近似関数の選択で結果が大きく変わることです。これらを補う方法として、vdW補正を加えたり、より高度な関数を組み合わせたりします。

学習のコツと次の一歩

DFTを学ぶ第一歩は、基本的なアイデアと関数の違いを理解することです。次のステップとして、単純な分子を対象にLDA/GGAを試し、結合距離やエネルギーを比較してみましょう。数値の意味をつかむには、密度分布を可視化したり、エネルギー曲線を描くと理解が深まります。

この手法は、正しく使えば強力な計算機の味方です。初心者のうちは近似を意識しつつ、結果を常に物理的に解釈する癖をつけてください。

代表的な関数の種類と特徴

種類	特徴	代表例
LDA	局所密度近似。密度の局所情報だけでエネルギーを近似。計算は高速だが、分子系では精度に限界が出やすい。	Local Density Approximation
GGA	密度の勾配を利用して改善。多くの実務で標準的に使われる。	PBE, PW91
ハイブリッド関数	一部を Hartree–Fock の寄与で補う。結合長や反応エネルギーをより正確に予測することが多い。	B3LYP, PBE0

総じて、DFTは現代科学の基盤ツールのひとつです。使い方を誤らなければ、現実の材料設計や新しい化学反応の理解に大きく役立ちます。

密度汎関数法の同意語

密度汎関数理論: 電子密度を基礎量として用い、波動関数ではなく電子密度から系の性質を計算する量子力学的手法です。Hohenberg–Kohnの原理に基づき、系の全エネルギーは電子密度の汎関数として表現できるとされ、計算コストを抑えつつ大規模系にも適用できます。
密度汎関数法: 密度汎関数理論とほぼ同義の日本語表現。DFTを指す日本語の略語として日常的に使われ、研究・講義で同じ概念を指します。
Density Functional Theory: 日本語でいう“密度汎関数理論”と同義の英語名。電子密度を基本量として電子構造を解く第一原理計算の代表的手法です。
DFT: Density Functional Theoryの略称。論文やプレゼンで頻繁に用いられる短縮形で、同じ概念を指します。

密度汎関数法の対義語・反対語

波動関数法: 電子の波動関数を直接扱い、密度ではなく全電子状態の波動関数を用いる計算手法。DFTの対義語としてよく挙げられる。代表例にはHartree-Fock法や多体波動関数法が含まれる。
Hartree-Fock法: 電子間相互作用を平均場で近似する波動関数ベースの第一原理計算。DFTとは異なるアプローチで、相関効果の取り扱いが限定的。
多体波動関数法: CIやCCSD(T)など、電子間相関を波動関数で厳密に扱う計算手法。DFTより計算コストが高いが、相関を正確に扱える長所がある。
半経験的量子化学法: パラメータ化された経験的近似を用いる計算手法。第一原理とは異なり実験データに依存する部分が大きい。
古典分子力学: 電子の量子性を無視して分子の挙動を古典力学で近似する計算手法。量子計算であるDFTとは根本的に異なるアプローチ。
実験データ中心の推定法: 実験データを基に性質を推定・補正するアプローチ。理論計算の対極として用いられることがある。

密度汎関数法の共起語

第一原理計算: 原子核と電子の相互作用を理論的に扱い、実験データに依らず電子構造を予測する計算手法です。
Kohn-Sham方程式: DFTの中核となる方程式で、非相互作用電子の集合として密度を自己無矛盾に求める方程式です。
交換-相関汎関数: 電子間の交換と相関の影響を近似的に表す汎関数で、計算の精度を大きく左右します。
擬ポテンシャル: 原子核と内殻電子の影響を弱いポテンシャルに置換する近似。計算コストを大幅に削減します。
PAW法: Projector Augmented-Wave法。全電子情報を近似的に保持しつつ効率よく計算できる手法です。
平面波基底: 平面波の基底関数を用いる計算手法。周期系に適しています。
k点サンプリング: Brillouinゾーン内の波数点を選んで状態を近似的に積分する方法です。
局所密度近似 (LDA): 密度が局所的に一定とする汎関数近似。シンプルですが局所性の影響を受けやすいです。
一般化勾配近似 (GGA): 密度の勾配を考慮した汎関数で、LDAより現実的な性質を再現します。
PBE: GGAの代表的な汎関数の一つで、分子・固体の性質で広く用いられます。
DFT+U: 局在電子の相関を補正する拡張法。遷移金属酸化物などで磁性・構造の改善に使われます。
DFPT（密度汎関数摂動理論）: 格子振動や電子応答を摂動論的に計算する手法です。
フォノン計算: 格子振動を数値的に求め、熱的性質や安定性を予測します。
バンド構造: 固体内のエネルギー帯の分布を示す図・データで、電気的性質と深く関係します。
電子密度: 系全体の電子の密度分布を表す基本量で、DFTの出発点となります。
構造最適化: 原子配置をエネルギー最小化の方向へ最適化する計算です。
結晶構造最適化: 結晶の格子定数や原子配置を最適化して安定構造を求めます。
スピン偏極計算: 電子のスピンを考慮して計算する手法。磁性を持つ系の性質を扱えます。
表面計算: 固体表面の構造・吸着・再構成などを研究する計算手法です。
バンドギャップ: 絶縁体・半導体の禁制エネルギー。DFT計算での重要指標ですが、一般には過小評価されることがあります。
電子状態密度 (DOS): 状態密度のエネルギー分布。材料特性の解析に用いられます。
結晶・計算ソフトウェア名: VASP, Quantum ESPRESSO, CASTEP, ABINIT, SIESTA など、DFT計算を実行する代表的なソフトウェア群です。

密度汎関数法の関連用語

密度汎関数法: 原子核と電子の相互作用を電子密度だけで扱い、電子構造を計算する手法です。
Hohenberg-Kohn定理: 電子密度1つで基底状態の全エネルギーと物性が決まるという理論的根拠です。
Kohn-Sham方程式: 実在の多電子問題を非相互作用系と交換相関ポテンシャルで近似する方程式です。
自洽計算: 電子密度とハミルトニアンを反復的に整合させて収束させる計算プロセスです。
交換相関エネルギー: 電子間の交換と相関のエネルギー成分を表す項です。
交換相関汎関数: E_xc や V_xc を近似的に求める関数の総称です。
局所密度近似: 局所的な電子密度に基づいてエネルギーを評価する最も基本的近似です。
勾配補正汎関数: 密度の勾配を取り込み、精度を高める近似です。
PBE: GGAの代表的汎関数で、広く用いられる標準的な選択肢です。
PW91: 過去に広く使われたGGA汎関数の一つです。
meta-GGA: 密度の勾配だけでなく運動エネルギー密度などを含めた高階近似です。
TPSS: 代表的なmeta-GGAの一つです。
SCAN: 安定性と汎用性を重視した meta-GGA 汎関数です。
ハイブリッド汎関数: 交換項の一部をハートリー-フォックの寄与として取り入れる近似です。
B3LYP: 分子計算で広く使われる代表的なハイブリッド汎関数です。
PBE0: PBEのハイブリッド版で、非局所性を導入します。
HSE06: スクリーン化したクーロン相互作用を用いる、固体計算にも適したハイブリッド汎関数です。
vdW補正: 分散力を補う補正で、DFTの精度を大きく高めます。
DFT-D3: Grimmeの分散補正の代表的手法です。
vdW-DF: 非局所 vdW 相関を汎関数として扱う手法です。
rVV10: 別の分散補正の実装の一つです。
擬ポテンシャル: コア電子の影響を簡易化して計算を軽くする近似です。
PAW: Proj augmented-waveの略で、擬ポテンシャルと全電子の両方の長所を併せ持つ手法です。
基底集合: 波動関数を展開する基底の集合で、精度と計算コストを左右します。
平面波基底: 周期系でよく使われる拡張基底で、計算安定性が高い特徴があります。
Gaussian基底関数: 分子計算で一般的な局所基底集合で、柔軟性があります。
スピン極化DFT: 磁性を持つ系を正しく扱うため、スピンを考慮した計算モードです。
スピン非極化DFT: スピンを考慮しない計算モードです。
k点サンプリング: 周期系のブリルアンゾーンを離散化して物性を評価します。
バンドギャップ問題: DFTが実験値のバンドギャップを過小評価することが多い課題です。
力と幾何最適化: 原子の力を計算して分子・固体の安定構造を見つけます。
ab initio分子動力学: 第一原理計算を用いた分子動力学シミュレーションです。
TDDFT: 時間依存版DFTで、励起状態やスペクトルを計算します。
有限温度DFT: 温度効果を取り入れる拡張です。
電荷密度解析: 電子密度の分布を解析する手法です（例 QTAIM や Mulliken 解析など）。
磁性モーメント: 磁気的性質を表す指標で、DFT計算で評価できます。
エネルギー構造・バンド構造: 材料のエネルギー状態の分布を解析するための基本概念です。
ソフトウェアパッケージ: DFT計算を実行する代表的なツール群（VASP, Quantum ESPRESSO, ABINIT, Gaussian, CP2K, CASTEP など）。
GW近似: 励起状態計算の高度な枠組みで、自己無矛盾的に用いられます。